利用泰勒公式進行編題

馬曉娟

(銀川市第二中學,寧夏 銀川 750001)

泰勒公式的主要作用是用多項式逼近函數和近似計算. 由泰勒公式可以得到諸多的不等式,近幾年的高考導數題常以這些不等式為背景,或者利用這些不等式可以快速解決部分高考導數題.

1 泰勒公式

若函數f(x)在點x0存在n階導數,則有

2 常用不等式

由泰勒公式,我們得到以下常用不等式.

(2)對數函數:ln(1+x)≤x.

3 利用泰勒公式編擬試題

試題1已知函數f(x)=plnx+(p-1)x2+1.

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)當p=1時,f(x)≤kx恒成立,求實數k的取值范圍;

(1)求證:f(x)≤-1;

試題3 已知函數f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0,求a的值;

答案(1)a=1;(2)m=3.

試題4 已知函數f(x)=eax-x-1,其中a>0.

(1)若f(x)≥0恒成立,求a的值;

答案(1)a=1.

分別取k=n-1,n-2,…,1,0,累加得

試題5 已知函數f(x)=ex-ax-1(a>0,e是自然對數的底數).

(1)求函數f(x)的最小值;

(2)若f(x)≥0對任意的x∈R恒成立,求實數a的值;

答案(1)f(x)的最小值為f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1;(2)a=1.

編題6 由泰勒公式,有

試題6證明:

引入參數a,可知當a≥1時eax≥ex,所以此時sinx-cosx≤eax-2恒成立.

(1)若f(x)在[0,+∞)上單調遞增,求實數m的取值范圍;

(2)當a≥1時,?x∈[0,+∞)不等式sinx-cosx≤eax-2是否恒成立?并說明理由.

4 結束語

作為教師,對試題的研究應該有五重境界.境界一,能一題多解;境界二,能多題一解;境界三,能將試題進行變式與推廣;境界四,能洞悉試題背景;境界五,能自己編題. 最近幾年的高考壓軸題都具有高等數學背景[3],這要求一線教師不僅要熟悉一定的高等數學知識,而且還要能將高等數學知識進行初等化處理,然后進行編題.