例談求線段長問題的四種方法

［摘 要］求線段長是初中幾何常見的題型。文章結合例題，從四個方面探討求線段長的四種方法，旨在提升學生的解題能力和思維品質。

［關鍵詞］線段長；勾股定理；全等三角形；相似三角形；三角函數

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0031-04

求線段長是初中幾何常見的題型。在學習“全等三角形”時，可通過求線段長來考查學生對全等三角形判定與性質的掌握情況；學習“勾股定理”時，可通過求線段長來檢驗學生對勾股定理的理解程度；在學習“相似三角形”時，求線段長也是考查學生相似三角形判定與性質掌握情況的有效手段；在學習“銳角三角形函數”時，求線段長則能幫助學生鞏固對銳角三角函數定義的理解及掌握特殊角的三角函數值?；谶@些學習內容，筆者總結了求線段長的四種方法，現舉例說明。

一、利用勾股定理求線段長

利用勾股定理求線段長是求線段長最常用的方法。勾股定理是人類最偉大的發現之一，它揭示了直角三角形中三邊之間的數量關系。在直角三角形中，只要已知兩邊長度，即可利用勾股定理求得第三邊。而構造直角三角形的一個常用技巧就是作垂線。

［例1］如圖1，在Rt[△ACB]中，[∠ACB=90°]，[AC=BC=3]，點[D]在直線[AC]上，[AD=1]，過點[D]作[DE]∥[AB]交[BC]于點[E]，連接[BD]，點[F]是線段[BD]的中點，連接[EF]，則[EF]的長為 " " " " 。

解：如圖2，延長[EF]交[AB]于點[G]，連接[DG]?！遊DE]∥[AB]，∴[∠EDF=∠GBF]，[∠DEF=∠BGF]?！唿c[F]是線段[BD]的中點，∴[DF=BF]，∴[△DEF ]≌[△BGF]（AAS），∴[FE=FG]，[DE=BG]，∴四邊形[BEDG]為平行四邊形，∴[DG]∥[BE]。∵[AC=BC=3]，[AD=1]，[DE]∥[AB]，∴[AD=BE=DG=1]，∴[∠AGD=∠ABC=45°=∠A]，∴[△ADG]為等腰直角三角形。①當點[D]在線段[AC]上時，如圖3，[CE=CD=AC-AD=3-1=2]，∴[DE=2CD=22]，過點[G]作[GH⊥DE]于點[H]，∴[△DGH]為等腰直角三角形，∴[GH=DH=22DG=22]，∴[HE=DE-DH=22-22=322]，在Rt[△GHE]中，由勾股定理得[GE=GH2+HE2=222+3222=5]，∴[EF=12GE=52]；②當點[D]在[CA]的延長線……