函數零點不等問題變形策略

洪昌強

(浙江省臺州市第一中學,浙江 臺州 318000)

在解決函數零點相關不等式問題時,若函數選擇不好、方程處理不當,往往會導致運算繁瑣,或無法從方程中分離出所需要的零點數量關系式.如何對函數式和結論進行合理變形,得到一個有助于問題解決的函數呢?

1 同質變形化歸為簡單的函數

函數零點不等問題與函數值變化密切相關,通常將零點不等問題化歸為函數單調性問題進行處理,為了方便研究函數的性質,需要對函數或結論進行適當的同質變形.

例1 已知函數f(x)=xa-ax(a>0,a≠1),當x>0時,若f(x)恰有兩個互異零點m,n(m>n>0),求證:mn>e2.

當x>e時,h′(x)>0,

則h(x)在[e,+∞)上單調遞增.

因為h(e)=0,

所以h(x)>h(e)=0.

即mn>e2.

評注本題條件所給的函數涉及指數函數和冪函數,f(x)的導函數比較復雜,需要對已知的函數、等式和不等式進行變形,然后重構函數促使函數“瘦身”,并保持函數零點不變.讓函數式變成能用、好用,讓要證的不等式變成易得、易證.本題的處理方法充分利用 “f(m)=f(n)” 的等式關系,將含有兩個零點問題轉化為單個零點問題,然后通過函數的單調性將自變量比較大小問題轉化為函數值比較大小問題.在利用單調性處理不等式問題時,需要考慮“兩個點”是否同屬一個單調區間.

2 換元變形化歸為新變元的函數

結論中所要研究的“兩個點”不在一個單調區間上,或者關于零點不等問題難以轉化為以零點為變元的函數值問題.此時可以引入新變元,將要證的結論轉化為關于新變元為變量的函數問題[1].

分析x1,x2是F(x)的導函數F′(x)=ex-ax+a的兩個零點,即

ex1-ax1+a=0,

①

ex2-ax2+a=0.

②

因為從①式和②式中無法求出x1=f1(a),x2=f2(a),所以要從3x1-x2≤2直接求出a的取值范圍有一定的難度.

由于3x1-x2≤2不含a,因此,從①式和②式中先消去a,得

③

e(t-1)(x1-1)=t.

利用導數知識不難得出

評注本題抓住了關于零點等式的特征,通過引進參數,整體代換,不僅把x1用t進行表達,并且從條件3x1-x2≤2中得出t≥3,將條件和結論發揮到淋漓盡致.在適當的時機,適合的情境中,通過整體換元,以新變元為變量重建新的函數,為問題解決起到化難為易,柳暗花明又一村的作用.

3 放縮變形化歸為熟悉的函數

因函數式結構較繁,或結論比較復雜,等式運算時化簡困難,條件與結論之間關系又找不到連接點,零點問題很難轉化為函數值進行處理.因此,需要對等式進行適當的放縮變形,或者根據零點的變化范圍對零點進行適切放縮變形,為優化函數創設好的環境[2].

x2lnx=a.

如何得出x2-x1<(e+1)a+1?先將結論變形為x2-x1-ea.

評注通過放縮變形,將原來的函數轉化為兩個一次函數,起到化生為熟、化曲為直的功效.放縮處理關鍵做好以下三點:放縮點位的確定,放縮尺度的把控,放縮時機的選擇[3].

4 分離變形重建單變量的函數

例4(2021年浙江高考第22題)設a,b為實數,且a>1,函數f(x)=ax-bx+e2(x∈R).

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)若對任意b>2e2,函數f(x)有兩個不同零點,求a的取值范圍;

分析若直接研究函數f(x),利用導數知識可求f(x)的極小值點為lnb.設x1lnb或x2>4,結論的證明還是比較困難.

若使用分離法,由ex-bx+e2=0,得

易求g1(x)的極小值點為2,極小值為e2,并在(0,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增.

這樣不僅得出x1<2,x2>2,而且根據條件b>e4,還可得到0lnb.

5 隨機應變靈活選擇合適的函數

分析由blna-alnb=a-b,得

設x2>x1,則0

即得x2,2-x1∈(1,e) ,e-x1∈(e-1,e).

方法1同質變形, 因為f(x)在(0,1]上單調遞增,在[1,+∞)上是單調遞減,所以要證x1+x2>2,只需證g1(x)=f(x)-f(2-x)<0在(0,1]上恒成立.

利用導數知識易證g1(x)在(0,1]上單調遞增,且g1(1)=0. 要證x1+x20在(0,1]上恒成立.

利用導數知識知g2(x)在(0,x0)上單調遞增,在[x0, 1]上單調遞減.

又g2(1)=1-(e-1)[1-ln(e-1)]

所以g2(x)>0在(0,1]上恒成立.

所以g(x)在(0,+∞)上單調遞減.

方法3放縮變形,因為0

所以x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)>x1.

則x1+x2<2x2-x2lnx2.

又因為10.

評注在證明x1+x2>2的過程中,方法1抓住了函數極大值點1與結論中“2”的特殊數量關系,推理過程較為簡潔.使用方法2證明x1+x22,推理過程比較繁瑣.方法3充分利用了條件“0

6 結束語

學生在平時解題時,要重視題型的總結歸類,一題多解,一法多用,才能做到觸類旁通.