二次函數軸對稱性的數量刻畫與應用

二次函數的圖象和性質是全國各省市中考必考的內容，其中二次函數圖象的軸對稱性是二次函數圖象非常重要的特點，同時也是近年各省市中考的高頻考點.但是，由于義務教育段教材對二次函數的軸對稱性認識的描述比較模糊，只是通過師生畫二次函數的圖象，結合軸對稱圖形的定義，讓學生體會到二次函數的圖象是一條對稱的曲線，缺乏數量上的具體刻畫.

本文中將對二次函數的軸對稱性進行數量上的刻畫，并以此為基礎，進而對涉及二次函數圖象上點的縱坐標（函數值）大小的比較、界點等類問題的解決分享一些思路和方法.

1 對二次函數圖象軸對稱性的數量刻畫

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關于直線x=-b2a對稱，有如下結論：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上的任意兩點（x1，y1），（x2，y2）亦或是任意兩組對應值，若滿足x1+x22=-b2a，則必有y1=y2；反之，若y1=y2，則也一定有x1+x22=-b2a.從二次函數圖象來看，關于直線x=-b2a對稱的兩個點到直線x=-b2a的距離相等.

2 二次函數圖象軸對稱性的兩個結論

由于數量間的相等關系是數量間大小關系發生變化的分界點，因此在初中數學中，在比較數量間的大小關系時，往往從研究數量之間的相等關系入手，從而以此為界點，完成數量間大小的比較問題.如，在初一數學中，我們就曾經利用方程（數量間的相等關系）得到方案的選擇問題（數量間的大小關系），就是借用了這一思想.

結合二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象特點，當agt;0時，圖象上距離對稱軸x=-b2a越遠的點，其縱坐標（也就是函數值）越大；當alt;0時，圖象上距離對稱軸x=-b2a越遠的點，其縱坐標（即函數值）越小.根據上面1中的結論，移動二次函數的對稱軸，不難得出在x1lt;x2的條件下，有以下兩個結論：

（1）當agt;0時，若x1+x22lt;-b2a，則y1gt;y2，反之，若y1gt;y2，則x1+x22lt;-b2a；

若x1+x22gt;-b2a，則y1lt;y2，反之，若y1lt;y2，則x1+x22gt;-b2a.

從二次函數對稱軸的位置來看，對稱軸x=-b2a在x=x1+x22的右側有y1gt;y2，在左側有y1lt;y2.

（2）當alt;0時，若x1+x22lt;-b2a，則y1lt;y2，反之，若y1lt;y2，則x1+x22lt;-b2a；

若x1+x22gt;-b2a，則y1gt;y2，反之，若y1gt;y2，則x1+x22gt;-b2a.

從二次函數對稱軸的位置來看，對稱軸x=-b2a在x=x1+x22的右側有y1lt;y2，在左側有y1gt;y2.

3 結論應用

下面筆者對一些中考（或模擬）習題進行粗淺的分析，共同體會以上結論在分析二次函數相關問題時所起的作用，以饗讀者.

例1（陜西中考練習題）若一個二次函數y=ax2-2ax-1（a≠0），當x分別取x1，x2兩個不同的值時，函數值相等，則當x取x1+x2時，函數值為

解析：題目中的未知數比較多，其中的a，x1，x2及其對應的函數值均未知，直接入手將其代入函數解析式還是比較困難的，將要面對比較繁雜的方程組.在題干己告知“當x分別取x1，x2兩個不同的值時，函數值相等”的條件下，雖然不知道具體函數值是多少，由上文1中結論可知，以這兩組對應值為坐標的點必是二次函數圖象上對稱的兩個點.因此必有x1+x22=-（-2a）2a=1，所以x1+x2=2，將x=2代入函數解析式可得出y=-1.

例2（2013陜西中考副題）若一個二次函數y=ax2-4ax+3（a≠0）的圖象經過兩點A（m+2，y1），B（2-m，y2），下列關系正確的是（）.

A.y1gt;y2

B.y1lt;y2

C.y1=y2

D.無法判斷

解析：對于二次函數圖象及性質問題的解決，往往需要先解決二次函數圖象的三要素（開口方向、對稱軸、頂點坐標）問題.對二次函數y=ax2-4ax+3（a≠0）而言，開口方向不明（取決于a的正負），可繼續考察其余兩個要素，利用二次函數的對稱軸公式，不難確定出二次函數的對稱軸為直線x=2，再次注意到二次函數圖象經過A，B兩點，其橫坐標滿足m+2+2-m2=2，結合二次函數對稱軸為直線x=2，由上文1中結論可得y1=y2.故選擇：C.

例3（西安交大附中模考）若二次函數y=-（x-h）2的圖象經過兩點A（m+6，y1），B（m，y2）兩點，且y1=y2，求y2的值.

解析：由y1=y2，據上文1中結論知，A，B兩點應是二次函數的圖象上對稱的兩個點，則對稱軸應為直線x=h=m+6+m2=m+3，所以二次函數y=-（x-h）2即為y=-（x-m-3）2，將點B（m，y2）代入此函數解析式得y2=-（m-m-3）2=-9.

例4（2023思源實驗學校模考）二次函數y=ax2+bx+c的圖象最高點是點D（m，4）且經過A（d，0），B（d+4，0），則a的值是（）.

A.1B.2

C.-1D.不確定

解析：通過審題，注意到A，B兩點縱坐標相同，則A，B應是二次函數圖象上對稱的兩點，且對稱軸是直線x=d+d+42=d+2，所以拋物線頂點坐標即為D（d+2，4）.由此不妨設二次函數解析式為y=a（x-d-2）2+4，從而實現“消元”.將點A（d，0）代入，得a（d-d-2）2+4=0，所以a=-1.故選：C.

例5（2013陜西中考）已知兩點A（-5，y1），B（3，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點C（x0，y0）是拋物線的頂點，若y1gt;y2≥y0，則x0的取值范圍是（）.

A.x0gt;-5

B.x0gt;-1

C.-5lt;x0lt;-1

D.-2lt;x0lt;3

解析：由拋物線的頂點C（x0，y0）和y1gt;y2≥y0知，頂點C是二次函數圖象的最低點，所以拋物線的開口方向向上，即agt;0.結合對稱軸是直線x=x0，又y1gt;y2，由上文2中結論（1）知，一定有-5+32=-1lt;x0.故選：B.

例6（西安愛知中學模擬）已知y=x2+（1-a）[J]5x-1是關于x的二次函數，其中自變量x的取值范圍為2≤x≤4，當x=2時函數y有最大值，則下列結論正確的是（）.

A.拋物線與x軸無交點

B.a≥7

C.對稱軸在y軸左側

D.當x=4時，ygt;-1.

解析：因為Δ=（1-a）2+4gt;0，所以拋物線與x軸有兩個交點，故選項A錯誤.因為1gt;0，即拋物線開口向上，所以要使在自變量取值范圍內，當x=2時y有最大值，由上文2中結論（1）知，該二次函數對稱軸必須在x=2+42=3的右側，即對稱軸x=-1-a2≥3，解得a≥7，故選項B正確，選項C錯誤.當x=4時，y=19-4a，又a≥7，所以y≤-9，故選項D錯誤.因此，本題正確答案為選項B.

例7（揚州中考）如圖1，已知△ABC的頂點坐標分別為A（0，2），B（1，0），C（2，1）.若二次函數y=x2+bx+1的圖象與陰影部分（含邊界）一定有公共點，則實數b的取值范圍是（）.

A.b≤-2

B.blt;-2

C.b≥-2

D.bgt;-2

解析：由該二次函數解析式知，拋物線開口向上，且必過點（0，1），觀察到點C（2，1），二者縱坐標相同.又拋物線對稱軸為直線x=-b2，當-b2=0+22，即b=-2時，拋物線恰好過點C.若要讓二次函數y=x2+bx+1的圖象與陰影部分（含邊界）一定有公共點，由上文中結論（1）知，對稱軸需在x=1的左側，即對稱軸x=-b2≤1，所以b≥-2.故選：C.

通過對以上問題的分析，我們可以得到如下解題經驗：在二次函數圖象和性質問題的考查中，如果已知條件涉及兩個及兩個以上點的坐標（或兩組及兩組以上自變量與函數對應值）時，就應該考慮到此題可能是對二次函數圖象軸對稱性問題的考查，結合題目中的已知條件，借助本文中對二次函數軸對稱性的數量刻畫，可以快速找到解決此類問題的突破口和著力點，并方便、快捷地解決問題.