數學史融入數學教學的實踐研究

數學史作為數學教學體系中不可或缺的一環，不僅對培育學生的數學素養及思維能力具有重要的價值，還能促進教師數學素養的提升。HPM（專門研究數學史與數學教育之間關系的組織） 認為，個體的數學理解過程與數學史的發展過程具有相似性，數學史有助于學生識別并確定學習的認知障礙以及克服這些障礙。因此，在數學教學中融入數學史不僅能充實教學內容，激發學生的求知欲，還有助于學生理解數學概念的演進，培養學生數學思維與創新精神。在此基礎上研究如何將數學史融入數學教學是一個亟待深入研究的問題。這要求教師認識其教育價值并運用于教學中。本研究旨在深入探討數學史在數學教學中的實踐應用，以函數的極限教學實踐為例，分析數學史在數學教學中的應用策略，為提升數學教學質量提供有益的借鑒。

一、極限發展史融入函數極限教學的實踐

（一）數學極限思想的發展史

1.極限思想的萌芽階段

極限思想初現于兩千多年前的哲學中，人們開始意識到極限的存在，并嘗試用其解決實際問題，但尚未能系統地明確闡述，也未提出抽象精準的極限概念。它的代表人物有古希臘的數學家、哲學家芝諾，中國的惠施、劉徽、祖沖之等。國內，極限思想體現在《莊子》與劉徽的“割圓術”中。如惠施所言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，直觀展現極限理念。劉徽創立“割圓術”，通過不斷增加圓內接正多邊形邊數來求圓周率近似值，祖沖之則進一步精確至小數點后七位。國外，古希臘數學家運用“窮竭法”探索圓的面積，為后世提供啟示。此外，芝諾提出阿基里斯悖論也體現極限思想。

2.極限思想的發展階段

16 世紀至17 世紀，歐洲資本主義和文藝復興推動了極限思想的發展。16 世紀末，隨著生產力的提升，傳統的初等數學計算方法無法適應時代要求。數學家開始尋求新的數學思想和工具來描述和分析動態變化的過程。進入17 世紀，牛頓和萊布尼茨在創立微積分的過程中確立了極限理論。牛頓嘗試運用首末比方法解決無窮小問題，而萊布尼茨則從幾何角度探討了曲線的切線問題。盡管他們的理論存在瑕疵，但微積分仍然被廣泛應用于解決實際問題，并由此開創了新的數學分支。18 世紀后，羅賓斯和達朗貝爾等數學家意識到極限是微積分學的基石，并對其進行了定義。達朗貝爾的定義雖然還未完全形式化，但它已經擺脫了幾何和力學的直觀束縛，接近現代極限的觀念，他的工作為嚴格的極限理論奠定了基礎。

3.極限思想的成熟階段

19 世紀被廣泛認為是極限概念發展的關鍵時期。法國數學家柯西在其著作《分析教程》中提出，當一個變量的值逐漸趨近于一個特定值時，該變量與該值的差將逐漸變小。當這個差值降至某一極小水平時，這個特定值便可以視為其他值的極限。柯西進一步指出，零是無窮小的極限。這一觀點具有里程碑意義，因為它將極限概念從物理運動和數學幾何的直觀表述中獨立出來，用實數范疇內的數學語言對其進行了明確的定義。這一成就不僅代表了常量數學的進步，還是變量數學發展的重要標志。盡管如此，柯西對極限的闡述仍停留在直觀和定性的層面，并未提供嚴格的數學定義。直至19 世紀，魏爾斯特拉斯致力于分析的嚴密化工作，用精確的數學語言給出了極限的嚴格定義，從而使極限概念變得嚴謹。

（二）極限史融入函數極限教學的實踐

1.問題情境———了解函數的極限

教師在介紹函數的極限時可引入我國魏晉時期著名數學家劉徽在計算圓周率時所創立的“割圓術”：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。教師還可借助動畫演示不斷分割的過程，讓學生體會極限思想。

“割圓術”是一種原始極限思想的應用，這種對某個值無限接近的思想為后來建立極限概念奠定了基礎。這不僅能使學生在具體的歷史背景中感受數學的魅力，還能使其更深入地理解極限思想的本質。

2.數學發現———提出函數極限的基本概念

教師：請回顧什么是數列的極限？

學生：一般地，如果當項數n 無限增大時，無窮數列{xn}的項xn 無限地趨近于某個常數a（即|xn-a|無限地接近于0），那么就說數列{xn}以a 為極限，記作：lim xn = a 或xn→a（n→∞）。

教師：對于一般函數 y=（f x）如何來研究它的極限呢？

學生：我們可以通過類比數列極限的方法研究函數的極限。

教師：想象一下，如果我們有一個函數在某個點附近的行為，我們如何描述這個點的極限呢？

學生：我們可以看當 x 越來越接近時，（f x）是否趨近于某個值A。

教師：這就是函數極限的基本思想。數學家拉夫綸捷夫曾說：“數學極限法的創造是對那些不能夠用算術、代數和初等幾何的簡單方法來求解的問題進行了許多世紀的頑強探索的結果。”極限思想的產生和發展是人類社會實踐的產物，也是一代代數學家在不斷探索中完善的。

3.數學構建———探索函數極限的定義

在理解了函數極限的基本概念后，需要進一步探索函數極限的嚴格定義。這涉及函數在某點附近的變化趨勢和極限值的確定。對初學者來說，這可能會是一個比較抽象和復雜的過程，但通過逐步引導和討論，學生可以逐漸掌握這一重要概念。

教師：在已經理解了函數極限的基本概念后，應如何精確地定義它呢？

學生：我們需要找到一種方法描述函數在某點附近的變化趨勢，并確定極限值。

教師：假設我們有一個函數f（x），在x 趨向于某個點時，如果（f x）的值越來越接近某個數 A，那么我們就說函數（f x）在該點處的極限是 A。這里的關鍵是“越來越接近”，我們如何量化這個概念呢？

學生：我們可以用絕對值來表示（f x）與 A 之間的接近程度，然后設定一個任意小的正數著，只要當x 足夠接近該點（即存在一個正數啄，使x 與該點差的絕對值小于 啄）時，（f x）與 A 的差的絕對值小于 著，就可以說（f x）在該點處的極限是 A。

教師：這就是我們所說的著-啄定義法。通過這個定義，我們可以更精確地描述函數極限的概念，并為后續的學習打下基礎。

二、數學史融入數學教學的實踐策略

（一）史料選擇的“適切性”

將數學史融入數學教育的核心在于對數學史內容與材料的精選與凝練。這一過程旨在確保所選內容既契合數學教學目標，又適應數學教學主體的需求。因此，教師需在數學教學實踐中，結合自身的數學教學經驗及學生的數學學習需求，對數學史資源進行審慎選擇、合理改造與精心加工，使學生更易接受，從而獲得深刻的啟發與思考。教師在選擇數學史材料時，應注重其科學性、趣味性和教育性，確保所選材料能夠激發學生的學習興趣，幫助他們深入理解數學概念和原理。本案例選擇了與函數極限相關的數學史內容，即極限概念的發展過程。這一數學歷史是契合函數的極限這一教學內容的，它不僅能夠讓學生了解極限概念的歷史淵源，還能幫助他們理解極限在現代數學中的應用。

（二）史料融合的“準確性”

數學史應融入教學設計，結合教學內容展現數學史脈絡與數學思想的形成，有助于學生形成全面的認識，提高數學素養和解題能力。同時，教師還應關注史實與生活的聯系，展現數學實用價值，激發學生學習興趣。數學史不僅是數學學科發展的歷史，還是一部人類文明進步的歷史。通過引導學生探究數學史中的實用案例，教師可以讓他們更直觀地感受到數學在生活中的應用價值，激發其學習數學的興趣。本研究嘗試將數學史與函數極限的教學內容相結合，通過回顧歷史上的數學家對極限的探索過程，幫助學生理解極限概念的演變和完善。同時，筆者還結合具體函數的極限分析，使學生能夠將理論知識運用到實際問題中，培養他們的數學思維和解題能力。另外，教師通過引導學生對歷史上的數學問題進行分析和討論，可以鼓勵他們提出自己的觀點和見解，從而培養他們獨立思考和解決問題的能力。

（三）教學方法的“可行性”

數學史在數學教學中的應用方式通常表現為以下三種形式。第一，教師通過直接提供歷史信息的方式，使學生在學習過程中能夠深入了解數學的發展歷程。第二，教師可借鑒歷史經驗，將歷史中的數學思想、方法融入教學過程中，以幫助學生更好地理解和掌握數學知識。第三，教師可通過闡述數學研究的相關背景，引導學生深入思考數學的本質和價值，從而培養其對數學學科的興趣和熱愛。在選擇數學史教學方法時，教師應充分考慮學生的認知水平及教學內容，采用合適的教學方式，以激發學生的學習興趣和積極性。本研究使用的是第二種，也稱為“發生教學法”，在數學教學中，從HPM 視角出發，通常采取的主要方法便是此種。該方法主要借鑒歷史脈絡，以展現知識之自然演進過程為核心，介于嚴謹的歷史研究方法與純粹的演繹推理方法之間，旨在提供一種綜合而系統的知識探究途徑。