中考常見幾何問題分析

［摘 要］幾何問題是初中數學中十分重要的一種問題類型，常在中考試卷中出現。文章結合實際情況，歸納了開放型幾何問題、存在判定型幾何問題、類比遷移型幾何問題、規律探究型幾何問題及實踐操作型幾何問題等常見題型，并對每種題型進行詳細分析，旨在提升學生的幾何知識掌握水平。

［關鍵詞］中考；幾何問題；開放型

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0007-03

初中階段，幾何知識是重點知識之一。在中考中，除了基礎考題，還會出現一些具有開放性、探究性的幾何問題。這類問題不僅考查學生對幾何知識的掌握情況，還考查他們的空間思維能力和邏輯思維能力。由于這類問題較為復雜，學生往往得分不高?；诖?，本文結合實際案例，對中考中常見的幾何問題進行總結分析，以供讀者參考。

一、開放型幾何問題

開放型幾何問題主要分為條件開放型幾何問題、結論開放型幾何問題、策略開放型幾何問題等幾類，題型各有特點。條件開放型幾何問題給出結論，要求找出使結論成立的條件；結論開放型幾何問題則提供條件，要求探索可能的結論；策略開放型幾何問題則在給定條件和結論的同時，解題路徑不唯一，需找出多種解題策略。解答這類問題時，首先要仔細閱讀題目，明確題目條件和要求；其次要尋找與結論或解題策略相關的線索。重要的是，不要拘泥于單一的解題思路，應嘗試多種方法。

［例1］如圖1，將邊長為[4]的等邊三角形沿邊[BC]上的高[AD]剪成兩個三角形，用兩個三角形拼成一個平行四邊形。

（1）畫出這個平行四邊形（一種情況）；

（2）根據（1）的結果，求出兩條對角線長。

解析：（1）所畫的平行四邊形如圖2所示。

（2）如圖3，四邊形[ABDC]為平行四邊形，其邊[AB=CD=4]，連接[BC]，過點[C]作[CE]垂直[BD]的延長線于點[E]，則可得矩形[ACED]。易得[AD=23]，則[EC=23]，[BE=2BD=4]，進而得[BC=27]，所以平行四邊形ABDC的對角線長為[AD=23]，[BC=27]。

評析：本題主要考查圖形的剪拼，涉及等邊三角形和矩形的性質。解決開放型幾何問題時，需充分利用已知條件和圖形特征，通過猜想、歸納、類比，分析可能的不同結論，并做出取舍。

二、存在判定型幾何問題

存在判定型幾何問題通常要求考生依據給定的條件或圖形，判斷結論是否成立，或者判斷命題的真假。解答這類問題時，可先假設結論成立（或命題為真），然后基于此進行邏輯推理：若推理結果與假設一致，則結論成立；若相矛盾，則假設不成立，即結論不成立（或命題為假）。

［例2］如圖4，線段[AB]與圓[O]相切于點[B]，[AO]交圓[O]于點[M]，其延長線交圓[O]于點[C]，連接[BC]，[∠ABC=120°]，[D]為圓[O]上的一點，且圓弧[DB]的中點為[M]，連接[AD]，[CD]。

（1）求[∠ACB]；

（2）試判斷四邊形[ABCD]是否為菱形。

解析：（1）如圖5，連接[OB]，由線段[AB]與圓[O]相切于點[B]，得出[∠ABO=90°]，而[∠ABC=120°]，所以[∠ACB=∠OBC=120°-90°=30°]。

（2）由[D]為圓[O]上的一點，且圓弧[DB]的中點為[M]，得出[∠ACD=∠ACB=30°]，而[∠ABC=120°]，所以[∠CAB=30°=∠ACB]，可得[BA=BC]，易得[CD=CB]，則[△ACD ]≌[ △ACB]，可得[AD=AB]，所以[AD=AB=CD=CB]，從而得出四邊形[ABCD]為菱形。

評析：本題未采用反證法，而是結合圓、三角形等平面圖形的性質，通過求出各邊的關系，證明了四邊形[ABCD]為菱形。

三、類比遷移型幾何問題

類比遷移型幾何問題較為特殊，主要考查學生的觀察能力、邏輯推理能力及知識靈活運用能力。解題時，需先讀懂并理解已知信息，再挖掘其與所求問題間的關系，進而靈活運用相關知識求解。其中，挖掘關系是重點也是難點，需要學生具備較強的邏輯思維能力及想象能力。

［例3］（1）如圖6，在矩形[ABCD]中，點[E，F]分別在邊[DC]，[BC]上，[AE⊥DF]，垂足為[G]，求證[△ADE ]∽[△DCF]。

（2）如圖7，在正方形[ABCD]中，點[E]，[F]分別在邊[DC]，[BC]上，[AE=DF]，延長[BC]到點[H]，使[CH=DE]，連接[DH]，求證：[∠ADF=∠H]。

（3）如圖8，在菱形[ABCD]中，點[E]，[F]分別在邊[DC]，[BC]上，[AE=DF=11]，[DE=8]，[∠AED=60°]，求[CF]的長。

解析：（1）由題目條件易證[△ADE ]∽[△DCF]，過程略。

（2）如圖7，因為[AD=CD]，[AE=DF]，所以[Rt△ADE ]≌[Rt△DCF]，則有[DE=CF]；由[CH=DE]，得[CH=CF]，所以[Rt△DCF ]≌[Rt△DCH]，則有[∠DFC=∠H]，由[AD]∥[BC]，得[∠ADF=∠DFC]，所以[∠ADF=∠H]。

（3）如圖9，延長[BC]至點[G]，使[CG=DE=8]，連接[DG]，易證[△ADE ]≌[△DCG]，得[∠DGC=∠AED=60°]，[AE=DG]，由[AE=DF]得[DG=DF]，所以[△DFG]是等邊三角形，得[FG=DF=11]，從而得[CF=FG-CG=11-8=3]。

評析：本題從矩形問題、正方形問題逐步遷移到菱形問題，難點在于挖掘不同圖形問題的內在聯系，并以此為依托進行解題。

四、規律探究型幾何問題

規律探究型幾何問題的基本特征是給出特殊情況，然后通過推導、猜想、證明得出一般結論。解答這類問題時，需先從特殊條件出發，運用歸納、類比方法推導出一般結論，進而解決問題。

［例4］小紅同學在學習正方形知識后開展了以下探究活動：在正方形[ABCD]的邊[BC]上任意取一點[G]，以[BG]為邊長向外作正方形[BEFG]，將正方形[BEFG]繞點[B]順時針旋轉。

（1）當[BG]在[BC]上時，連接[DF]，與[AC]相交于點[P]，小紅發現點[P]恰好為[DF]的中點，如圖10。針對小紅的發現，請給出證明。

（2）小紅繼續連接[EG]，并延長與[DF]相交，發現交點恰好為[DF]的中點[P]，如圖11。根據小紅的發現，試判斷[△APE]的形狀。

（3）如圖12，將正方形[BEFG]繞點[B]順時針旋轉[α]，連接[DF]，點[P]是[DF]的中點，連接[AP]，[EP]，[AE]，[△APE]的形狀是否發生改變？

解析：（1）如圖13，連接[BD]，[BF]，[BP]，由正方形的性質可得[∠DBF=90°]，[△APD ]≌[△APB]，所以[BP=DP]，進而得[∠PDB=∠PBD]，由等角的余角相等可得[∠PBF=∠PFB]，所以[PB=PF]，從而[PD=PF]。

（2）如圖11，由正方形可得[∠CAE=∠PEA=45°]，所以[△APE]是等腰直角三角形。

（3）如圖14，延長[EP]至點[M]，使[PM=PE]，連接[MA]，[MD]，易證[△MPD ]≌[△EPF]，則有[DM=EF]，[∠DMP=∠PEF]，所以[BG]∥[DM]。

設[DF]交[BC]于點[H]，交[BG]于點[N]，則[∠MDN=∠DNB]，由[AD//BC]，得[∠ADN=∠BHN]，進而得出[∠ADM=∠BHN+∠BNH=180°-∠HBN=∠ABE]，所以[△ADM ]≌[△ABE]，進而得出等腰直角三角形[AEM]，由[P]是[EM]的中點，得等腰直角三角形[APE]，故[△APE]形狀不變，仍為等腰直角三角形。

評析：本題難點在于第（3）問，需借助輔助線，利用中點構造全等三角形來解題。解答這類問題時，應結合條件，靈活觀察與類比。

五、實踐操作型幾何問題

實踐操作型幾何問題常與實踐操作相聯系，如課堂上的探究性活動、身邊的探究性用具等。常見的命題情境是給出條件，讓學生挖掘內涵，探究解題思路或方法。

［例5］［問題情境］兩位同學用相同的兩塊含[30°]的三角板開展數學探究活動，兩塊三角板分別記作[△ADB]和[△A'D'C]，[∠ADB=∠A'D'C=90°]，[∠B=∠C=30°]，設[AB=2]。

［操作探究］如圖15，先將[△ADB]和[△A'D'C]的邊[AD]，[A'D']重合，再將[△A'D'C]繞著點[A]按順時針方向旋轉，旋轉角為[α（0°≤α≤360°）]，旋轉過程中[△ADB]保持不動，連接[BC]。

（1）當[α=60°]時，[BC=]" " " " " " " " " " ；當[BC=22]時，[α=]" " " " " " " " " "。

（2）當[α=90°]時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積。

解析：（1）當[α=60°]時，[A'C]與[AD]重合，易得[△ABC]為等邊三角形，如圖16，所以[BC=AB=2]；當[BC=22]時，由勾股定理可得[∠BAC=90°]，即[AB⊥AC]。

后續則要分兩種情況進行討論，如圖17，[∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°]，此時[α=∠DAD'=∠CAD'-∠DAC=60°-30°=30°]，如圖18，[∠DAB=∠D'AC=60°]，此時[α=∠DAB+∠BAC+∠D'AC=210°]。綜上，當[BC=22]時，[α=30°]或[210°]。

（2）當[α=90°]時，可得圖19，易得正方形[ADED']為正方形，則[AD=DE=D'E=1]，所以[BE=BD-DE=3-1]，進而得[EF=BE×tan∠ABD=1-33]，又[DG=AD×tan∠DAG=33]，所以[S四邊形AGEF=S△ABD-S△BEF-S△ADG=32-（3-1）（3-3）6-36=1-33]。

評析：本題是常見的實踐操作題，難點在于準確畫出相應的圖象，并結合分類討論進行解題。解答時，學生需具備空間思維能力、猜測能力及逆向思考能力。

本文總結了中考中幾類常見的幾何問題，并逐一進行分析。各類問題雖然不盡相同，但均要求學生具備較強的邏輯思維能力和扎實的知識基礎。因此，教師需引導學生在日常學習中積極總結，不斷提升。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 高小梅.初中數學幾何中的“從特殊到一般”思想[J].現代中學生（初中版），2024（6）：15-16.

[2]" 楊柳.巧用“等腰與旋轉”解決幾何問題[J].數理天地（初中版），2024（3）：41-42.

[3]" 魏慶雪.動態幾何問題的解題探究[J].中學數學，2023（24）：75-76.

[4]" 許娜.初中平面幾何中逆向思維的探究[J].數理天地（初中版），2023（19）：6-7.

（責任編輯 黃春香）