著眼基本元素 挖掘復習生長點

在中考一輪復習中，如何為學生構建一個啟發思考的平臺，讓學生能在不同的成長階段，對學習對象從基本元素入手引發更多的思考，實現再認識、再提升？筆者在鹽城市中考復習研討活動中開設的“等腰三角形”一輪復習課，著眼三角形的基本元素挖掘等腰三角形相關知識的生長點，

搭建思維平臺，引發學生深度思考，效果頗佳.

教學片斷一：獨立思考——操作

問題1如圖1，已知線段a，利用尺規作圖，你能確定一個三角形嗎？如果能，請畫出圖形.

設計意圖：線段是構成三角形的基本元素，只給定一條線段確定一個三角形，問題具有開放性，學生可以作出一些特殊的三角形.問題1可以讓學生充分發揮想象力，培養學生的幾何直觀及用數學的眼光觀察現實世界的意識和習慣，發展好奇心和創新意識.

生1：可以作出以邊長為a的等邊三角形，如圖2.

生2：可以作出斜邊長為a的等腰直角三角形，如圖3.

生3：可以作出直角邊長為a的等腰直角三角形，如圖4.

教學評析：給定一條線段，引導學生基于圖形的性質和元素間的關系進行尺規作圖，建立幾何直觀.學生能從確定三角形的邊和角的角度分析，得到一些特殊的等腰三角形，引出課題——等腰三角形.

學生利用尺規作圖，能夠輕松畫出一些特殊的三角形，如等邊三角形、等腰直角三角形.問題的設置具有開放性，沒有束縛住學生的觀察思考.教師從特殊的等腰三角形開始引入對等腰三角形的復習回顧，實現了從特殊的視角出發，搭建一個探索的平臺，引導學生體驗從特殊到一般的探究路徑.

由于問題具有開放性，也有學生畫出了一些其他的三角形，如圖5（底邊長為a，底邊上的高也為a的等腰三角形）、圖6（斜邊長為a，一條直角邊長為12a的直角三角形）.雖然沒有指向特殊的等腰三角形，與課堂預設的方向不一致，但為后續知識的生長提供了一些方法上的指引，讓播下的種子能夠蓬勃生長.

教學片斷二：深入探究——操作

只給定一個構成三角形的基本元素，所確定的三角形都具有一定的特殊性，如果再添加一個基本元素，可探究在給定兩個基本元素的條件下，如何確定一個等腰三角形.這個添加的基本元素可以是哪些？

設計意圖：讓學生提出問題.

生4：添加一條線段b或添加一個角∠α.

師：線段b有要求嗎？

生4：以線段a，b為兩邊能構成等腰三角形，滿足三角形的三邊關系.

下面探究第一種情形：

問題2如圖7，已知線段a，b，利用尺規作圖，你能確定一個等腰三角形嗎？如果能，請畫出圖形.

設計意圖：由特殊到一般，引導學生感知等腰三角形及其組成元素，通過歸納和類比回顧等腰三角形的性質.發展學生發現、提出、分析和解決問題的能力.

生5：可以作出底邊長為a、腰為b的等腰三角形，如圖8.

生6：可以作出底邊長為a、底邊上的高為b的等腰三角形，如圖9.

與學生一起分析尺規作圖用到了等腰三角形的哪些知識，進行復習、歸納總結.

教學評析：在與學生的交流中，添加一個元素，即再給定一條線段或者再給定一個角.學生思考討論后，類比問題1中的方法作圖，該環節注重基礎知識、基本技能的生成，順勢設置如下題組，讓學生掌握并應用等腰三角形的相關知識解決問題.

（1）若一個等腰三角形的頂角為80°，則它的另外兩個內角分別為多少度？

（2）若一個等腰三角形的一個內角為80°，則它的另外兩個內角分別為多少度？

（3）若一個等腰三角形的一個內角為100°，則它的另外兩個內角分別為多少度？

（4）若一個等腰三角形的兩邊長分別為4，3，則它的周長為多少？

（5）若一個等腰三角形的兩邊長分別為4，2，則它的周長為多少？

在問題2的基礎上，提出下面的問題：

問題3利用尺規作圖，能否作出底邊長為a、腰上高為b的等腰三角形？如果能，請作出圖形.

設計意圖：問題3的作圖在幾何直觀上較為抽象，注重引導學生經歷分析和解決問題的過程，即引導學生先畫出滿足題意的草圖，再分析出確定這個等腰三角形的關鍵——確定腰上的高.

思路分析：確定高轉化為確定直角轉化為直徑所對的圓周角為直角.

嘗試操作：如圖10所示.

提煉解決問題的策略方法，課堂生成的圖5、圖6為問題2、問題3的深入探究提供了思維的發散點，問題1播下的種子生根發芽，讓學生獲得解決數學問題的基本思想方法和基本活動經驗.

教學片斷三：合作探究——操作

下面考慮第二種情形：

問題4如圖11，已知線段a和∠α，你能確定一個等腰三角形嗎？如果能，請作出圖形.

設計意圖：學生經歷了解決問題1～3的過程，對問題4的發現與解決能夠自然生成，發展反思、總結與評價能力，讓學生經歷數學“再發現”的過程.

學生通過獨立思考、小組合作學習后，能夠有條理地提出以下解決方案：

方案1：以a為底，∠α為底角.

方案2：以a為腰，∠α為底角.

方案3：以a為腰，∠α為頂角.

方案4：以a為底，∠α為頂角.

教師讓全班4組同學分別解決上述4個方案.

由于已經有了解決問題1～3的經驗，前三組同學能順利解決方案1、方案2、方案3中的作圖問題.但第4組絕大多數同學束手無策.教者作了以下引導.

思路分析：頂角確定→等腰三角形的底角確定，等腰三角形的外接圓的圓心角確定.

嘗試操作：

思路一：利用底角確定作圖.如圖12，先在∠α中作出等腰三角形的底角90°－12α，再作底邊長為a，頂角為∠α的等腰三角形.

思路二：利用等腰三角形外接圓作圖.如圖13，先在∠α中作出圓心角所在的等腰三角形的底角90°－α，再作底邊長為a，頂點為2α的等腰三角形，確定出外接圓的圓心，進而畫出要求作的等腰三角形.

教學評析：通過操作與交流，學生達成共識，認為方案4較為困難.因為在之前的活動經驗中沒有能夠清晰地找到匹配的作圖方案.教學中教師要把握住學生思考的難點，注重引導，實現思維的自然發散及知識的自然生長.

中考一輪復習課，不僅要回顧知識，構建知識框架，更要關注核心知識、技能的自然生長.在解決問題的過程中，要挖掘學生思維的廣度與深度，啟發學生積極思考.給予學生一粒種子，在師生互動、生生互動的過程中，將知識生長蔓延開來；給予學生一個架子，在獨立思考、適時點撥中實現思維的自然發散.讓學生感悟思考解決數學問題的一般方法，積累數學探究的活動經驗，激發起學生進行數學探究的興趣.