高考數學解題中數形結合思想的應用

趙世鵬

(武夷山市第二中學,福建 武夷山 354300)

數形結合思想是數學語言和直觀圖形的有機結合,能夠在解題中通過圖形性質來說明數的事實,或者用數的精準性來闡明圖的某些特征.驅使學生把抽象思維和直觀思想整合起來,從不同視角分析和思考問題,使其形成新的解題思想,拓展他們的解題思路.高中數學教師在平常的解題訓練中應指導學生準確應用數形結合思想,把數和形巧妙結合到一起靈活運用,使其把抽象化、復雜化的數學試題變得具體化、簡單化,有效提高他們的解題效率[1].

1 由數到形的轉換途徑

在高考數學解題訓練中,要想更好地應用數形結合思想,教師首先需指導學生學會從數到形進行轉化,能夠解決以下三個方面的數學試題.

(1)處理方程或者不等式問題時,應用數形結合思想能夠將問題轉化成兩個圖象的交點位置關系問題,然后結合函數的圖象和性質展開解答.通過由數到形的轉化,把文字性內容變得直觀化,學生可以直接觀察函數圖象同坐標軸的交點情況,或者根據方程對應的函數圖象找出不等式、不等式組,他們再結合這方面的知識展開解題,最終快速、準確地求得結果[2].

A.b<0,c>0 B.b>0,c<0

C.b<0,c=0 D.b≥0,c=0

解析結合題干中提供的已知信息可以畫出函數f(x)的圖象,如圖1所示.通過對圖象的觀察和分析可知,由于關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0存在7個不同的實數解,所以當f(x)=0時需要有3個解,f(x)≠0時需要有4個解,由此能夠確定當b<0,c=0時滿足題設條件,故選C.

圖1 例2題圖

圖1 例1解析圖

(2)集合作為學生步入高中階段以后接觸到的第一個數學知識點,雖然難度一般,卻是學習函數知識的前奏與基礎,也是高考數學中的必考知識點之一.在處理集合類試題時,有時無需計算,可以直接使用韋恩圖的方式,也就是對數形結合思想的應用,通常用圓來表示集合,利用兩個圓是否相交來判斷這兩個集合是否存在公共元素,從而省略掉繁雜的計算步驟[3].

例2 如圖2所示,I是全集,M,P,S為I的三個子集,那么陰影部分所表示的集合為____.

解析通過對圖象的觀察、分析和研究能夠發現,M∩P的子集與IS的子集均是陰影部分,所以陰影部分集合為(M∩P)∩IS.

(3)解析幾何作為高中課程體系中難度相對較大的一類知識,涉及的題目難度也較大,在高考數學試卷中還通常同其他知識聯系到一起成為綜合題,對學生的解題能力有著較高要求,他們極易陷入困境之中.

例3 已知點P為直線l:3x+4y+8=0上的一個動點,PA與PB為圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,A,B兩點是切點,C為圓心,那么四邊形PACB的面積最小值是多少?

圖3 例3解析圖

2 由形到數的轉換途徑

在高考數學解題教學中,針對數形結合思想的應用,除從數到形這種情形以外,還有一種由形到數的轉換,能夠解決以下兩類試題.

(1)解析法.在高考數學解題教學中,部分題目給出的圖形較為簡單,通過直接觀察很難看出規律所在.這時,教師可以指引學生應用數形結合思想,適當地給圖形賦值,像角度和邊長等,或者根據題意構建直角坐標系,使其利用坐標之間的代數關系把幾何圖形表示出來,有助于他們形成明朗、清晰的解題思路.

(2)向量法.由形到數的另外一種表現形式即為向量,利用向量來表示幾何圖形,結合向量知識解答幾何圖形中有關夾角與距離等問題,可以達到把抽象幾何圖形轉換成代數計算的效果.

例5 已知平面向量α,β(α≠0,β≠0)滿足|β|=1,且α與α-β的夾角是120°,那么|α|的取值范圍是什么?

3 數形之間的相互轉換

對于高考數學解題教學而言,要想更好地應用數形結合思想,不僅可以采用上述兩種途徑,實現單向轉換,還能夠進行數與形之間的雙向轉換.即在同一道題目中對數形結合思想進行多次使用,將學生的思路變得更為開闊,讓他們找到簡便的解題思路與方法,使其體會到數形結合思想的妙用.

由裂項相消求和得到S100<3,故選A.

4 結束語

總的來說,在高考數學解題教學活動中,數形結合思想有著極為廣闊的應用空間.但教師需意識到數學思想的培養并非一蹴而就,要練習大量的試題,指引學生從以形助數、以數解形、數形互換三個方面切入,驅使他們靈活轉變解題思路,快速找到解題的切入點,能夠自覺、準確地應用數形結合思想,使其找到解答數學試題的竅門,為高考做好準備.