三角形內心與外心的區分及應用

摘要：三角形的內心和外心雖冠以“三角形”之名，但它是與圓有關的問題.三角形的內心與外心在初中幾何部分也具有非常重要的地位，且從學生的解題情況來看，學生極易將二者的性質及作法混為一談.本文中說明了有效區分三角形的內心與外心的方法，并幫助學生正確應用于解決問題中.

關鍵詞：三角形；內心；外心

三角形的內心和外心是初中幾何部分非常容易混淆的兩個知識點，在解決幾何問題時，學生也經常出現混用內心和外心的性質、作法等現象，這給學生學習與圓有關的知識帶來了較大困惑.基于三角形的內心與外心在中考中的地位，同時兼顧學生在這方面的學習現狀，本文中對如何有效區分三角形的內心與外心進行了研究.

1 理論明晰

要想有效區分三角形的內心和外心，首先應從二者的理論本質出發，再從多個方面對二者進行對比.所以，本文先介紹二者的理論內容.

1.1 三角形的內心

（1）概念

三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心.

由此觀之，分別作三角形三個內角的角平分線，它們會相交于一點，該點就是三角形的內心.

（2）性質

三角形的內心到三角形三邊的距離相等.

需注意的是：首先，這一“距離”就是內切圓的半徑長；其次，這一“距離”是點到邊的距離.“距離”是點到邊的距離，是有效區別于三角形的外心的重要方法.

（3）作法

根據三角形的內心的概念，作出一個三角形的內心，只需分別作三角形三個角的角平分線，它們會相交于一點.另外，由于一個三角形三個角的角平分線一定會相交于一個點，而兩條相交直線確定一個點，所以只需作出兩個角的角平分線即可.這是三角形的內心的簡單作法，如圖1所示.

1.2 三角形的外心

（1）概念

三角形外接圓的圓心，即三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.

由此觀之，分別作三角形三條邊的垂直平分線，它們會相交于一點，該點就是三角形的外心.

（2）性質

三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于其外接圓的半徑.

需注意的是：首先，這一“距離”就是外接圓的半徑長；其次，這一“距離”是點到頂點的距離，這是有效區別于三角形的內心的重要方法.

（3）作法

根據三角形的外心的概念，作出一個三角形的外心，只需分別作三角形三條邊的垂直平分線，它們會相交于一點.另外，由于一個三角形三條邊的垂直平分線一定會相交于一個點，而兩條相交直線確定一個點，所以只需作出兩條邊的垂直平分線即可.這是三角形的外心的簡單作法，如圖2所示.

2 對比研究

上文從概念、性質和作法三個方面對三角形的內心、外心作了理論說明，下面通過一個表格（如表1）將二者進行對比.

從表1可看出，三角形的內心和外心最大的不同主要體現在作法和對“距離”的理解兩個方面：

首先，三角形的內心是通過作三個角的角平分線獲得，如圖1.而三角形的外心是通過作三條邊的垂直平分線獲得，如圖2.

其次，三角形的內心是到邊的“距離”相等，而三角形的外心是到頂點的“距離”相等.

以上是有效區分三角形內心和外心的兩個方面.為了讓學生對二者的區別有更深刻的印象，筆者在實際教學中采用了“聯想法”：

“內”字中的倒“丫”字形與角平分線非常相似，所以看到“內心”即聯想到角平分線，進而聯想到角平分線的性質——角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即三角形的內心到角的兩邊的距離相等.

“外”字中“卜”可形化為“├”，它與垂直平分線的幾何圖形“⊥”十分相似.所以，看到“外心”即聯想到垂直平分線，進而聯想到垂直平分線的性質——垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，即三角形的外心到邊的兩端點的距離相等.

該“聯想法”自筆者在課堂中實踐以來，越來越多的學生從以前對內心、外心易混的狀態轉變為十分清晰的狀態，解題的速率和正確率也得到了較大提升.

3 理論實踐

學習數學知識是為了最終用其解決實際問題，這就是所謂的“學以致用”[J].因此，為了鞏固上文中提到的“聯想法”，同時為了進一步有效區分三角形的內心和外心，教師不妨將其與實例相結合.

例1如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，O為其內切圓的圓心，D，E，F分別為⊙O與BC，AC，AB的切點.求△ABC內切圓的半徑r.

分析：在直角三角形中，連接內切圓的圓心和切點，與兩直角邊構成正方形，然后利

用正方形的性質即可解決.

解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5.

如圖4所示，連接OD，OE，OF，則OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.

∵OE=OD，

∠CEO=∠CDO=∠C=90°，

∴四邊形DCEO是正方形.

∴CE=CD.

連接OB.

∵OB=OB，OF=OD，

∴Rt△BOD≌Rt△BOF.

∴BF=BD.

同理，可證得AE=AF.

∵BD+r=4，

EA+r=3，

BD+EA=BF+FA=5，

∴BD+EA+2r=7.

∴2r=7-（BD+EA）.

∴△ABC內切圓的半徑

r=3+4－52=1（cm）.

例2如圖5，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是A（-3，0），B（-1，2），C（3，2），則△ABC的外心P的坐標是（）.

A.（0，-1）B.（0，0）

C.（1，-1）D.（1，-2）

解析：由題意可知，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，所以點P是線段BC，AB的垂直平分線的交點.

如圖6所示，分別作線段BC，AB的垂直平分線，其交點P的坐標是（1，-2）.

故選答案：D.

注意，在網格中，作與網格線重合的邊的垂直平分線比較簡單.這道題也可用排除法，把各項中的點分別作為圓心，以圓心到A，B，C三點中任一點的距離為半徑作圓，看其他兩點是否在圓上.

4 結語

本文通過概念、性質、作法三個方面的對比研究，給教師教學提供了有效區分三角形內心與外心的方法.希望一線教師能將此作為參考應用于教學實踐，以不斷促成與筆者的交流與溝通.

參考文獻：

[1]熊燕.有關三角形的內心與外心基本圖形探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2021（6）：37-39.