泰勒公式在高考數學中的應用探索

魯 灝

(深圳中學,廣東 深圳 518001)

泰勒公式是高等數學中的一個重要知識內容,其中心思想是將x=x0處具有n階導數的函數f(x)近似為一個x-x0的n階多項式函數.通過泰勒多項式,我們可以將指數函數、對數函數、三角函數等與初等函數聯系起來,了解函數在x0的某鄰域內的各類性質[1].

近年的高考試題中也頻繁出現具有高等數學知識背景的試題,因此在高中數學命題、解題的過程中,探討泰勒公式等高等數學知識的應用,可以幫助教師打開命題思路,優化解題方法,拓展學生視野.

1 泰勒級數

若函數f(x)在區間D上有定義,且n+1階導數存在,x,x0∈D,則有:

(a)

這里Rn(x-x0)n為拉格朗日余項.如果在(a)式中去掉Rn(x-x0)n,那么在x0附近f(x)可用(a)式右邊的多項式來近似代替.如果函數f(x)在x=x0處存在任意階的導數,我們稱下列形式的級數為函數f(x)在x0處的泰勒級數:

(b)

(c)

特別地,如果x0=0,(c)式可以寫成下面形式,稱為麥克勞林級數:

通過上述定理,我們可以得到許多常用函數在x=0處的泰勒展開式:

在使用泰勒展開式時需要注意函數是否存在任意階導數,還需要注意泰勒級數的收斂區間.基于①-⑥式,可以通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項求積等方法,間接地求得其他函數的冪級數展開形式.如:

2 高考中泰勒公式的應用

2.1 比較函數值大小

在近年的高考試題中,比較數值大小的選擇題較多.常規的解法是構造函數,通過討論函數的單調性解題,但耗費的時間往往較多,這一類題目如果利用泰勒公式就能迎刃而解.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

將函數g(x)與h(x)在x=0處展開:

A.a

C.c

將函數f(x),g(x)與h(x)在x=0處展開:

易得h(0.1)

2.2 構造不等式

類似地,由⑤⑥式,x>0時,可得:

A.a

C.b

解析由a=2ln(1.01)=ln(1.020 1)>ln(1.02)=b,可知答案為選項B或C,需比較a與c大小.利用②式、④式構造的不等式,可得:

即0.019 9≤a≤0.019 906;

即0.019 8≤c≤0.019 804.

同樣可以得到a>c.

2.3 分析函數的局部性質

例4(2023年新課標Ⅱ卷第22題)

(1)證明:當0

(2)已知函數f(x)=cos(ax)-ln (1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

f′(x)=(2-a2)x+R3(x)3,

計算f′(0)=(2-a2)0+R3(0)3=0.

3 結束語

本文利用泰勒展開式,展現了泰勒函數在處理比較大小、構造不等式、分析函數局部性質這一類題目的高效性.簡化了計算過程,也為編制、解答此類題目提供了新的思路.高考的命題成員往往有大學教師,因此,其命題往往是從高等數學的角度出發編制題目.高中數學教師在日常教學中也應多從“高觀點”視角出發,聯系高等數學與中學數學,注重題目背后蘊含的數學知識的本質.