探究圓錐曲線中的一類斜率之和問題

高繼浩

(四川省名山中學,四川 雅安 625100)

圓錐曲線含有豐富的性質,近年來,各類定點、定線、定值問題頻頻出現在高考、大型模考等各類考試題中,其中很多試題背后都隱藏著深刻的背景.圓錐曲線定值問題中,十分常見的一類便是斜率定值問題,本文對一道圓錐曲線斜率定值問題進行多次推廣,并類比到雙曲線和拋物線中,最后給出對偶變式,有利于我們看清問題的本質.

1 試題呈現

(1)求動點M的軌跡方程E;

2 推廣探究

將試題第(2)問進行一般化推廣得到:

若點N不在橢圓上,k1+k2還是定值嗎?于是將命題1進一步推廣為:

若點N的橫坐標不為c,還有相應的定值嗎?于是得到:

證明若直線AB的斜率為0,則

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

綜上,命題得證.

3 類比探究

將命題3引申到雙曲線中,得到:

命題4的證明與命題3類似,略.

類比到拋物線中,得到:

證明顯然直線AB的斜率不為0,設其方程為x=ty-m,與拋物線方程聯立,消去x得

y2-2pty+2pm=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

y1+y2=2pt,y1y2=2pm.

4 對偶探究

受文[1][2]啟發,將命題3、命題4中點T的位置改為在y軸上[1-2],得到:

證明若直線AB的斜率不存在,則

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

即a2b2k2+(n2-b2)(a2k2+b2)>0,且

綜上,命題得證.

命題7的證明與命題6類似,略.

5 結束語

在平時的教學中,我們應該對圓錐曲線中的典型問題進行探究、拓展、變式,實現對一類問題的深度學習,達到觸類旁通的效果.