借助問題場景探究因式分解

1 提公因式法

提公因式法是一種常用的因式分解法，核心是要找出題目給出的每一項的一個公因式，將這個公因式提出來放在式子的前面，如此便可以將一個多項式轉化為幾個簡單的因式乘積的形式，該方法的本質就是乘法分配律問題.

例1問題提出：計算

1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6.

問題探究：為便于研究發現規律，我們可以將問題一般化，即將算式中特殊的數字3用具有一般性的字母α代替，原算式化為

1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6.然后我們再從最簡單的情形入手，從中發現規律，找到解決問題的方法.

①1+a+a（1+a）

=（1+a）+a（1+a）=（1+a）[J]5（1+a）=（1+a）2.

②由①知1+a+a（1+a）=（1+a）2，所以，

1+a+a（1+a）+a（1+a）2

=（1+a）2+a（1+a）2=（1+a）2（1+a）=（1+a）3.

（1）仿照②，寫出將1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3進行因式分解的過程．

發現規律：

（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+……+a（1+a）n=．

問題解決：

（3）計算：

1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6=（結果用乘方表示）．

解析：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

=（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

=（1+a）2（1+a）+a（1+a）3

=（1+a）3+a（1+a）3

=（1+a）3（1+a）

=（1+a）4.

（2）由②③發現規律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+……+a（1+a）n=（1+a）n+1.

（3）1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

=（1+3）7=47．

點評：本題主要考查因式分解的提取公因式法，發現規律，把多項式一步步分解因式，將問題一般化，最后化為積的形式是解題關鍵．

2 運用公式法

公式法是因式分解中難度相對較大的一種方法.當題目給出的各項沒有公因式時，我們經常用到的就是使用公式法進行因式分解，根據題目給出的項數的多少，恰當選用公式進行運算.不過，部分學生對于平方差公式和完全平方公式的運用不夠靈活.

例2下面是某同學對多項式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4進行因式分解的過程．

設x2-4x=y.

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2-4x+4）2（第四步）

請問：（1）該同學因式分解的結果是否正確？若不正確，請直接寫出因式分解的最后結果．

（2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（a2-2a）[J]5（a2-2a+2）+1進行因式分解．

解析：（1）該同學因式分解的結果不正確.

設x2-4x=y.

原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4.

（2）

設a2-2a=m.

原式=m（m+2）+1

=m2+2m+1=（m+1）2

=（a2-2a+1）2

=（a-1）4．

點評：本題考查了綜合運用公式法分解因式，根據配方法及完全平方公式，結合交換律、結合律，問題即可得到解決．

3 分組分解法

當題目中給出的多項式不少于三項，且無法提取公因式，也無法使用公式法進行因式分解時，可以考慮將所給多項式進行分組，重新組合.

例3八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a-3ab-4+6b因式分解．經過小組合作交流，得到了如下的解決方法：

解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b）

=a（2-3b）-2（2-3b）

=（2-3b）（a-2）.

解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b）

=2（a-2）-3b（a-2）

=（a-2）（2-3b）.

小明由此體會到，對項數較多的多項式，無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止.）

請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：

（1）因式分解：x2-a2+x+a；

（2）因式分解：ax+a2-2ab-bx+b2．

解析：（1）x2-a2+x+a

=（x2-a2）+（x+a）

=（x-a）（x+a）+（x+a）

=（x+a）（x-a+1）.

（2）ax+a2-2ab-bx+b2

=（ax-bx）+（a2-2ab+b2）

=x（a-b）+（a-b）2

=（a-b）（x+a-b）．

點評：本題考查了分組分解法，特別注意要按照系數的特點進行分組分解，然后直接提出公因式或者利用公式進行求解即可．

4 十字相乘法

十字相乘法是先利用十字交叉線將系數進行分解，然后對二次三項式進行分解的一種策略.這種方法在解決一元二次方程或分式問題時，能夠提高解題的準確率和效率，簡化運算過程.

例4閱讀理解完成任務：教材的閱讀與思考中有一種因式分解的方法叫十字相乘法，根據課本上給出的十字交叉法的定義和方法，我們就可以得到：x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

某同學看完教材沒完全懂，問老師后就懂了，老師講解如下：利用十字相乘法分解6x2+7x-3，首先分解二次項系數6，可分解為1×6或2×3或（-1）×（-6）或（-2）×（-3），分別用十字交叉法寫在其中一條對角線的位置；然后分解另外一項-3，可分解為-1×3或1×（-3），分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，這樣就會出現16種情況（如分解圖1），代數和等于一次項系數7，符合的分解圖有兩種（就是方框框起的兩種情況）．所以得到：6x2+7x-3=（2x+3）（3x-1）或6x2+7x-3=（-2x-3）（-3x+1）．

十字相乘法公式：abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）（其中，a，b，c，d均為常數）.

閱讀以上材料，完成以下任務：請用十字相乘法分解下列多項式，要求寫出一種符合的分解圖．

（1）x2-7x+12；

（2）2x2+3x+1．

解析：

（1）分解圖如圖2：

所以x2-7x+12=（x-3）（x-4）.

（2）分解圖如圖3：

所以2x2+3x+1=（2x+1）（x+1）．

點評：本題主要考查十字相乘法，根據二項式系數的特點，然后依據十字相乘法的定義進行分解，同時要注意分解后各數前面的符號.

5 結語

對于因式分解問題，核心就是把多項式轉化為幾個因式的乘積的形式，因此我們要從題目給出的多項式的結構特征出發，靈活地選擇恰當的方法.因式分解在初中數學中應用廣泛，技巧性較強，因此需要學生在日常學習中注意積累總結，不斷提高自身的數學思維和解題能力.

參考文獻：

[1]張炳瑞.初中數學因式分解技巧淺談[J].求知導刊，2021（18）：62-63.

[2]薛山.初中數學因式分解的思想方法[J].現代中學生（初中版），2021（18）：15-16.