由一道題談求弦長(zhǎng)的幾種途徑

摘要：求圓中弦長(zhǎng)是培養(yǎng)幾何推理能力的重要推手，它綜合了初中幾何重要性質(zhì)與方法、基本圖形的構(gòu)建與不同圖形的關(guān)聯(lián)，是研究圖形性質(zhì)的絕佳素材.本文中通過一道試題，從已知與圖形出發(fā)，分析圖形內(nèi)涵，構(gòu)造輔助線，綜合不同知識(shí)與方法，將線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，從而解決圓中弦長(zhǎng)問題，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化策略，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：輔助線；圓中弦長(zhǎng)；一題多解

求圓中弦長(zhǎng)問題是初中幾何考查的熱點(diǎn)，倍受大家矚目，常常要分析弦所處的特殊位置及弦所在圖形與其他圖形的位置關(guān)系或形狀關(guān)聯(lián).求弦長(zhǎng)問題常與弧、圓周角、勾股定理及相似三角形、銳角三角函數(shù)等相結(jié)合.下面以一道試題為例探討求弦長(zhǎng)的幾種常用方法.

1 原題呈現(xiàn)

例如圖1，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，過B，D，E三點(diǎn)畫⊙O，交AC于不與點(diǎn)E重合的另一點(diǎn)F，連接BF.若BC＝4，AD＝43.

（1）求BF的長(zhǎng)；

（2）求⊙O的直徑.

2 解法呈現(xiàn)

2.1 第（1）問的解法分析

正如數(shù)學(xué)家龐加萊所說：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具.”由圖形直觀猜想BF與BC相等.由于BF與BC所在的三角形并不全等，因此應(yīng)從已知的特殊條件去分析.由兩個(gè)中點(diǎn)想到中位線，由等腰三角形底邊上的中線想到AD⊥BC，結(jié)合斜中線，繼而運(yùn)用等腰三角形、平行線進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化.

方法一：利用斜中線和等腰三角形證角相等.

解：如圖2，由等腰三角形“三線合一”知AD⊥BC，連接DE.在Rt△ADC中，DE為中線，由斜中線得DE＝CE，由等邊對(duì)等角，知∠C＝∠EDC.

由同弧DF得∠CBF＝∠DEF，又在△ECD和△BCF中，∠C公共，所以∠BFC＝∠EDC＝∠C.

故BF＝BC＝4.

方法二：利用等弧和中位線證角相等.

解：如圖2，連接DE，則DE為△ABC的中位線，所以DE∥AB，有∠EDC＝∠ABC＝∠C.由優(yōu)弧BE得∠BFE＝∠BDE，則其鄰補(bǔ)角∠BFC＝∠EDC＝∠C.

故BF＝BC＝4.

點(diǎn)評(píng)：上面兩種解法從特殊條件——中點(diǎn)、等腰三角形出發(fā)，結(jié)合中位線、斜中線得到平行線或等長(zhǎng)線段，并運(yùn)用同弧進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換，證得△BCF的兩個(gè)角相等，從而求出BF的長(zhǎng).本題的一大難點(diǎn)是不易察覺同弧所對(duì)的圓周角.解題時(shí)要結(jié)合圖形，聯(lián)想重要的幾何定理，作出輔助線，得出有關(guān)結(jié)論.

2.2 第（2）問的解法分析

2.2.1 策略一：運(yùn)用勾股定理

設(shè)AD與⊙O交于點(diǎn)G，要求直徑，先連接BG，由等腰三角形“三線合一”可證AD⊥BC，由直徑所對(duì)的圓周角出現(xiàn)多個(gè)直角三角形，運(yùn)用勾股定理建立方程；也可利用半徑，過圓心O作弦或有關(guān)線段的垂線，出現(xiàn)直角三角形.

方法一：利用直徑和雙勾股建立方程.

解：如圖3，設(shè)⊙O與AD交于點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G.

易證AD⊥BD，則點(diǎn)O在BG上，即FG⊥BF.易證BD＝2，BF＝4.由平角，知∠AFG＋∠BFC＝90°.由兩銳角互余，得∠DAC＋∠C＝90°.

又因?yàn)椤螧FC＝∠C，所以∠AFG＝∠DAC，則AG＝FG.

設(shè)AG＝x，則GD＝AD－AG＝43－x.由勾股定理，得BG2＝GD2＋BD2＝（43－x）2＋22，BG2＝GF2＋BF2＝x2＋42，所以（43－x）2＋22＝x2＋42，解得x＝332.

故⊙O的直徑d＝BG＝912.

點(diǎn)評(píng)：由已知條件容易發(fā)現(xiàn)90°的圓周角，建立雙勾股模型，但設(shè)哪條線段長(zhǎng)為未知數(shù)是證題關(guān)鍵，即如何發(fā)現(xiàn)AG＝FG.除了本方法外，還可運(yùn)用同弧及斜中線來證明.如，連接DE，則AE＝DE，則∠DAE＝∠ADE，由GE得∠GFE＝∠ADE，所以∠DAE＝∠GFE.

方法二：利用半徑及勾股定理建立方程.

解：如圖4，過點(diǎn)O，E作BC的垂線，垂足分別為H，N，過點(diǎn)O作OM⊥EN，垂足為M，連接OD，OE.

由垂徑定理，得HD＝12BD＝1.由中位線定理逆定理得，N為CD中點(diǎn)，則DN＝12CD＝1.由中位線定理，得EN＝12AD＝23.

易知四邊形OMNH為矩形，則OM＝HN＝2.

設(shè)OH＝x，則MN＝x，EM＝EN－MN＝23－x.

由勾股定理，得OE2＝OM2＋EM2＝22＋（23－x）2，OD2＝OH2＋DH2＝x2＋12.解方程22＋（23－x）2＝x2＋12，得x＝534，則OE2＝9116.

故直徑d＝2OE＝912.

點(diǎn)評(píng)：由弦及中點(diǎn)作出輔助線，利用半徑及垂線，結(jié)合勾股定理建立方程.可見，在圓中構(gòu)造直角三角形，是求解常見弦長(zhǎng)問題的途徑.

2.2.2 策略二：相似法

分析：要求直徑，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)P，則出現(xiàn)90°的圓周角，由此過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N，則圖中出現(xiàn)一對(duì)相似三角形.

方法三：作直徑，用相似.

解：如圖5，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)P，連接EB，ED，PD，過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N.易證∠PDE＝∠ENB＝90°，由同弧DE可得∠P＝∠EBN，則△EPD∽△EBN，所以EPBE＝DEEN，即EP=BE×DEEN.

又AC2＝AD2＋CD2＝52，則AC＝213，所以DE＝12AC＝13.又BE2＝EN2＋BN2＝（23）2＋32＝21，所以BE＝21.

故d＝EP＝BE×DEEN＝21×1323＝912.

點(diǎn)評(píng)：將所求的線段用PE抽象出來，又出現(xiàn)直角三角形，從而過點(diǎn)E作垂線，連接圓中弦，則出現(xiàn)相似三角形，構(gòu)成比例式，即可求得PE.

2.3.3 策略三：三角函數(shù)法

分析：要求直徑，需構(gòu)造過圓心的弦，出現(xiàn)直角三角形，運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行角與邊之間的轉(zhuǎn)化.

方法四：用弦BG構(gòu)造直角三角形.

解：如圖6，設(shè)⊙O與AD交于點(diǎn)G，連接BG，由∠BDG＝90°，知BG過圓心.連接GE，BE，DE，過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N.由同弧GE及GD∥EN，得∠GBE＝∠GDE＝∠DEN.又AC＝213，所以可得cos∠GBE＝cos∠DEN＝ENDE＝2313.又BE2＝BN2＋EN2＝32＋（23）2＝21，則BE＝21.所以，在Rt△BEG中，直徑d＝BG＝BEcos∠GBE＝21×1323＝912.

方法五：用OE所在的直徑構(gòu)造直角三角形.

解：如圖5，連接EO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，連接PD，DE，BE，過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N.

由“方法四”知，BE＝21，DE＝12AC＝13.

所以sin∠EBC＝ENBE＝2321，則

DEPE＝sin∠EPD＝sin∠EBC＝2321.

故d＝PE＝DEsin∠EBC＝13×2123＝912.

點(diǎn)評(píng)：直角三角形的邊與角可以通過銳角三角函數(shù)來溝通聯(lián)系.運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)，可有效聯(lián)系起圓中的角與弦或90°的圓周角及其他線段的關(guān)系.用銳角三角函數(shù)描述思考過程和解題過程，簡(jiǎn)潔明快，獨(dú)辟蹊徑，富有靈性.

除了上文列舉的幾種方法，求解圓中弦長(zhǎng)問題的策略還有全等法、計(jì)算法、線段和差法等.解題時(shí)要根據(jù)題目的已知條件，從不同角度發(fā)揮幾何直觀、幾何基本圖形、圖形分析的作用，進(jìn)行幾何模型的構(gòu)建與幾何推理，完成解題活動(dòng).