定理教學解讀 專題探究設計

關鍵詞：初中數學；斜中半定理圖形微設計應用

中圖分類號：G633.6" "文獻標識碼：B" " 文章編號：1009-010X（2024）35-0057-03

一、定理教學解讀

“斜中半”定理是初中數學八年級下冊的知識內容，是直角三角形性質的深入研究，學生已初步掌握了全等三角形和中線性質等知識，對于后續構建幾何模型，開展幾何分析推理具有極大的幫助，也是提升學生解題能力，樹立模型意識的關鍵。“斜中半”定理及其證明過程，涉及到了直角三角形、全等三角形、三角形中線等性質，教學探究中需要解讀定理內容，重點構建證明過程，精設教學環節。

二、教學環節設計

“斜中半”定理的教學建議設置四個環節來指導，包括引例分析、定理構建、定理應用、逆向拓展。各環節教學時可圍繞其核心內容來設置問題，引導學生思考，下面開展教環節探究。

（一）引例呈現，初步感知

引例：如圖1所示，在四邊形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于點E，點G，H分別是AC，BD的中點，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于多少？

解析：作圖，連接AH，CH，如圖1的虛線所示。

已知在四邊形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中點，可得AH=CH=BD。

又知點G是AC的中點，所以HG是線段AC的垂直平分線，則∠EGH=90°。而∠BEC=80°，則∠GEH=∠BEC=80°，所以∠GHE=90°-80°=10°。

教學預設：教學中引導學生關注解析過程，注意結論“AH=CH=BD”的推理過程。設置如下問題：

問題1：該結論是如何得出的？是否與∠BCD=∠BAD=90°及點H是BD的中點相關？

問題2：若上述兩個條件任意其一缺失，是否還可以得出同樣的結論？

教學引導：利用上述兩個問題，引導學生初步生成如下“條件”與“結論”的對應關系。

條件：①∠BCD=90°，②點H是BD的中點；結論：CH=BD。

條件：①∠BAD=90°，②點H是BD的中點；結論：AH=BD。

（二）定理構建，證明生成

上述環節引導學生初步感知“斜中半”定理，學生對其已經有了一定的了解，該環節則需要完整的呈現定理，并指導學生進行證明，使學生充分理解。

1.定理呈現

斜中半定理：如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

幾何語言：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線，則AD=BC。

教學引導：教學中引導學生掌握文字和幾何兩種語言關于該定理的描述，需要借助幾何圖形讓學生直觀理解，同時基于圖形構建AD=BD=DC=BC。

2.定理證明

完成定理構建后，需要進一步引導學生加以證明，充分理解定義，明晰定理的合理性。證明的基本思路為：構造全等三角形，利用全等性質來推導。

證明：以圖2的圖形結構為例證明，延長AD到E，使DE=AD，連接CE，如圖3所示。

因為AD是斜邊BC的中線，則BD=CD。結合∠ADB=∠EDC，AD=DE，可證明△ADB≌△EDC（SAS）。由全等性質可得AB=CE，∠B=∠DCE，所以有AB∥CE，∠BAC+∠ACE=180°。

而∠BAC=90°，則∠ACE=90°。因為AB=CE，∠BAC=∠ECA=90°，AC=CA，可證明△ABC≌△CEA（SAS），則BC=EA。因為AE=2AD，BC=2AD。

教學引導：教學中借助具體圖形來引導學生證明“斜中半”定理，即構建“Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線”與“AD=BC”的推理關系。

整個證明過程需要引導學生注意兩點：一是關注作輔助線的過程，核心目標為構建全等三角形；二是關注證明的推理過程，按照“已知條件→提取模型→推理條件→得出結論”的思路來分析構建。同時證明過程注意數形結合，充分利用圖形的直觀性。

（三）定理應用，知識強化

“斜中半”定理在幾何問題中有著廣泛的應用，教學探究中有必要引導學生開展應用探究，利用定理求解實際問題。

問題1：如圖4所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=30°，D是AB上一點（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點，請判斷△PAE的形狀，并說明理由。

解析：利用“斜中半”定理，在Rt△CAD中，∠CAD=90°，P是斜邊CD的中點，則PA=PC=CD，可得∠ACD=∠PAC，從而有∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD。

同理：在Rt△CED中，PE=PC=CD，∠DPE=2∠DCB，所以PA=PE，即△PAE是等腰三角形。

從而有∠APE=2∠ACB=2×30°=60°，則△PAE是等邊三角形。

教學引導：上述判斷三角形的形狀，核心方法是利用直角三角形的“斜中半”定理，教學引導中，讓學生充分分析已知條件，判斷是否滿足使用條件，再開展解析推理。該定理有兩個基礎條件，缺一不可，教學中可引導設問，讓學生充分思考。

（四）逆向拓展，完善定理

“斜中半”的逆向構建依然成立，即“斜中半”逆定理。教學中需要對其進行逆向拓展，完善定理，指導學生靈活使用。同樣分為兩個部分：一是逆定理內容解讀；二是結合實例強化應用。

1.逆定理解讀

定理：如圖5所示，CD是△ABC的中線，CD=AB。則△ABC為直角三角形。

拆解：條件——CD是△ABC的中線，CD=AB；結論——△ABC為直角三角形。

教學預設：對于該定理的證明，核心思路是角度推導，在三角形中利用內角性質、等角代換來完成。

CD是△ABC的中線，推得AD=BD=AB。而CD=AB，則AD=CD=BD，從而有∠A=∠ACD，∠B=∠DCB。

在△ABC中，由內角性質可得∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°，則∠A+∠B+∠A+∠B=180°，可得∠A+∠B=90°，則∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，可證△ABC為直角三角形。

2.逆定理應用

問題2：如圖6，在△ABC中，點D是邊AB上的中點，連接CD，將△BCD沿著CD翻折，得到△ECD，CE與AB交于點F，連接AE。若AB=6，CD=4，AE=2，則點C到AB的距離為？

教學預設：本題目需要指導學生利用“斜中半”逆定理來分析推理，整個過程必須嚴格按照定理的使用要求，滿足條件再推導。

作圖：連接BE，延長CD交BE于點G，作CH⊥AB于點H，如圖6的虛線所示所示。

折疊特性推理：由折疊的性質可得：BD=DE，CB=CE，則CG為BE的中垂線，故BG=BE。

中點特性推理：D為AB中點，則BD=AD，

S△CBD=S△CAD，AD=DE。

“斜中半”逆定理使用：AD=DE=BD=AB，可推得∠BEA=90°。

線段長求解：在Rt△BEA中，由勾股定理可得BE=4，則BG=2。

因為S△ABC=2S△BDC，則2×CD·BG=AB·CH，可解得CH=。

教學引導：逆定理的構建中同樣借助圖形，讓學生明晰其中的條件與結論。應用強化解析時，引導學生關注其推理過程，明晰每一步的核心目標，特別注意逆定理的推理構建，形成“條件”與“結論”的對應關系。

三、寫在最后

“斜中半”作為初中幾何的重要知識定理，其教學環節設計具有一定的代表性，上述所探究的探究方法同樣適用于其他知識定理教學。教師要圍繞定理深入解讀，結合實例強化應用，幫助學生掌握定理應用的方法。