以典例引領(lǐng)思維，用訓(xùn)練構(gòu)建方法

摘要：近幾年，各地市的中考數(shù)學(xué)試卷中的熱點(diǎn)考題，從形式上看都是起點(diǎn)高而落差低.盡管同一知識點(diǎn)的試題每年都以嶄新的面貌呈現(xiàn)，但基本的解題思路大致相同.本文中以2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中招考試的第22題為例，并選取三道課堂跟進(jìn)訓(xùn)練題進(jìn)一步構(gòu)建思維方法.

關(guān)鍵詞：中考試題;構(gòu)建方法;分析與思考

中考試卷中的每一道試題都凝聚著命題專家的心血與汗水，可謂經(jīng)典中的經(jīng)典.然而，已經(jīng)出現(xiàn)過的試題不會直接重現(xiàn)，即使解題思路完全相同，也是徹底改頭換面.平面幾何是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)組成部分，涵蓋平面內(nèi)的點(diǎn)、線和角的關(guān)系，用形象的圖形和抽象的推理打造了豐富多彩的數(shù)學(xué)思維方法.因此，教師在備考過程中需要幫助學(xué)生提升應(yīng)用數(shù)學(xué)原理進(jìn)行推理的能力、分析問題與解決問題的能力，以此形成數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

典例（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考試題第22題）如圖1，點(diǎn)B，E分別在AC，DF上，AF分別交BD，CE于點(diǎn)M，N，∠A=∠F，∠1=∠2.

（1）求證：四邊形BCED是平行四邊形；

（2）DE=2，連接BN，假設(shè)BN平分∠DBC，求CN的長.

試題分析：要解決的問題的特征有兩點(diǎn)，一是證明幾何形狀，二是計算線段長度.這要求學(xué)生必備基本的幾何定理、定律及邏輯推理的思維能力.

在問題（1）中，證明四邊形BCED是平行四邊形就必須根據(jù)平行四邊形的判定（教材中給出五點(diǎn)，四邊形必須具備：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③對角線互相平分；④一組對邊平行且相等；⑤兩組對角分別相等.每一條平行四邊形的判定都必須具備兩個條件，缺少一條都不能確定四邊形是平行四邊形）.由題干中給出角相等的信息可知，本題可以采用判定①或者⑤為證明的依據(jù).根據(jù)∠A=∠F，得出DE∥AC.由∠1=∠2，∠1=∠DMF，得∠DMF=∠2（或

由∠1=∠2，∠2=∠ANC，得∠ANC=∠1），故BD∥CE.由此證明四邊形BCED是平行四邊形.

在問題（2）中給出了“假設(shè)BN平分∠DBC”的信息，由該信息可以提煉出“由角平分線得到一對角相等”，即由BN平分∠DBC，可推出∠DBN=∠CBN.由（1）可知四邊形BCED是平行四邊形，則EC∥DB，∠CNB=∠DBN（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.因此，∠CNB=∠CBN，則三角形CBN是等腰三角形，即CN=BC=DE=2.

解題建模：①判斷圖形中的局部幾何形狀（如直角三角形、平行四邊形、菱形等），先將幾何形狀的判定羅列出來，通過題干中給出的邊、角關(guān)系，選擇可能得出結(jié)論的判定.②計算某角度時，可以選擇三角形的內(nèi)角和、外角與內(nèi)角的關(guān)系，或圓周角、圓心角等關(guān)系，或相似三角形的對應(yīng)角的關(guān)系進(jìn)行處理；計算某線段長度時，可以選擇全等三角形、相似三角形的對應(yīng)邊成比例或直角三角形，還可以應(yīng)用勾股定理等進(jìn)行推理計算.

跟進(jìn)訓(xùn)練1如圖2，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，分別延長OA，OC到點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE=CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點(diǎn).

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，四邊形BFDE是正方形，求∠EBA的度數(shù).

本題第（1）問為幾何證明；第（2）問是計算幾何圖形中兩線的夾角.與典例的考查方向相同，但考查內(nèi)容截然不同.

解析：（1）中給出了菱形ABCD，可以得出關(guān)于菱形的性質(zhì)：①具有平行四邊形的性質(zhì)；②菱形的四條邊相等；③菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.利用性質(zhì)③可以得出∠BAC=∠BCA（當(dāng)然也可以利用性質(zhì)②得出BA=BC，再通過等腰三角形的性質(zhì)判斷兩個角相等），則∠BAE=∠BCF.再結(jié)合題干中已知條件AE=CF，由三角形全等的判定定理就可以推斷出△BAE和△BCF全等（兩邊和這兩邊的夾角相等）.

（2）給出了兩個信息：∠ABC=50°，四邊形BFDE是正方形.由于正方形是特殊的菱形，因此其四個角均是90°，故∠EBD=12∠EBF=45°，而∠ABD=12∠ABC=25°，從而得出∠EBA=∠EBD-∠ABD=45°-25°=20°.

創(chuàng)設(shè)意圖：類比典例的解題思維進(jìn)行跟進(jìn)訓(xùn)練，使學(xué)生在同類型命題的訓(xùn)練中獲取分析和解決問題的能力.這種類比訓(xùn)練，是將試題中的幾何圖形經(jīng)過修改和變化，采用相同的分析方法與推理過程再次感悟中考試題的真諦，是一種學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法的建構(gòu)過程.但是這樣的訓(xùn)練往往會導(dǎo)致題海戰(zhàn)術(shù)式的刷題，使學(xué)生的內(nèi)在潛力不能得到最大化挖掘.

跟進(jìn)訓(xùn)練2如圖3所示，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=OB=OD.

（1）求證：四邊形OBCD是菱形；

（2）若∠BAD=58°，求∠CDO的度數(shù).

本題與典例有著相同的需要解決的問題方向，但解決問題的思維方式產(chǎn)生了更寬泛的遞進(jìn)，需要通過作輔助線來完成推理.

解析：（1）要證明四邊形OBCD是菱形，已經(jīng)有“BC=CD，OB=OD”，只要能夠證明其為平行四邊形即可.利用三角形中等邊對等角，可以推斷出∠ABO=∠BAO，∠ADO=∠DAO.由三角形的外角與內(nèi)角之間關(guān)系（如圖4，作AO的延長線）得出∠1=2∠BAO，∠2=2∠DAO，即∠BOD=2∠BAD；也可以利用OA=OB=OD，點(diǎn)O是A，B，C三點(diǎn)所共圓的圓心（如圖4，A，B，D三點(diǎn)共圓），利用圓心角和圓周角的關(guān)系推斷∠BOD=2∠BAD.然后推斷出∠BOD=∠C.連接BD（如圖5），得出兩個等腰三角形BOD和BCD全等，從而可以判斷四邊形OBCD是菱形.

（2）根據(jù)（1）的推斷四邊形OBCD是菱形可知，∠CDO=180°-∠C=180°-2∠BAD=180°-2×58°=64°.

創(chuàng)設(shè)意圖：跟進(jìn)訓(xùn)練能促進(jìn)學(xué)生在變化的訓(xùn)練中深化分析和解決問題的能力.這種跟進(jìn)訓(xùn)練，已經(jīng)揚(yáng)棄了例題在已有圖形中的分析和推理模式，需要從作輔助線的角度出發(fā)，使得思維層面更高，培養(yǎng)學(xué)生更強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，有利于學(xué)生備考復(fù)習(xí).

跟進(jìn)訓(xùn)練3如圖6所示，Rt△ABC的一條直角邊BC在直線l上，且AC=BC.

（1）在圖6中，作Rt△EFP，邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（留下作圖痕跡）.經(jīng)測量，得出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖7的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ.猜測BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

本題以作圖來培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，以測量來完成兩條線段滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.在此基礎(chǔ)上變換圖形，然后猜測新的圖形中兩條線段滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出相應(yīng)的證明.與典例相比，本題得出的數(shù)據(jù)是直接測量出來的（作為新圖形中的判斷依據(jù)），這點(diǎn)與典例不同；而兩條線段滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系需要證明，與典例形式上相同.

解析：（1）在圖6中，從點(diǎn)F（C）出發(fā)在l上向右截取FP=EF；連接點(diǎn)A（E），P即可得出滿足條件的Rt△EFP（如圖8）.用圓規(guī)量出AB=EP，用量角器量出∠BAP=90°，說明AB⊥EP.

（2）基于（1）所測量得出的結(jié)論判斷圖7中BQ與AP滿足長度相等且互為垂直關(guān)系.而圖7中的BQ與AP沒有聯(lián)系，因此需要延長QB交AP于點(diǎn)H，如圖9.根據(jù)∠EPF=45°=∠CPQ，推斷△CPQ為等腰直角三角形，得出QC=PC；在△APC和△BQC中，AC=BC，∠ACP=∠BCQ=90°，推斷出△APC≌△BQC（SAS），則對應(yīng)邊BQ=AP.又根據(jù)∠APC=∠CQB，∠PBH=∠CBQ，故∠PHB=∠BCQ=90°，推斷BQ⊥AP.

創(chuàng)設(shè)意圖：跟進(jìn)訓(xùn)練3與典例表面上沒有明顯的聯(lián)系，但實(shí)質(zhì)是相同的，只不過需要學(xué)生動手實(shí)踐，在實(shí)驗中形成使用幾何工具的能力，同時幫助學(xué)生構(gòu)建“猜想—求證—結(jié)論”的創(chuàng)新思維模式.