利用長短期記憶神經網絡的改進POD-Galerkin降階模型及其在流場預測中的應用

張譯文,王志恒,邱睿賢,席光

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

由Navier-Stokes (N-S)方程所描述的流體流動具有非線性和多尺度特征,其固有的復雜性使得預測流體流動十分困難。計算流體動力學 (computational fluid dynamics,CFD) 方法可以通過基于偏微分方程的全階模型 (full order model,FOM) 提供對流體流動的準確預測,但是計算量可能較大,無法做到實時預測。因此,構建低成本流場降階模型 (reduced order model,ROM) 有很高的應用潛力[1]。流場降階模型是指從CFD 或實驗得到的數據集而構建的低維數學模型,可以預測流場參數。與基于CFD 的分析相比,ROM 可以在很短的時間內準確預測線性和非線性空氣動力學過程,速度能夠加快1～2個數量級[2],因而在流場快速預測與實時控制中具有重要的應用價值。

根據是否將流動控制方程加入至模型,降階模型可分為侵入式降階模型和非侵入式降階模型兩類。侵入式降階模型將本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)得到的正交基通過伽遼金(Galerkin)投影的方式投影至流動控制方程上,以此得到由模態時間系數構建的低維模型,因此也稱為Galerkin投影式降階模型[3]。由于考慮了控制方程,侵入式降階模型能夠對N-S方程中各物理項進行解釋,進而定量分析出各項的作用大小。近年來,對POD-Galerkin降階模型有較多應用研究?？祩サ萚4]提出了一種利用POD的非線性Galerkin方法,用于復雜流體動力系統的低維建模,并以雷諾數為200、攻角為20°時的NACA0012翼型繞流流動問題為例進行了低維建模分析。Aubry等[5]對湍流邊界層過渡流動進行了建模,結果表明降階模型捕捉到了實驗觀察到的流向渦對運動形態。Deane等[6]重構了周期性凹槽通道中的流動和孤立圓柱體的尾流,研究了模型的短期和長期精度,并對構建降階模型所用工況之外的工況點進行了測試,結果表明周期性凹槽中流動降階模型在Re附近能夠進行合理的外推。Noack等[7-8]對 Galerkin 模型進行了改進,引入了一種移位模態,使得POD-Galerkin降階模型能夠重構瞬態動力學過程,并以3階動力學系統重構了Re=100的孤立圓柱繞流。張鴻志等[9]以AGARD 445.6機翼為對象,研究了ROM建立過程中不同參數對于模型精度的影響,并將ROM應用于顫振邊界的預測。李靜等[10]以低雷諾數下圓柱繞流為對象,構建失穩初期的流動ROM,該模型可以復現流場發散初期的發生趨勢。馮俞楷[11]和梁鈺[12]對非穩態導熱問題構建ROM,給出了渦輪葉片瞬態非線性熱傳導問題的求解結果,該模型大大提高了計算速度,實現了快速預測。非侵入式降階模型又稱為數據驅動式降階模型,它不需要給出明確的控制方程,直接從流場的高維流動數據中構建。非侵入式降階模型可以通過輸入、輸出量直接建立線性或非線性黑盒模型[13],也可以通過對流場測量數據建立簡化流動模型,如代理模型[14]、人工神經網絡[15]、非線性系統辨識[16]等。非侵入式降階模型憑借其模塊化的優勢[17],在流場降階模型研究中越來越受到研究者們的關注。Duraisamy等[18]、Saeed等[19]和Reddy等[20]使用機器學習方法提高CFD模擬的準確性,以神經網絡來預測流場不同流動條件和幾何形狀下的速度和壓力場,相較于CFD能夠更快地估計流場變化情況。

圖1 降階模型中誤差來源Fig.1 Error sources in reduced order models

針對上述POD-Galerkin降階模型存在的誤差,通過對模型進行修正,添加額外的作用項使得降階模型預測軌跡與實際軌跡相符,是切實可行的方法[24-25]。鑒于機器學習方法在提取特征方面的優勢,其與流場降階方法結合有更大的潛力?；诖?本文提出一種引入長短期記憶神經網絡(long short-term memory,LSTM)[26]的改進POD-Galerkin降階模型。該模型通過Galerkin投影來提高降階模型的可解釋性,并通過兩個不同的長短期記憶神經網絡分別進行大尺度模態的誤差修正和小尺度模態的階數擴展。將改進的POD-Galerkin降階模型應用于典型的二維圓柱繞流問題的流動預測,通過與標準POD-Galerkin降階模型的對比,以驗證改進降階模型的有效性和可靠性。

1 引入神經網絡的改進POD-Galerkin降階模型

1.1 POD-Galerkin降階模型

POD-Galerkin降階模型可將高階的偏微分方程組轉化為低階的常微分方程組,其在流場降階中應用的基本思路是:將數值模擬或實驗得到的流場參數作為樣本數據,采用 POD方法[27]得到描述流場的一組最佳正交模態,并對低能量模態進行截斷,然后將 N-S 方程投影到主要模態上,得到關于模態系數的一組常微分方程組,從而將高階問題轉化為低階非線性動力學問題。具體建模過程如下。

對于流場數據U(x,t),將每個時刻的流場構成一列數據,選取樣本庫中N個時刻的數據作為樣本,構建流場快照矩陣

(1)

(2)

式中:ai為第i階POD模態時間系數。

對于不可壓N-S方程,在截取的前階特征模態上作Galerkin投影。投影通過N-S方程與POD模態內積得到,表示為

(3)

式中:u為速度矢量;p為壓力;ν為運動黏度;(,)為內積運算符。由此可得m個常微分方程構成的常微分方程組

(4)

式中:Ak、Bk、Ck均為常數項,可以由速度場、速度場梯度項、壓力場、壓力場梯度項的組合求得。由格林定理和無散度的性質可知,在出口邊界p=0的情況下,壓力項可以消去。通過求解上述常微分方程組,即可獲得各階模態時間系數的變化趨勢,與POD空間模態結合,可以重構原始流場。

1.2 神經網絡的引入

針對標準POD-Galerkin降階模型存在的兩個主要誤差來源,可以分別添加神經網絡項來提高降階模型的精度。對于第一個誤差來源,對流場進行POD后,對高階模態進行截斷忽略了高階模態在流場中的耗散作用,保留的低階模態失去了與高階模態的耦合項,使得耗散誤差不斷累積,會影響構建的動力系統的長期穩定性。因此,可以通過POD分解得到的時間系數與構建的降階動力學系統誤差引入長短期記憶神經網絡[28],建立輸入-輸出關系,以此修正降階模型與實際預測值之間的偏差。

定義實際的動力學系統模型

(5)

從實際動力學系統中可以求得變量ak隨時間變化的離散值ak(t1),ak(t2),…,ak(tn)等。

假設降階動力學系統模型為

(6)

對此動力學模型,通過求解線性微分方程組可以得到下一時刻的時間系數

(7)

(8) 式中:ck為降階模型預測值和真實投影之間的誤差。為修正此誤差,可以利用LSTM架構來學習矯正項,在每個時間步內,LSTM神經網絡將模態系數從降階模型的預測值引導至真實值上。

(9)

(10)

綜上所述可知,整個神經網絡修正過程包括兩個階段,首先通過第一個LSTM神經網絡映射來減小第一部分誤差,然后通過第二個LSTM神經網絡擴展模態階數來減小第二部分誤差。引入神經網絡的改進POD-Galerkin降階模型的計算流程如圖2所示。

圖2 改進POD-Galerkin降階模型流程Fig.2 Flowchart of improved POD-Galerkin reduced order model

離線訓練期間,模型在不同時間節點獲得真實的流場信息,進而可以計算得到真實的POD模態時間系數。首先通過標準POD-Galerkin降階模型逐步計算每個時間步長的模態系數,然后計算f和g兩個LSTM項。

在線測試期間,首先從時間零點開始,將當前時刻的流場快照投影到前R階模態上獲得初始時刻的模態時間系數,然后通過標準POD-Galerkin降階模型進行第一個時間步長的計算。得到第一個時間步長上的模態時間系數后,通過LSTM修正項f計算得到預期的誤差ck,再進行第一次的修正,隨后通過LSTM擴展項g計算得到擴展模態時間系數,利用兩個部分得到的模態時間系數以及保留的前Q階靜態空間流場模態,即可得到高精度的預測流場。

2 改進POD-Galerkin降階模型的應用

將提出的引入神經網絡修正的改進POD-Galerkin降階模型應用于典型二維圓柱繞流問題的流場預測。研究對象為Re=100條件下圓柱繞流,其來流馬赫數較小(Ma<0.1),可以視作不可壓縮流動,且傳熱較小可以忽略,因此在進行數值模擬時僅考慮質量守恒方程和動量方程

(11)

(12)

本文利用 NEKTAR++軟件對圓柱繞流進行直接數值模擬,利用 hp 型譜元法直接對流場控制方程組進行求解,求解方法采用經典伽遼金公式與譜元離散相結合的高階有限元方法,對每個網格單元內部的節點值通過 Gauss-Lobatto-Legendre多項式的拉格朗日展開來近似。

圓柱繞流的計算區域如圖3所示。將圓柱直徑D作為無量綱處理的特征長度,取D=1,圓柱圓心位于原點,入口和出口邊界位于x=-10D和x=20D處,垂直于流向方向長度為-10D～10D。進口速度采用無窮遠來流速度進行無量綱處理。

圖3 圓柱繞流計算域Fig.3 Computational domain of flow around a cylinder

圓柱繞流的流場網格如圖4所示,進口采用均勻速度進口,出口采用自由流出口,用以消除尾跡的影響,圓柱壁面采用無滑移邊界。上下邊界采用對稱邊界,以避免壁面對圓柱的影響。在圓柱附近進行網格加密處理,最終的網格節點總數為31 360。

圖4 圓柱繞流的流場網格劃分及局部加密圖 Fig.4 Computational mesh and grid refinement near the cylinder surface

根據邊界條件進行非定常計算,待尾跡穩定振蕩后采樣20個周期的流場數據。定義升力系數Cl、阻力系數Cd及斯特勞哈爾數St為

(13)

(14)

(15)

式中:Fl為圓柱所受到的升力;Fd為圓柱所受到的阻力;ρ為流體密度;Uinlet為進口速度。

將本文數值模擬得到的Cl、Cd及St與文獻數據進行對比,結果如表1所示?？梢钥闯?本文數值模擬結果與文獻結果吻合較好,本文所采用的數值方法的準確性得到了驗證。

表1 升、阻力系數及St與文獻數據對比

3 結果與討論

對周期性流場中1 000個流場快照進行POD,并分別構建4、6、8階流場降階模型。不同階數下的預測前兩階POD模態時間系數(a1、a2)及預測系數a1與POD的絕對誤差如圖5所示。

(a)a1

(b)a2

(c)a1與POD的絕對誤差

從圖5可以看出,起初隨著階數增大,各階模態時間系數的預測精度逐漸提高。但是,提高至8階后,誤差反而有所增大。這是由于構建的動力學系統中,微分方程中多項式系數由模態投影得到。由于對空間進行離散,數值誤差隨著多項式系數矩陣大小不斷增加,數值誤差積累超過了提高階數帶來的改進,因此不斷提高降階模型的階數并不能使得精度一直增大。此外,對比誤差隨時間變化的趨勢可以看出,對于2、4階的降階模型,模態時間系數隨時間逐漸增大,有無限發散的趨勢,且由于預測周期與實際周期有差別,導致相位誤差逐漸累積。對于6、8階的降階模型,模態時間系數沒有逐漸增大,但是相位誤差同樣在不斷累計,這都導致了誤差隨時間不斷增大。

分別以2、4、6、8階模型為基準,對POD模態時間系數進行修正,LSTM神經網絡的參數如表2所示。

表2 LSTM超參數列表

將訓練好的模型添加到POD-Galerkin降階模型當中,重新進行模態時間系數的計算,即可得到通過神經網絡修正的降階模型數據。圖6～9展示了4個不同修正模型和原始POD-Galerkin降階模型的前兩階POD模態時間系數的對比情況。可以看出,通過神經網絡修正后,降階模型預測的模態時間系數基本與實際值一致,誤差也沒有逐漸增大的趨勢。圖8中,第5階模態相較其他各階模態誤差較大。這是由于給定神經網絡訓練的均方根誤差目標是使得各階模態的誤差之和最小,第5階模態的修正項并未收斂到局部最優的修正參數。

(a)a1

(b)a2

(a)a1

(b)a2

(c)a3

(d)a4

(a)a1

(b)a2

(c)a3

(d)a4

(e)a5

(f)a6

(a)a1

(b)a2

(c)a3

(d)a4

(e)a5

(f)a6

(g)a7

(h)a8

對通過神經網絡修正后的降階模型進行擴展,將2、4、6階降階模型分別擴展至8階。將預測的高階模態時間系數加入流場重構當中,不同擴展階數的改進降階模型預測流場與原始流場的渦量(經過無量綱化處理)對比如圖 10所示。可以看出,將2階模態擴展至8階,預測流場誤差較大,而4階模態擴展與6階模態擴展至8階幾乎沒有差別,得到的預測流場與原始流場基本一致。

(a)原始流場

(b)2階擴展

(c)4階擴展

(d)6階擴展

定義各階模態時間系數的均方根誤差為

(16)

各階模態時間系數均方根誤差如表3所示。各階模態的時間系數預測與原始數據相比,POD-Galerkin降階模型在前6階模態的預測精度較高,而第7階模態的時間系數有較大的相位誤差。改進后模型各階模態的均方根誤差均較POD-Galerkin降階模型要小1～2個數量級。相較于引入修正項的神經網絡,引入擴展項的神經網絡預測效果較差,但隨著階數的增大,引入擴展項神經網絡模型的預測精度逐漸提高。

表3 各階模態時間系數均方根誤差

表4展示了不同降階模型計算迭代一個時間步耗費的時間。可以看出,標準POD-Galerkin降階模型的計算時間隨模態階數的增大而顯著增大。由于改進模型已經在訓練階段構建完成,所以添加不同的改進模型帶來的時間增長近乎一致。4階和6階改進降階模型相較于原始8階POD-Galerkin模型速度分別提高了約56%和25%。

表4 不同模型計算時間對比

4 結 論

本文利用兩個長短期記憶神經網絡建立了從POD-Galerkin降階模型到實際POD模態時間系數之間的修正映射以及低階模態時間系數與高階模態時間系數之間的擴展映射,通過修正映射和擴展映射分別消除標準POD-Galerkin降階模型誤差累積和擴展降階模型階數,構建了改進的POD-Galerkin降階模型。將改進模型應用于二維圓柱繞流的流場預測,對模型的精度和計算時間進行了對比分析。本文主要研究結論如下。

(1)改進的POD-Galerkin降階模型是數據驅動和物理驅動的混合模型,其在保留侵入式降階模型的物理背景及可解釋性的情況下,利用長短期記憶神經網進行修正和擴展,通過Galerkin投影框架、LSTM修正和LSTM擴展共3個層次準確描述流場變化。

(2)添加長短期記憶神經網絡修正后的降階模型與標準POD-Galerkin降階模型相比更為準確。在相同階數的降階模型中,修正后的降階模型更貼近實際POD結果,修正后模型各階模態的均方根誤差均較標準POD-Galerkin降階模型要小1～2個數量級。

(3)添加長短期記憶神經網絡擴展項后的改進降階模型在與高階POD-Galerkin降階模型預測精度相近的情況下,改進降階模型的計算時間要顯著小于原始相同階數的標準POD-Galerkin降階模型。在精度基本不變的情況下,4階和6階改進降階模型的計算速度相較于8階標準POD-Galerkin降階模型分別提高了約56%和25%。