激光在動(dòng)態(tài)大氣湍流中的傳播特性研究

耿興寧,劉 政,李武周,許 宏,蔡 軍,陳科亦

(1.電磁空間安全全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300308;2.光電對(duì)抗測試評(píng)估技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 洛陽 471003;3.中國人民解放軍93046部隊(duì),遼寧 沈陽 110000)

1 概 述

大氣湍流對(duì)在其中傳播的光束的直接作用是基于空氣密度的不均勻分布而產(chǎn)生的折射率起伏變化。折射率的空間和時(shí)間起伏使得波前在傳播過程中不能保持一致的相位關(guān)系,出現(xiàn)相位變化,對(duì)光線產(chǎn)生了扭曲、發(fā)散、延遲等效應(yīng),進(jìn)而影響光波信號(hào)的傳播,造成成像質(zhì)量、功率密度以及穩(wěn)定性下降等問題。理論分析建模是研究大氣湍流的一種重要手段[1]。

在對(duì)光波在大氣湍流中傳輸?shù)姆抡嬷?模擬大氣湍流最簡便的方法是將真空傳播與介質(zhì)折射率起伏視為兩個(gè)獨(dú)立過程分別處理。即在光波傳播的路徑上劃分一定厚度的平行平板,入射光波處于平板的前表面,制造符合大氣湍流特性的相位屏,置于平板的后表面,將相位起伏疊加在真空傳播的相位之上,如圖1所示。

圖1 相位屏的作用

圖1中(a)為初始波前經(jīng)過一段湍流Δz后,波前發(fā)生了畸變,(b)為初始波前在真空中傳播同樣的Δz后,再經(jīng)過相位屏疊加上相位變化后的波前。適當(dāng)?shù)恼{(diào)整相位屏的結(jié)構(gòu)可使(a)、(b)的出射波前相同。

1.1 湍流相位屏的模型建立方法

產(chǎn)生相位屏的方法主要有基于傅里葉變換的譜反演法[2-8]、澤尼克多項(xiàng)式法[9-11]、分形方法等[12-14],澤尼克多項(xiàng)式方法是以單位圓內(nèi)連續(xù)正交的多項(xiàng)式為基函數(shù)進(jìn)行模擬獲得波的相位分布,但其在湍流的高空間頻率分量上的模擬有一定的局限性,并且對(duì)外尺度效應(yīng)不能很好地表現(xiàn)出來;分形法是在相位結(jié)構(gòu)函數(shù)的基礎(chǔ)上逐級(jí)插值得到屏上各個(gè)點(diǎn)的相位值,但隨著插值迭代的次數(shù)增加,準(zhǔn)確性會(huì)降低[15]。

傅里葉變換譜反演法的基本思想是用一個(gè)復(fù)高斯矩陣對(duì)大氣湍流的功率譜進(jìn)行濾波,然后通過逆傅里葉變換得到大氣導(dǎo)致的畸變相位,運(yùn)算速度快,應(yīng)用相對(duì)廣泛。但是這種方法的顯著缺點(diǎn)是低頻和高頻空間分量的欠采樣。其中高頻分量的誤差影響較小,可以忽略,但低頻分量對(duì)應(yīng)的功率譜幾乎都受到影響,因此需對(duì)低頻分量進(jìn)行補(bǔ)償[16]。廣泛使用的補(bǔ)償方法為次諧波法[17]。

以上對(duì)于大氣湍流的研究大多集中于靜態(tài)湍流,對(duì)于動(dòng)態(tài)湍流以及激光束在動(dòng)態(tài)湍流中傳輸?shù)难芯窟€相對(duì)較少。在此基礎(chǔ)上,本文采用傅里葉變換的方法得到大氣湍流模型,并通過疊加低頻次諧波來改善相位屏的低頻特性,之后再模擬激光在動(dòng)態(tài)大氣湍流中的傳輸,研究不同湍流強(qiáng)度下光斑的畸變以及接收到的激光功率波動(dòng)。

1.2 大氣湍流光學(xué)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

大氣湍流產(chǎn)生的折射率空間隨機(jī)分布可用一個(gè)隨機(jī)場表示。隨機(jī)場空間統(tǒng)計(jì)特性一般用結(jié)構(gòu)函數(shù)表示。即:

Dn(r,r′)=〈[n(r)-n(r′)]2〉

(1)

式中,r、r′為空間兩點(diǎn)的矢量坐標(biāo);n為空間的折射率分布函數(shù)。

公式(1)表示湍流的結(jié)構(gòu)函數(shù)是空間中各點(diǎn)的折射率方差。也就是說,結(jié)構(gòu)函數(shù)表示了空間中各點(diǎn)的相關(guān)性。

在大多數(shù)情況下的湍流可作為Kolmogorov湍流看待。該理論認(rèn)為存在大氣湍流的內(nèi)尺度l0和外尺度L0,在這個(gè)區(qū)域之間的湍流是各向同性的,即:

Dn(r,r′)=Dn(|r-r′|)

(2)

公式(2)的意思是在Kolmogorov尺度內(nèi),大氣中任意兩個(gè)距離相同的點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)函數(shù)值是相同的。則結(jié)構(gòu)函數(shù)Dn(r,r′)可以簡化為一個(gè)固定的原點(diǎn)與矢量r之間的關(guān)系Dn(r),如圖2所示。

圖2 光傳播截面湍流尺度

圖2中Z軸表示光波傳播方向,X-Y平面為垂直于傳播方向的一個(gè)截面,在此截面中,以半徑為|r|的同心圓上各點(diǎn)與0點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)函數(shù)都可以用Dn(r)表示,根據(jù)Kolmogorov理論,在該區(qū)間內(nèi)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足2/3冪律,它的折射率結(jié)構(gòu)函數(shù)可寫為:

(3)

+2.7×10-16exp(-h/1500)+Aexp(-h/100)

式中,h單位為m;A通常設(shè)為1.7×10-14m-2/5;v取為21 m/s,稱為HV-21模型。

湍流折射率起伏的三維譜密度為:

(4)

2 湍流相位屏的生成

本文采用傅里葉變換譜反演法生成大氣相位屏。即利用湍流空間譜模型產(chǎn)生相空間隨機(jī)場并進(jìn)行傅里葉變換獲得二維相位的空間分布。

2.1 用譜反演法產(chǎn)生靜態(tài)相位屏

首先按照上節(jié)的介紹,確定相位的頻譜函數(shù)Φn(K)。據(jù)此構(gòu)造出一個(gè)二維復(fù)隨機(jī)場:

(5)

(6)

將(5)式作傅里葉變換可獲得一個(gè)二維隨機(jī)相位場:

(7)

(7)式即為在二維平面上的相位屏。

在構(gòu)造中要注意一些參數(shù)的范圍,如相位屏所代表的平板厚度Δz范圍應(yīng)有:

(8)

只有相位屏的間距滿足公式(8)式,才能保證建立的相位屏各自獨(dú)立,并且使得在其間的光傳播滿足幾何光學(xué)近似,這有這樣才能在公式(6)中用平板厚度代表對(duì)厚度的積分。

將一個(gè)要放置相位屏的空間平面分割為網(wǎng)格,設(shè)每一格寬度Δx,每邊共有N格,從采樣定理可知,最低和最高采樣頻率必須滿足:

(9)

為簡便起見,可用2π/(NΔx)和π/Δx分別作為Kmin和Kmax,而波數(shù)間隔ΔK設(shè)為Kmin。這樣可將公式(7)用離散化的形式寫出:

exp[-2πi(mp+nq)/N]

(10)

其中,

(11)

2.2 相位屏的低頻校正

通過傅里葉變換譜反演法生成相位屏相較于其他方法更加便捷,但其空間頻率的最小和最大值分別是fmin=1/L,fmax=1/2Δx,因此相位屏沒有[-Δfx/2,Δfx/2]、[-Δfy/2,Δfy/2]這個(gè)頻段內(nèi)的分量相應(yīng)的功率譜[20],使得對(duì)相位屏模擬的準(zhǔn)確性降低。因此我們需要對(duì)相位屏在低頻功率譜上進(jìn)行補(bǔ)償。

本文采用次諧波法對(duì)大氣湍流相位屏進(jìn)行低頻校正,它的主要方法是在低頻區(qū)域使用較小的采樣間隔,以實(shí)現(xiàn)更為精確的功率譜近似,其表達(dá)式為:

(12)

式中,p次諧波級(jí)數(shù);f(m′,n′)這諧波函數(shù)。

(13)

將式(13)與式(10)合并,就構(gòu)成了總的相位屏相位分布,從而實(shí)現(xiàn)了低頻的相位補(bǔ)償。

2.3 相位屏結(jié)果驗(yàn)證

對(duì)于計(jì)算得到的相位屏的可信度,可用大氣湍流的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)來驗(yàn)證,它是對(duì)二階相位統(tǒng)計(jì)特性的描述。

對(duì)于Kolmogorov譜,相位結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

(14)

式中,r0為大氣相干長度,相干長度的定義為:

(15)

式中,k=2π/λ;R為路徑長度;θz為天頂角。

2.4 動(dòng)態(tài)相位屏的生成

現(xiàn)實(shí)中的大氣湍流是在持續(xù)變化的,折射率在時(shí)間上和空間上的分布都是隨機(jī)的,因此模擬大氣湍流時(shí)需要在靜態(tài)分布的基礎(chǔ)上加入湍流隨時(shí)間的變化。目前對(duì)于動(dòng)態(tài)相位屏的構(gòu)造主要有兩種方法,一種方法是樣條插值法,它的基本原理是根據(jù)傅里葉變換的平移特性,在構(gòu)造相位屏?xí)r直接將時(shí)間變化的特征加進(jìn)去;另一種方法是湍流凍結(jié)法,它是基于Taylor凍結(jié)假設(shè),認(rèn)為在較短的時(shí)間內(nèi),湍流在不改變折射率分布的情況下運(yùn)動(dòng),整個(gè)相位屏在觀察孔徑內(nèi)剛性移動(dòng),而大氣的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)可以被忽略,因此這種方法需要構(gòu)造很大的相位屏,再隨時(shí)間平移截取一系列相位屏。

本文采用湍流凍結(jié)法實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)湍流仿真。所考慮的波前相位可表示為S(r,t),其中t表示時(shí)間。考慮到風(fēng)速對(duì)相位屏的漂移作用,引入風(fēng)速v,在Taylor假設(shè)下,時(shí)間間隔τ內(nèi):

S(r,t+τ)=S(r-vτ,t)

(16)

則結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為:

Dn(vτ)=〈[S(r,t)-S(r-vτ,t)]2〉

(17)

表征湍流時(shí)間特性的一個(gè)參數(shù)是Greenwood頻率,它是與風(fēng)速、大氣相干長度有關(guān)的物理量,簡化后的計(jì)算式為[21-22]:

(18)

3 相位屏仿真結(jié)果

3.1 靜態(tài)湍流相位屏仿真

按照上述的計(jì)算方法,設(shè)大氣湍流內(nèi)尺度2 cm,外尺度50 m,相位屏尺寸0.4×0.4 m,分為100×100的網(wǎng)格,按照式(12)計(jì)算,在大氣路徑以45°仰角傳播1 km,激光波長1.064 μm時(shí)按照HV模型構(gòu)造了強(qiáng)湍流相位屏,這是一個(gè)二維復(fù)數(shù)場,此時(shí)r0=0.03 m。疊加和未疊加次級(jí)諧波補(bǔ)償?shù)南辔黄练謩e如圖3(a),(b)所示。

圖3 譜反演法生成的相位屏

圖3中圖(b)為疊加了3級(jí)次諧波補(bǔ)償?shù)南辔黄?相較于未疊加次諧波補(bǔ)償?shù)南辔黄翀D3(a),圖像更為平滑,表明其低頻成分能較好地顯示出來。

圖4為低頻補(bǔ)償前后的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的對(duì)比,可以更好地看出,未疊加次諧波時(shí)的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)與理論值的誤差隨著距離的增加而逐漸增大,說明其存在著低頻成分的缺失,而補(bǔ)償后的相位結(jié)構(gòu)函數(shù)則與理論值的符合較好,低頻分量得到改善。次諧波的級(jí)數(shù)更高會(huì)使得結(jié)構(gòu)函數(shù)符合更好,但計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增大,因此疊加的次諧波級(jí)數(shù)不宜過高。

圖4 r0=0.03 m的相位屏結(jié)構(gòu)函數(shù)

3.2 動(dòng)態(tài)湍流相位屏仿真

動(dòng)態(tài)相位屏在10～20 ms的時(shí)間尺度內(nèi)滿足Taylor凍結(jié)假設(shè),并且風(fēng)速需要滿足v=0.314r0/τ0,其中τ0為大氣相干時(shí)間,只有在τ0內(nèi)的大氣湍流滿足Kolmogorov統(tǒng)計(jì)特性[23-24]。由此,設(shè)置每秒能接收到500張圖像,此時(shí)的風(fēng)速約為0.47 m/s。

按照S型方式旋轉(zhuǎn)選取相位屏,子相位屏尺寸為0.08×0.08m,記錄下連續(xù)變化的子屏圖像即可得到動(dòng)態(tài)相位屏。其中的連續(xù)8幀相位屏如圖5所示。

圖5 連續(xù)變化動(dòng)態(tài)相位屏

由圖5可以看出,連續(xù)變化的相位屏之間可以較為平緩地變化,具有一定的相關(guān)性。

3.3 激光在動(dòng)態(tài)湍流相位屏中的傳播

設(shè)置光束為基模高斯光束,首先根據(jù)激光傳輸模型計(jì)算其通過相位屏前的光強(qiáng)分布,設(shè)1064 nm激光發(fā)射口徑100 mm,功率100 W,發(fā)散角0.05 mrad,在沒有大氣湍流干擾的情況下,在3 km處的接收平面上產(chǎn)生的光斑如圖6所示。

圖6 無湍流擾動(dòng)時(shí)的光強(qiáng)分布

光斑分別經(jīng)過動(dòng)態(tài)弱湍流、中湍流和強(qiáng)湍流后的連續(xù)8幀能量分布分別如圖7～圖9所示。

圖7 弱湍流下的動(dòng)態(tài)光斑功率分布變化

圖8 中湍流下的動(dòng)態(tài)光斑功率分布變化

圖9 強(qiáng)湍流下的動(dòng)態(tài)光斑功率分布變化

可以看出,隨著大氣湍流強(qiáng)度的增加,激光傳輸經(jīng)過后更加分散,其畸變和抖動(dòng)也更加嚴(yán)重。弱湍流時(shí)光斑基本沒有變化,中湍流時(shí)光斑出現(xiàn)一定程度的畸變,而在強(qiáng)湍流時(shí)的光斑畸變最大,已經(jīng)沒有了本來的形狀。

為了更好地描述不同強(qiáng)度的湍流對(duì)激光束傳播的影響,本文計(jì)算了在連續(xù)400幀中的相同激光經(jīng)過不同強(qiáng)度的湍流后落在接收面內(nèi)的功率波動(dòng),如圖10所示。可以看出,弱湍流中的激光功率起伏較小,基本穩(wěn)定在98 W左右;中湍流的激光功率有一定的起伏,大部分在94～97 W范圍內(nèi)波動(dòng);強(qiáng)湍流中的激光起伏較大,在20～80 W的范圍內(nèi)均有分布,功率起伏的方差分別為0.016、0.594、332.517。同時(shí)在整體上,接收到的激光功率隨著湍流強(qiáng)度的增加而減小,說明高強(qiáng)度的湍流對(duì)激光的衰減更大,造成的功率發(fā)散效應(yīng)更嚴(yán)重。

圖10 接收面內(nèi)的激光功率

4 總 結(jié)

本文基于傅里葉變換的譜反演法建立了靜態(tài)大氣湍流模型并利用次諧波方法進(jìn)行低頻校正,在此基礎(chǔ)上通過湍流凍結(jié)法建立了動(dòng)態(tài)大氣湍流模型,模擬實(shí)際情況下的大氣湍流變化。模擬了激光在不同強(qiáng)度的動(dòng)態(tài)大氣湍流中的傳輸,仿真了激光通過湍流后的光斑分布情況,并計(jì)算了接收面內(nèi)的激光功率。計(jì)算結(jié)果表明:功率為100 W,發(fā)散角0.05 mrad的1064 nm激光束,在相同的作用時(shí)間內(nèi)經(jīng)過不同湍流強(qiáng)度的大氣湍流相位屏,湍流越強(qiáng),激光受到的影響就越明顯,光束質(zhì)量就越差,并且接收到的功率降低,起伏增加;弱湍流時(shí)光斑基本無變化,接收到的功率穩(wěn)定在98 W左右;中湍流的光斑有一定程度的畸變,功率在94～97 W范圍內(nèi)波動(dòng);強(qiáng)湍流的光斑畸變最大,功率在20～80 W的范圍內(nèi)波動(dòng)。綜上,本文對(duì)研究動(dòng)態(tài)大氣湍流建模仿真,以及激光在真實(shí)情況下的大氣湍流中的傳輸提供了一定的參考作用。