二次函數區間內最值問題初探

摘要：二次函數區間內的最值問題，是初中二次函數內容中的難點，一般可分為定軸定區間型、動軸定區間型與定軸動區間型三種類型.解決此類問題的關鍵是要抓住“三點一軸”，利用圖象的對稱性、增減性，借助數形結合的思想方法，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化.

關鍵詞：最值；閉區間；數形結合；三點一軸

二次函數以其豐富的內涵和完備的理論體系，在函數中占有極為重要的地位.二次函數區間內的最值問題，是考查學生綜合能力的好素材，能夠很好地反映出學生對函數增減性、對稱性、最值等知識的理解深度.此類問題，一般可分為以下三種類型：定軸定區間型，動軸定區間型，定軸動區間型.影響二次函數在閉區間內的最值主要有三個要素：拋物線的開口方向，對稱軸，給定的區間的位置.解決此類問題要抓住“三點一軸”（頂點，兩端點，對稱軸），利用圖象的對稱性、增減性，借助數形結合的思想方法，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.

1 類型一：定軸定區間求最值

對于二次函數對稱軸確定、區間確定的最值問題，可以先求出區間兩個端點（假設能取到）以及頂點的坐標，然后判斷頂點是否在區間內.若頂點在區間內，則二次函數的其中一個最值就在頂點處取得，另一個最值在某端點處取得；若頂點不在區間內，則函數的兩個最值都在端點處取得.

例1若函數y＝x2-6x+5，當2≤x≤6時的最大值是m，最小值是n，求m-n的值.

分析：該二次函數的頂點坐標為（3，-4），當2≤x≤6時，圖象過頂點，二次項系數為1，圖象開口向上，此時最小值n為-4.因為|6－3|＞|2－3|，拋物線開口向上時，圖象上的點離對稱軸越遠，函數值越大，所以，當x=6時，函數的最大值m為5.所以m-n=9.函數的圖象草圖如圖1.

例2已知二次函數y＝mx2+2mx+1（m≠0）在-2≤x≤2時有最小值-2，求m的值.

分析：該二次函數的二次項為字母參數m，正負性不確定，故需要分類討論.根據二次函數的性質，易求其對稱軸為直線x=-1，當-2≤x≤2時，拋物線的頂點在區間內.當m＞0時，因為圖象開口向上（如草圖2所示），所以，當x=-1時，函數的最小值為-2，代入函數表達式，得方程m-2m+1=-2，解得m=3（符合m＞0）；當m＜0時，圖象開口向下（如草圖3所示），圖象上的點離對稱軸越遠，函數值越小，所以，當x=2時，函數的最小值為-2，代入表達式，得方程4m+4m+1=-2，解得m=－38（符合m＜0）.綜上所述，m=3或－38.

小結：解決此類問題的一般步驟可歸納為——畫出函數草圖，代入端點求值，描出區間內圖象，判斷函數最值.

2 類型二：動軸定區間求最值

二次函數的對稱軸位置隨參數變化，而區間固定，此類求函數最值問題的方法是，根據二次項系數確定開口方向，畫出草圖，用參數表示二次函數的對稱軸，令兩端點值關于對稱軸對稱，求出此時的參數值，平移對稱軸，根據函數增減性確定參數范圍.

例3已知y=x2＋（1－a）x＋1是關于x的二次函數，當x的取值范圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，求實數a的取值范圍.

分析：該二次函數的二次項系數為1，其圖象開口向上，對稱軸為直線x=a－12，畫出草圖.令x=1，x=3時，函數值相等，求得此時對稱軸為直線x=2（如圖4），得方程a－12=2，解得a=5，因為函數在x＝1時取得最大值，根據“開口向上時，圖象上的點離對稱軸越遠函數值越大”，所以需要把對稱軸向右平移，如圖5與圖6，則a-12≥2，解得a≥5.

例4已知拋物線y=x2+2bx+b+2，且拋物線在-1≤x≤2時的最小值是-3，求b的值.

分析：因為拋物線的對稱軸為直線x=－b，所以函數在區間上的最小值在端點處取得，還是在頂點處取得是不確定的，因此，需要結合圖象分類討論.

當-b≥2，即b≤-2時，如草圖7，在x=2處，y取得最小值-3.將x=2代入表達式，得方程4+4b+b+2=-3，解得b=－95（不在范圍內，舍去）.

當-1＜-b＜2，即-2＜b＜1時，如草圖8，在x=－b處，y取得最小值-3.將x=-b代入表達式，得方程b2-2b2+b+2=-3，即b2-b-5=0，解得b1=1+212（不在范圍內，舍去），b2=1－212（符合）.

當-b≤-1，即b≥1時，如草圖9，在x=-1處，y取得最小值-3.將x=-1代入表達式，得方程1-2b+b+2=-3，解得b=6（符合）.

所綜上所述，b的值為1－212或6.

3 類型三：定軸動區間求最值

二次函數的對稱軸位置確定，區間隨著參數而變化，此類求函數最值問題的方法是，根據二次項系數確定開口方向，求出對稱軸，畫出草圖，移動兩端點位置，確定此時的最值，列方程求解.

例5已知二次函數y＝-x2+6x-5，當t≤x≤t+3時，函數的最大值為m，最小值為n，若m-n＝3，求t的值.

分析：該二次函數的二次項系數為-1，其圖象開口向下，對稱軸為直線x=3，頂點坐標為（3，4）.由于區間隨參數t而變化，不能確定拋物線的頂點是否在區間范圍內，因此，需要根據區間范圍畫圖分類討論，確定最值.

若x=t，則y=-t2+6t-5；

若x=t+3，則y=-t2+4.

當t+3≤3，即t≤0時，如草圖10，m=-t2+4，n=-t2+6t-5，由m-n=-t2+4-（-t2+6t-5）=3，解得t=1（不在范圍內，舍去）；

當0≤t＜32時，如草圖11，m=4，n=-t2+6t-5，由m-n=4-（-t2+6t-5）=3，解得t1=3－3（符合），t2=3+3（不在范圍內，舍去）；

當32≤t＜3時，如草圖12，m=4，n=-t2+4，由m-n=4-（-t2+4）=3，解得t1=3（符合），t2=－3（不在范圍內，舍去）；

當t＞3時，如草圖13，m=-t2+6t-5，n=-t2+4，由m-n=-t2+6t-5-（-t2+4）=3，解得t=2（不在范圍內，舍去）.

綜上所述，t=3－3，或t=3.

小結：解決此類問題的一般步驟可歸納為——畫出草圖，算出最值，描出區間內圖象、解出方程、檢驗最值.

從以上例題可以看出，解決二次函數區間內最值問題的關鍵是抓住“三點一軸”，利用數形結合的思想，畫出草圖，描出區間內圖象.當對稱軸確定時，可以嘗試平移區間；當對稱軸不確定時，可以平移對稱軸.根據圖象判斷頂點是否在區間內，從而確定函數的最值.