一道中考探究題的教學(xué)啟示

摘要：探究題是數(shù)學(xué)中考的熱門考試題型，此類題型背景多變，方法新穎，對(duì)學(xué)生能力的要求高，學(xué)生大多對(duì)此類題型感到棘手;同時(shí)，對(duì)教師的教學(xué)具有重要啟示作用.本文中以2023年福建中考數(shù)學(xué)第23題為例，對(duì)其解法進(jìn)行探索，聯(lián)系教材回歸試題原型，進(jìn)一步探討實(shí)踐活動(dòng)課對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義.

關(guān)鍵詞：中考；探究題；活動(dòng)課；教學(xué)啟示

在中考試題命題趨勢(shì)的引領(lǐng)下，實(shí)踐類試題將更引發(fā)教師重視與思考.幫助學(xué)生有效提升解決此類試題的方法就是運(yùn)用好數(shù)學(xué)活動(dòng)課.數(shù)學(xué)活動(dòng)課不管是對(duì)于教師還是學(xué)生而言，都具有一定的難度.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課是以數(shù)學(xué)知識(shí)為核心的活動(dòng)課程，這些活動(dòng)課程通常在一個(gè)章節(jié)的章末以材料的形式出現(xiàn)，但由于課時(shí)的限制，這些數(shù)學(xué)活動(dòng)課程往往容易被教師忽視，這也導(dǎo)致學(xué)生通常對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)掌握得比較好，但實(shí)踐應(yīng)用能力較低.形式多樣、開放性強(qiáng)、趣味性高的數(shù)學(xué)活動(dòng)課程，不僅可以讓學(xué)生更加主動(dòng)、積極地參與課堂，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，而且能夠幫助學(xué)生從理論層面結(jié)合實(shí)踐進(jìn)行操作，有利于發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，真正實(shí)現(xiàn)綜合素質(zhì)的提升[J].本文中以2023年福建中考數(shù)學(xué)第23題為例，對(duì)其解法進(jìn)行探索，聯(lián)系教材回歸試題原型，進(jìn)一步探討實(shí)踐活動(dòng)課對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的意義.

1 題目呈現(xiàn)

例（2023年福建中考第23題）閱讀下列材料，回答問題.

任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1.

工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于AB）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2.皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對(duì)其視線可及的P，Q兩點(diǎn)，可測(cè)得∠POQ的大小，如圖3.

問題請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度AB，寫出你的測(cè)量及求解過(guò)程．要求：測(cè)量次數(shù)不超過(guò)4次，且測(cè)量次數(shù)最少，才能得滿分．

評(píng)析：本題是一道創(chuàng)新類實(shí)踐問題，綜合性較強(qiáng)，考查兩點(diǎn)間距離的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)；考查抽象能力、空間觀念、幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等，考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析與解決問題的綜合實(shí)踐能力、數(shù)形結(jié)合思想、模型觀念等，考查能力較為全面.從設(shè)計(jì)意圖上來(lái)看，要求學(xué)生能夠運(yùn)用提供的工具對(duì)模型進(jìn)行變式與優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

2 解法賞析

對(duì)于本題，先從兩個(gè)測(cè)量工具的用途進(jìn)行分析，皮尺的用途是測(cè)量長(zhǎng)度，由于其測(cè)量長(zhǎng)度小于AB的長(zhǎng)，所以需要通過(guò)多次測(cè)量才能求出AB的長(zhǎng)；測(cè)角儀顧名思義就是用來(lái)測(cè)量角度的大小.如果僅用皮尺來(lái)測(cè)量，可以通過(guò)相似三角形的“邊角邊”這一判定方法對(duì)問題進(jìn)行求解，主要是對(duì)邊這一條件的應(yīng)用，但測(cè)量次數(shù)超過(guò)了4次.增加測(cè)量工具測(cè)角儀，實(shí)際上是在引導(dǎo)學(xué)生從角上面去尋求解題突破.而題目對(duì)于測(cè)量的次數(shù)要求要最少，所以對(duì)學(xué)生能力的要求比較高.基于已給解法和要求，得到如下解答.

法1：測(cè)量?jī)山且贿?

（1）在小水池外選點(diǎn)C，如圖4，用測(cè)角儀在B處測(cè)得∠ABC=α，在點(diǎn)A處測(cè)得∠BAC=β.

（2）用皮尺測(cè)得BC=a.

由測(cè)量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.

在Rt△CBD中，cos∠CBD=BDBC，即cos α=BDa，所以BD=acos α.同理，CD=asin α.

在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，即tan β=asin αAD，所以AD=asin αtan β.

所以AB=BD+AD=acos α+asin αtan β.

故小池的最大寬度為acos α+asin αtan β.

法2：測(cè)量?jī)蛇呉唤?

（1）在小水池外選點(diǎn)C，如圖5，用測(cè)角儀在B處測(cè)得∠ABC=α.

（2）用皮尺測(cè)得BC=a，AC=b.

由測(cè)量知，在△ABC中，∠ABC=α，BC=a，AC=b.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.

在Rt△CBD中，cos ∠CBD=BDBC，即cos α=BDa，所以BD=acos α.同理，CD=asin α.

在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得

AD=AC2－CD2=b2－a2sin2α.

所以AB=BD+AD=acos α+b2－a2sin2α.

故小池的最大寬度為acos α+b2－a2（sin α）2.

3 回歸教材

本題是一道實(shí)踐探究題，試題的原型在人教版第二十八章“銳角三角函數(shù)”的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”中，該活動(dòng)主要有兩個(gè)內(nèi)容，活動(dòng)1是通過(guò)制作測(cè)角儀，測(cè)量樹的高度，活動(dòng)2則是利用測(cè)角儀測(cè)量塔高，本試題的命題來(lái)自于對(duì)活動(dòng)2的改編.

試題原型：利用測(cè)角儀測(cè)量塔高.

（1）在塔前的平地上選擇一點(diǎn)A，用活動(dòng)1中制作的測(cè)角儀測(cè)出你看塔頂?shù)难鼋铅粒▓D6）；

（2）在點(diǎn)A和塔之間選擇一點(diǎn)B，測(cè)出你由點(diǎn)B看塔頂?shù)难鼋铅拢?/p>

（3）量出A，B兩點(diǎn)間的距離；

（4）計(jì)算塔的高度.

將試題和其原型對(duì)比，試題的原型是通過(guò)可操作性的步驟引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行測(cè)量和表述，而試題是通過(guò)創(chuàng)新情境讓學(xué)生結(jié)合所給工具獨(dú)立設(shè)計(jì)方法解決問題，是對(duì)試題原型的拓展提升，旨在考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

4 教學(xué)啟示

4.1 重視數(shù)學(xué)課程活動(dòng)開展，引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與數(shù)學(xué)活動(dòng)是相輔相成、密不可分的，在教學(xué)過(guò)程中，如果充分發(fā)揮數(shù)學(xué)活動(dòng)課的優(yōu)勢(shì)，將具體生動(dòng)的實(shí)際情境重現(xiàn)于數(shù)學(xué)課堂，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)踐應(yīng)用的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力.在利用測(cè)角儀測(cè)量塔高這一活動(dòng)中，教師可以給學(xué)生提供按照比例縮小的具體實(shí)物模型，以小組的形式讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量、計(jì)算得到結(jié)論.在活動(dòng)中，不僅有動(dòng)手操作的過(guò)程，還可以幫助學(xué)生更深入地理解三角函數(shù)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，彰顯“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而找到解決問題的方法.就如2023年福建中考第23題的考點(diǎn)，不僅要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，還要進(jìn)行方法的創(chuàng)新.雖說(shuō)試題原型來(lái)源于課本，但其變式的思維難度更大，需要學(xué)生更深入地挖掘題目和解法背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.這一道探究題的設(shè)置也啟示教師在初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多給學(xué)生一些機(jī)會(huì)，讓他們?nèi)ンw驗(yàn)；多給學(xué)生一些機(jī)會(huì)，讓他們?nèi)フ页龃鸢福欢嘟o學(xué)生一些思維空間，讓他們?nèi)ンw驗(yàn)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中滲透數(shù)學(xué)思維教學(xué)[J].

4.2 重視知識(shí)形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

本試題要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)“相似三角形的判定和性質(zhì)”的靈活應(yīng)用可為后續(xù)的推理順利進(jìn)行提供助力.想要學(xué)生在這類探究性問題上能有大的突破，教師在教學(xué)過(guò)程中就要保證學(xué)生有足夠的參與度，注重知識(shí)的形成過(guò)程和前后聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)展和深化過(guò)程有必要的了解，從而培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.2023年福建中考第23題實(shí)際上就是在對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行建構(gòu)、重組，形成新的方案，從知識(shí)生長(zhǎng)的角度對(duì)基本圖形進(jìn)行變式、遷移應(yīng)用，通過(guò)解直角三角形的思路進(jìn)行方法的延伸.本題跳出常見的用相似和通過(guò)解直角三角形求幾何圖形中某線段的長(zhǎng)的套路，利用獨(dú)立設(shè)計(jì)思路的形式進(jìn)行考查，頗具匠心.

參考文獻(xiàn)：

[1]方強(qiáng).初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課之啟示[J].江西教育，2016（6）：29.

[2]武晨.以“活動(dòng)”引領(lǐng)課堂教學(xué)——談數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)意義[J].遼寧高職學(xué)報(bào)，2018，20（3）：39-41，44.