雙豎桿空腹桁架的剛度及經濟性分析

陳順云，肖建春，沈睿麟，張翰銘，盛夏，鄧懋

(1.貴州大學 空間結構研究中心，貴州 貴陽 550025；2.貴州省結構工程重點實驗室，貴州 貴陽 550025)

空腹桁架構造簡單,應用廣泛[1-5]。在空腹桁架研究方面,董石麟等[6]提出了等代剛度簡化計算法求解空腹桁架。肖建春等[7]推導了考慮面板作用和上下弦不對稱影響時的折算剪切剛度公式,擴大了交叉梁系法的適用范圍。張華剛等[8]提出了空腹夾層板剛度分析的簡化算法,通過剛度分析,闡述了空腹梁與空腹桁架的靜力特性。李玉瑩等[9]通過理論分析得到了空腹桁架結構在豎向荷載作用下的理論解,清楚地解釋了空腹桁架的受力機理,為空腹桁架的設計和方案比較提供了理論依據。劉卓群等[10]基于空腹桁架理論提出了一種適合鋼空腹梁空腹部分內力的計算方法。姜嵐等[11]基于費氏空腹桁架理論,建立了剪力鍵式鋼空腹梁內力及變形簡化計算方法。肖建春等[12]提出了雙豎桿空腹桁架結構形式,研究了此類節點的極限承載力。

等代剛度法是一種相對簡單的近似計算方法,由于計算簡便,被廣泛地應用于空腹桁架概念設計[13],目前還沒有雙豎桿空腹桁架結構的簡化算法。為了便于雙豎桿空腹桁架結構概念設計,推導出雙豎桿空腹桁架的等效慣性矩和等效剪切剛度,采用等代剛度法簡化計算雙豎桿空腹桁架。通過雙豎桿空腹桁架剪切剛度分析,研究雙豎桿的合理間距。在相同用鋼量的控制條件下與傳統空腹桁架剛度對比、內力分布對比。在撓度和最大組合應力滿足規范標準的控制條件下與傳統空腹桁架結構優化設計后對比[14],綜合分析雙豎空腹桁架結構的優勢及工程應用價值。

1 雙豎桿空腹桁架

管道設備尺寸較大,但傳統空腹桁架剛度不滿足要求時(例如尺寸較大的設備有空調、送風管道等),可將豎桿間距縮小,既能滿足剛度要求,又能保證空間利用率,如圖1所示。將豎桿間距縮小就變成了雙豎桿空腹桁架,雙豎桿空腹桁架樓蓋的平面框架如圖2所示,H1為樓層層高,H2為樓層凈高,H3為桁架腹部空間凈高度,h為桁架高度,a為節間距,b為豎桿間距,L為空腹桁架跨度。樓蓋如圖3所示。

圖2 雙豎桿空腹桁架平面框架

圖3 雙豎桿空腹桁架樓蓋

傳統空腹桁架剛度小,導致桿端彎矩偏大、桁架高度大,在大柱網多高層建筑樓蓋中占用凈高空間較多等缺點[15]。雙豎桿空腹桁架由兩根豎桿與型鋼上下弦焊接而成,整體剛度增大,內力分布更均勻,桁架高度較低,這是顯著區別于傳統空腹桁架的特征。雙豎桿空腹桁架不僅繼承著傳統空腹桁架的優點,也有其自身的優越性,因此雙豎桿空腹桁架具有較好的工程應用前景。

2 等代剛度法

等代剛度法是將如圖4(a)所示空腹桁架的抗彎剛度和抗剪剛度分別等效為如圖4(b)所示的實腹梁的抗彎剛度和抗剪剛度,利用實腹梁的撓度計算公式計算出空腹桁架的撓度f,再進行結構內力計算。

(a)雙豎桿空腹桁架

(1)

2.1 基本假定

1)豎桿與上下弦剛接,上下弦截面特性相同;

2)忽略扭轉效應,僅考慮剪切和彎曲一階影響;

3)不考慮樓板作用,反彎點在桁架高度中點[16,7]。

2.2 等效慣性矩

使一個節間長度的空腹桁架和實腹梁上作用單位彎矩M=1如圖5(a)、(b)所示。實腹梁上部受拉,下部受壓產生彎曲轉角θb,計算式為:

(a)梁單元 (b)桁架單元 (c)桁架單元軸力圖圖5 對梁單元和桁架單元施加單位彎矩

(2)

空腹桁架在單位彎矩作用下,上弦受到軸向壓力N=M/h而縮短,下弦受軸向拉力N=M/h而伸長可得如圖5(c)所示軸力圖,從而桁架整體產生彎曲轉角,設其轉角為θt,根據虛功原理可得:

(3)

使空腹桁架彎曲轉角θt與實腹梁彎曲轉角相等,θt=θb可得:

(4)

上下弦截面屬性相同時:

(5)

2.3 等效剪切剛度

使一個節間長度的雙豎桿空腹桁架和實腹梁上作用單位剪力V如圖6(a)、(b)所示。

(a) 梁單元 (b) 桁架單元 (c) 桁架單元彎矩圖圖6 對梁單元和桁架單元施加單位剪力

忽略上下弦自身的剪切變形,軸向變形和腹桿的軸向變形。根據虛功原理,雙豎干空腹桁架一個節間單元受單位剪力的總變形為:

(6)

式中:Mc表示上下弦局部彎矩;Mv表示腹桿局部彎矩;Vv表示腹桿剪力,根據受力平衡Vv=a/2h;E表示彈性模量;Iv表示腹桿截面慣性矩;G表示剪切模量;Av表示腹桿截面面積;kv表示腹桿剪應力分布不均勻系數,由式(6)得

(7)

因此雙豎桿空腹桁架的剪切角為:

(8)

實腹梁受剪角為:

(9)

式中:k為實腹梁剪應力分布不均勻系數,G為剪切模量,A為實腹梁截面面積。令實腹梁剪切剛度Cb=k/GA,

(10)

使雙豎桿空腹桁架剪切轉角γt與實腹梁剪切轉角相等,γt=γb可得:

(11)

式中:i1=EI/a,iv=EI/h。

b=a/3時的雙豎桿空腹桁架等效剪切剛度公式為:

(12)

b=a/4時的雙豎桿空腹桁架等效剪切剛度公式為:

(13)

豎桿間距是雙豎桿空腹桁架的重要參數,豎桿間距的取值既影響桁架整體剛度,又影響空間利用率。腹部空間無論是作為樓層使用或是管道設備安裝使用,豎桿間距過大都會降低空間利用率,因此豎桿間距的取值應綜合桁架剛度和空間利用率兩個因素考慮。

由公式可以發現剪切角最小時,抗剪剛度最大。將轉角函數公式對未知數b求導:dγt/db=2b-a,由dγt/db=0,求得b=a/2,d2γt/db2=2大于0,因此b=a/2時剪切角γt取最小,抗剪剛度最大。

為了便于加工裝配單元,豎桿間距b取值建議不小于h2+0.15 (h2為豎桿橫截面高度,0.15 m為豎桿與上弦焊接時所需空間),因此豎桿間距b取值于h2+0.15≤b

3 剛度計算公式可靠性驗證

3.1 有限元模型

有限元模型參數如圖7所示,雙豎桿空腹桁架跨度L、節間距a、豎桿間距b、桁架高度h、上下弦寬度w1、上下弦高度h1、上下弦翼緣厚度t1、上下弦腹板厚度t2、豎桿截面寬度w2、豎桿高度h2、豎桿翼緣和腹板厚度t3。

(a)雙豎桿空腹桁架

有限元模型采用ANSYS有限元模擬中常用的網格劃分方法實現。Shen等[17]對未考慮鋼筋混凝土板的空腹梁進行實驗研究,把殼單元和梁單元模擬的空腹梁結果與實驗結果對比分析,結果表明殼單元與梁單元模擬空腹梁精度較高,誤差在5%以內。

工程實際一般采用梁單元進行結構設計,因此采用SHELL181單元和BEAM188單元模擬,并與等代剛度法計算結果對比分析。支座采用固定支承,鋼材彈性模量為2.06×105MPa,泊松比為0.3,剪切模量為7.9×104MPa。

3.2 參數化分析

取模型初始參數:q=13 kN/m雙豎桿空腹桁架跨度L=32 m、節間距a=3.2 m、豎桿間距b=a/4、桁架高度h=1.4 m、上下弦寬度w1=0.25 m、上下弦高度h1=0.35 m、上下弦翼緣厚度t1=0.008 m、上下弦腹板厚度t2=0.006 m、豎桿截面寬度w2=0.25 m、豎桿高度h2=0.25 m、豎桿翼緣和腹板厚度t3=0.006 m,建立有限元模型對比分析如圖8所示。由圖8可得以下幾點結論:

(a)改變豎桿間距 (b)改變跨高比 (c) 改變桁架高與上、下弦高和的比率

由圖8(a)所示,隨著豎桿間距不斷增大,跨中撓度逐漸減小,說明雙豎桿空腹桁架剛度隨著豎桿間距增大而增大,豎桿間距為a/2時剛度最大。

由圖8(b)所示,隨著跨高比的增大,跨中撓度先減小后增大;說明桁架高度過大時,腹桿長細比較大,由剪力引起的局部彎曲變形較大,從而導致跨中撓度較大;跨度不變,桁架高度減小時,桁架整體抗彎剛度減小,跨中撓度大幅增加。

由圖8(c)所示隨雙豎桿空腹桁架高度與上下弦高度和的比率增大,桁架跨中撓度增大;雙豎桿空腹桁架高度與上下弦高度和的比率較小時,上下弦截面高占桁架高度較大比重,桁架抗彎剛度與等效剪切剛度均較大,跨中撓度較小;反之,桁架抗彎剛度與等效剪切剛度均較小,跨中撓度較大。

由圖8(d)、(e)所示,桁架跨中撓度隨上下弦截面寬度和上下弦翼緣厚度的增加而減小;上下弦截面寬度和翼緣厚度的增加使桁架抗彎剛度大幅增加,桁架撓度自然減小。

由圖8(f)所示,桁架撓度隨荷載不斷增加而增加,荷載與撓度成正比例關系。

圖8中BEAM188、SHELL181單元模擬的雙豎桿空腹桁架撓度值與理論值誤差均在10%以內,理論值與SHELL181單元模擬值更接近,說明公式(5)與公式(11)用于計算雙豎桿空腹桁架剛度有很高的可靠性。

4 性能對比分析

以b=a/4的固定支座雙豎桿空腹桁架為例,與傳統單豎桿空腹桁架進行對比研究,模型結構相關參數如圖9所示。跨度L、節間距a、豎桿間距b、桁架高度h、上下弦寬度w1、上下弦高度h1、上下弦翼緣厚度t1、上下弦腹板厚度t2、豎桿截面寬度w2、豎桿高度h2、豎桿翼緣和腹板厚度t3。

(a)空腹桁架

4.1 用鋼量控制相同的條件下剛度及內力對比分析

4.1.1 剛度對比

剛度等代后,用式計算雙豎桿空腹桁架的跨中撓度,用式(2)計算等效慣性矩,用式(12)計算等效剪切剛度,并與傳統空腹桁架對比分析。為了確保剛度是影響撓度的唯一因素,使用鋼梁基本相同。傳統空腹桁架等效慣性矩與雙豎桿空腹桁架相同,等效剪切剛度公式為[7]:

(14)

式中彎矩和剪力引起的變形通過圖乘法求出。兩種結構采用式計算的跨中撓度、等效慣性矩和等效剪切剛度見表1。

表1 模型參數及計算結果

由表1可以看出,設計條件及用鋼量基本相同的條件下,雙豎桿空腹桁架撓度更小。雙豎桿空腹桁架兩種不同豎桿間距的等效剪切剛度分別是傳統空腹桁架的1.3、1.4倍。兩種不同的豎桿間距,最大撓度為傳統空腹桁架的87%、84.4%。

4.1.2 內力對比

為了研究雙豎桿空腹桁架的內力分布規律及優劣,對傳統空腹桁架結構和雙豎桿空腹桁架結構進行內力分析和對比,模型參數如圖9所示,具體參數與表1相同。兩端固定的空腹桁架內力最大處為支座附近,傳統空腹桁架與雙豎桿空腹桁架支座附近的內力如圖10所示。

由圖10可以看到,雙豎桿空腹桁架的上下弦最大彎矩和最大剪力較單豎桿空腹桁架分別減小了35.3%和7.2%,雙豎桿空腹桁架的腹桿最大彎矩和最大剪力較單豎桿空腹桁架分別減小了39.5%和39.1%。空腹桁架由單豎桿變為雙豎桿之后,內力峰增多,峰值并趨于緩和。上下弦構件截面由最大內力控制,雙豎桿空腹桁架上下弦內力沿構件分布更均勻,峰值小,理論上截面也會隨之減小。

(a) 單豎桿空腹桁架彎矩圖 (b) 單豎桿空腹桁架剪力圖 (c) 單豎桿空腹桁架軸力圖 (d) 雙豎桿空腹桁架彎矩圖 (e) 雙豎桿空腹桁架剪力圖 (f) 雙豎桿空腹桁架軸力圖圖10 內力比較

4.2 撓度和最大應力滿足規范的條件下性能對比分析

采用基于響應面法的結構優化設計方法[18]對傳統空腹桁架結構與雙豎桿空腹桁架結構進行優化設計,并在兩種結構最優狀態下對比分析其經濟性及實用性。

4.2.1 設計流程

以結構質量為目標函數,最大組合應力、最大撓度和構件寬厚比為約束條件。

(15)

為防因構件局部屈服致整體結構破壞,建立應力約束條件σ≤[σ],約束值為Q345鋼的屈服強度。為了滿足整體結構剛度要求和舒適度要求建立最大撓度約束f≤[f],根據《鋼結構設計標準》規定的樓蓋撓跨比1/400[19],32 m跨度允許撓度為0.08 m。為了保證局部穩定性,根據《抗震設計規范》按一級抗震標準約束寬厚比[20],β1為上下弦翼緣寬厚比,β2為上下弦腹板寬厚比,β3為腹桿寬厚比。根據H型鋼規格表獲取各設計變量的取值范圍,在范圍內取可制造離散值。設計變量及約束條件見表2。

表2 設計變量和約束條件

設計變量、目標函數和約束條件確定后,通過Box-behken實驗設計獲取數值實驗樣本點;構建Kriging響應面,獲取近似響應點;采用MOGA遺傳算法,對空腹桁架進行優化設計,優化流程如圖11所示。

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圖11 優化流程

4.2.2 結果分析

根據以上優化流程得到傳統空腹桁架與雙豎桿空腹桁架的最優解,兩種結構的構件截面參數、結構最大撓度、最大組合應力、結構質量見表3。由表3可得出以下結論:

表3 優化設計結果

1)在相同條件下,雙豎桿空腹桁架結構高度減小了0.2 m,在工程中應用雙豎桿空腹桁架結構每層可節省層高0.2 m。

2)雙豎桿空腹桁架結構上下弦高度減小了0.1 m。腹部空間凈高為桁架高度減去上下弦高度,傳統空腹桁架與雙豎桿空腹桁架腹部空間凈高均為0.7 m。說明雙豎桿空腹桁架結構高度小,腹部空間大,腹部空間利用率較高。

3)撓跨比、最大組合應力滿足規范要求的前提下傳統空腹桁架用鋼量6.2 t,雙豎桿空腹桁架用鋼量5.1 t,相比傳統空腹桁架結構用鋼量減少了1.1 t,節省用鋼量17.5%。說明與傳統空腹桁架結構相比,實際建筑工程采用雙豎桿空腹桁架結構造價更低。

5 結論

本文通過等效剪切剛度分析與有限元相結合的方法分析了雙豎桿空腹桁的整體剛度和技術經濟性能,得到以下結論:

1)推導了雙豎桿空腹桁架等效慣性矩和等效剪切剛度公式,并經過參數化分析驗證出公式的可靠性,可用于簡化求解雙豎桿空腹桁架結構。

2)經過等效剪切剛度分析,得到了雙豎桿合理取值范圍。相同用鋼量的條件下,通過剛度對比分析得出,雙豎桿空腹桁架整體剛度是傳統空腹桁架整體剛度的1～1.4倍。

3)在用鋼量相同的條件下與傳統空腹桁架靜力對比分析得出,雙豎桿空腹桁架的上下弦彎矩和剪力分別減小了35.3%和 7.2%,腹桿的彎矩和剪力分別減小了39.5%和39.1%。

5)雙豎空腹桁架結構剛度大、桁架高度低,該類結構的建筑空間利用率高、結構造價低,具有很好的工程應用前景。

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