精析結構 多解探究 關注思維 尋根探源
——一道聯考壓軸題的解法探究與背景探源

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學校,陜西 漢中 723102)

解析幾何問題中,幾何是思考的起點和終點,也是問題的緣起和歸宿,代數化和“幾何”特征是解決幾何問題的工具.加深幾何特征和曲線與方程有關概念的理解,從不同角度分析其幾何結構,并尋求其思維方法根源,將解決問題思維結構化,以提升“猜想證明、化歸轉化、直觀想象、數學運算、嚴謹邏輯推理和探索實踐應用”等關鍵能力為目標,內化數學核心素養[1].

1 試題呈現

2 試題分析與解答

2.1 第(1)問解析

在△OPF1中,根據余弦定理,得

即3c2=7a2.

解法3(中線定理+余弦定理視角) 根據解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

根據三角形中線定理,得

解法4(輔助線視角1) 根據解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

過點P作PH⊥F1F2于點H,則

在Rt△PHF1中,根據勾股定理,得

解法5(輔助線視角2) 根據解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

圖1 解法5示意圖

解法8(張角定理視角) 根據解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

根據張角定理,得

又因為S△POF1=S△POF2,

所以|PF1|=2b.

根據正弦定理,得

2.2 第(2)問解析

圖2 第(2)問解析圖

代入b2x2-a2y2=0,化簡,得

所以-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0.

即x2-2x0x+a2=0.

所以x1x2=a2.

評注設出P(x1,y1),Q(x2,y2),破題關鍵要利用過雙曲線上一點的切線方程聯立漸近線方程,根據韋達定理求得x1x2=a2,進而利用三角形面積解決問題,當然此題也可進行仿射變換仿射成反比例函數解決,不再贅述.本題是一類特殊的中心三角形,即雙曲線的漸近線與切線圍成的三角形稱為漸切三角形.

3 試題背景探源

3.1 漸切三角形問題

(1)切點M為P,Q中點;

(2)△OPQ的面積為定值ab[2];

(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2b2=0.

即切點M為P,Q中點.

(2)當切線斜率不存在時,即x=±a,此時△OPQ的面積為定值ab;

當切線斜率存在時,證明參考2023屆T8聯考16題第二空解法.

3.2 高考試題背景探源

(1)求雙曲線E的離心率;

(2)如圖3,O為坐標原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一,四象限),且△AOB的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說明理由.

圖3 2014年高考福建理科19題圖

設直線l與x軸相交于點C.

當l⊥x軸時,若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點,則|OC|=a,|AB|=4a.

又因為△OAB的面積為8,

即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

因為4-k2<0,所以△=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).

又因為m2=4(k2-4),所以△=0.

即l與雙曲線E有且只有一個公共點.

4 結束語

本題考查了雙曲線的性質、直線與雙曲線的位置關系和漸切三角形的面積表示,考查學生對基本概念和基本性質的理解以及數學運算等核心素養.2015年湖北理科21題考查了橢圓中漸切三角形問題,后期會繼續進行探究.