立足“新定義” 著力“新探究”

［摘 要］文章對2024年河南省中考數學第23題進行解法研究，并從兩個方面對該試題進行評價：一是“新定義”重在理解，“新探究”彰顯能力；二是新情境素養立意，巧設問自主畫圖。此外，還基于“考教結合”原則，提出在教學過程中應注重數學概念的理解，加強數學思想的引領，重視綜合與實踐活動的開展，旨在實現以考促教、以考促學的目標。

［關鍵詞］新定義；新探究；中考題

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0004-03

《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》指出，試題結構要提高探究性、開放性、綜合性試題比例。探究性試題既注重考查基礎知識、基本技能，又注重考查分析問題、解決問題的能力。對中考題進行研究能深化學生對基礎知識的理解，有助于學生數學思維品質的提升。

一、試題呈現

（2024年河南省中考數學第23題）綜合與實踐

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗。請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究。

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作鄰等對補四邊形。

（1）操作判斷

用分別含有[30°]和[45°]角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有" " " " " " " " （填序號）。

（2）性質探究

根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質。下面研究與對角線相關的性質。

如圖2，四邊形[ABCD]是鄰等對補四邊形，[AB=AD]，[AC]是它的一條對角線。

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若[BC=m]，[DC=n]，[∠BCD=2θ]，求[AC]的長（用含[m]，[n]，[θ]的式子表示）。

（3）拓展應用

如圖3，在[Rt△ABC]中，[∠B=90°]，[AB=3]，[BC=4]，分別在邊[BC]，[AC]上取點[M]，[N]，使四邊形[ABMN]是鄰等對補四邊形。當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出[BN]的長。

二、試題解法研究

本題為幾何新定義探究題，探究路徑為“定義—性質—應用”，具有很強的探究性和開放性。一道好的考題應能同時發揮評價和導向的雙重功能，對中考題解法的研究，不僅能拓寬教學路徑，還能有效實現以考促教、以考促學的目標。

本題第（1）問的答案（即②④）容易根據題設中給出的鄰等對補四邊形定義直接得出，因此本文對此不再贅述。下面重點從不同思路出發對第（2）問和第（3）問進行分析，并給出以下不同的解法。

針對第（2）問中的第①小問。

思路1：基于“截長補短”構造全等三角形。

解法1：如圖4，延長[CB]至點[E]，使[BE=DC]，連接[AE]。因為四邊形[ABCD]是鄰等對補四邊形，所以[∠D+∠ABC=180°]；因為[∠ABE+∠ABC=180°]，所以[∠ABE=∠D]；又因為[AB=AD]，得[△ABE] ≌[△ADC]（SAS），于是有[∠E=∠ACD]，[AE=AC]，所以[∠E=∠ACB]，所以[∠ACD=∠ACB]。

思路2：基于旋轉構造全等三角形。

解法2：如圖4，將[△ADC]繞點[A]順時針旋轉，得到[△ABE]，由旋轉的性質得[∠E=∠ACD]，[∠ABE=∠D]，[AE=AC]。因為四邊形[ABCD]是鄰等對補四邊形，所以[∠D+∠ABC=180°]，于是[∠ABE+∠ABC=180°]，故[C]，[B]，[E]三點共線。因為[AE=AC]，所以[∠E=∠ACB]，故[∠ACD=∠ACB]。

解法3：如圖5，將[△ABC]繞點[A]逆時針旋轉，得到[△ADE]，同解法2可證[∠ACD=∠ACB]。

思路3：構造輔助圓。

解法4：如圖6，[因為]四邊形[ABCD]是鄰等對補四邊形，所以[∠B+∠D=180°]，所以點[A]，[B]，[C]，[D]四點共圓，因為[AB=AD]，所以[AB=AD]，所以[∠ACD=∠ACB]。

思路4：基于角平分線的判定構造全等三角形。

解法5：如圖7，作[AE⊥BC]于點[E]，作[AF⊥CD]，交[CD]的延長線于點[F]，所以[∠AEB=∠F=90°]，因為四邊形[ABCD]是鄰等對補四邊形，所以[∠ADC+∠B=180°]，又因為[∠ADC+∠ADF=180°]，所以[∠B=∠ADF]。因為[AB=AD]，所以[△ABE ]≌[△ADF]（AAS），所以[AE=AF]，又因為[AE⊥BC]，[AF⊥DF]，所以[CA]平分[∠BCD]，即[∠ACB=∠ACD]。

針對第（2）問中的第②小問。

思路1：基于“三線合一”構造直角三角形。

解法1：如圖8，在第（2）問的第①小問的解法1、解法2的圖形（圖4）上作[AF⊥BC]于點[F]，由第（2）的第①小問得[BE=DC=n]，[∠ACB=12∠BCD=θ]，[AE=AC]，所以[CF=12CE=12（BC+BE）=m+n2]，所以在[Rt△AFC]中，[AC=CFcos∠ACF=m+n2cosθ]。

思路2：基于角平分線的性質構造全等三角形。

解法2：如圖9，過點[A]分別作[AE⊥BC]于點[E]，[AF⊥CD]于點[F]由第（2）問的第①小問得[∠ACB=12∠BCD=θ]，所以[AE=AF]，又因為[AB=AD]，可證[△ABE ]≌[△ADF]（HL），所以[BE=DF]，所以[CE+CF=CE+DF+CD=CE+BE+CD=BC+CD=m+n]。易證[△AEC ]≌[△AFC]，所以[所以][CE=CF]，所以[CE=m+n2]，所以在[Rt△AEC]中，[AC=CEcos∠ACE=m+n2cosθ]。

針對第（3）問。

由已知條件及勾股定理容易求得[AC=5]，[sinA=45]，[sinC=35]因為四邊形[ABMN]是鄰等對補四邊形，所以[∠ABM+∠ANM=180°]，可以得到[∠ANM=90°]，分情況討論：

1.當[AB=BM]時

思路1：基于三角函數構造直角三角形。

解法1：如圖10，在[BC]上截取[BM=3]，作[MN⊥AC]于點[N]，連接[BN]。由第（2）問中的第①小問得[∠ANB=∠MNB=45°]，作[BD⊥AC]于點[D]，在[Rt△ADB]中，[BD=AB·sinA=3×45=125]，在[Rt△BDN]中，[BN=BDsin∠DNB=12522=1225]。

思路2：基于探究結論求解。

解法2：如圖11，取[BM=3]，[CM=1]，所以在[Rt△CNM]中，[MN=CM·sinC=1×35=35]，[CN=CM·cosC=1×45=45，]所以[AN=5-45=215]。根據第（2）問中的第②小問探究結論[BN=m+n2cosθ]，令[m=35]，[n=215]，[θ=45°]，[BN=m+n2cosθ=35+2152cos45°=1225]。

2.當[MN=NA]時

思路1：基于三角函數構造直角三角形。

解法1：如圖12，在[BC]上取一點[M]，使[∠CAM=45°]；作[MN⊥AC]于點[N]，連接[BN]。根據第（2）問中的第①小問得[∠ABN=∠CBN=45°]，作[ND⊥BC]于點[D]。在[Rt△BDN]中，設[BD=ND=x]，則[BN=2x]，[CD=4-x]，在[Rt△CDN]中，[tanC=NDCD=34]，所以[x4-x=34]，解得[x=127]，所以[BN=1227]。

思路2：基于探究結論求解。

解法2：如圖13，在[Rt△AMN]中設[AN=MN=x]，則[CN=5-x]，在[Rt△CMN]中，[tanC=MNCN=34]，所以[x5-x=34]，解得[x=157]，所以[MN=157]，[CM=MNsinC=15735=257]，所以[BM=4-257=37]，根據第（2）問中的第②小問的探究結論得[BN=AB+BM2cos∠ABN]，所以[BN=3+372cos45°=1227]。

3.當[BM=MN]時

思路：利用角平分線構造全等三角形。

解法：如圖14，作[∠BAC]的角平分線，交[BC]于點[M]；作[MN⊥AC]于點[N]，連接[BN]，可證[△ABM ]≌[△ANM]（AAS），所以[AB=AN]。與題意不符，此種情況舍去。

4.當[AB=AN]時

同“當[BM=MN]時”思路，可證這種情況與題意不符，此種情況舍去。

綜上所述，[BN]的長為[1225或1227]。

三、試題評價

（一）“新定義”重在理解，“新探究”彰顯能力

本題屬于“新定義”類型題，旨在讓學生在已有的幾何圖形知識和經驗的基礎上，對新定義“鄰等對補四邊形”進行探究，從而考查學生的幾何分析、探究、應用能力。本題通過問題設計逐步引導學生進行探究：第（1）問是概念辨析，第（2）問是性質探究，而第（3）問則要求學生綜合運用所學性質解決問題。本題不僅考查了學生適應新情境、接受新知識、認識新事物的能力，還考查了學生的閱讀理解能力、自主學習能力，以及數據處理、新知識遷移和應用能力。本題旨在培養學生的幾何直觀、空間想象和邏輯推理能力。

（二）新情境素養立意，巧設問自主畫圖

本題以“新定義”為情境載體，旨在考查學生即時適應新情境的能力、即時探究新知的能力以及即時應用結論的能力。同時，通過讓學生在新情境中體驗數學研究過程，發展數學素養。特別是第（3）問在給定四邊形[ABMN]是鄰等對補四邊形的前提下，要求求出[BN]的長。這需要學生根據鄰等對補四邊形的定義，以“一組鄰邊相等”為分類條件進行自主畫圖。這一過程考查了學生的幾何直觀能力、空間想象能力、閱讀理解能力、邏輯推理能力以及作圖能力等。

四、教學導向

（一）關注數學概念的理解

在實際教學中，教師應加強數學概念的教學，通過數學概念的引入、明確、辨析和應用等環節，提升學生對數學概念的理解和感知能力。只有當學生充分理解“新定義”問題中涉及的概念，他們才能明確“新定義”成立的條件，并運用新的解題思路進行“新探究”。

（二）注重數學思想的引領

教師在教學過程中應著重滲透數學思想。幾何圖形的“新定義”問題，需要學生在已建立的幾何圖形知識體系的基礎上，對引入的新概念及其性質進行研究。通過理解新的幾何圖形概念、探究其性質、運用其性質解決新問題，可有效滲透數形結合思想，發展學生的空間想象能力和幾何直觀能力。教學中，教師還應注重培養學生分類討論的意識與習慣。通過滲透分類討論思想，引導學生在解決“新定義”問題時根據概念的條件進行分類討論，以找出所有可能結果。

（三）重視綜合與實踐活動的開展

中考數學以解決實際問題為導向，其中以真實問題、真實情境為載體的綜合與實踐類題型的分值在逐年增加。因此，數學課堂教學應重視教材中的“綜合實踐”內容，深入挖掘教學素材，以培養學生的應用意識、創新意識、建模能力以及實踐能力，提升他們分析和解決實際問題的能力。同時，應注重開展跨學科融合教學，引導學生整合各學科知識，培養跨學科解決問題的能力。

綜上所述，教師應加強對“新定義”題型的解題教學，引導學生在分析、理解、感悟問題的基礎上培養抽象能力和模型觀念，提升分析問題與解決問題的能力。

（責任編輯" " 梁桂廣）