多視角證明2022年全國甲卷不等式試題

董 強

(西安市第八十五中學,陜西 西安 710061)

高考數學中的最后一道解答題是選修4-5“不等式選講”的內容,一般難度不大,屬于和“極坐標與參數方程”試題二選一的選做題,多考查不等式的證明和求值,主要涉及基本不等式、柯西不等式等.

1 試題呈現

試題(2022年全國甲卷第23題)已知a,b,c均為正數,且a2+b2+4c2=3.

證明:(1)a+b+2c≤3;

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

視角1 構造柯西不等式或基本不等式.

證法2(構造基本不等式)

因為a2+b2+4c2=3,所以6=a2+b2+4c2+3=(a2+1)+(b2+1)+(4c2+1)≥2a+2b+4c.

點睛柯西不等式是證明三元及以上不等式的首選方法,巧妙配湊柯西不等式的形式是證明的基礎.基本不等式在證明不等式時需要特別注意取等號的條件,尤其是多次使用基本不等式后等號成立的條件應為多個等號成立的共同要求.

視角2利用分析法或作差比較法.

證法3(分析法)因為a,b,c均為正數,且a2+b2+4c2=3,所以要證a+b+2c≤3,只需要證(a+b+2c)2≤9.

即證a2+b2+4c2+2ab+4bc+4ac≤9.

亦即2ab+4bc+4ac≤6.

故只要證2ab+4bc+4ac≤2a2+2b2+8c2.

此式等價于(a-b)2+(a-2c)2+(b-2c)2≥0,上式顯然成立,因此,a+b+2c≤3成立.

證法4(作差法)因為a,b,c均為正數,且a2+b2+4c2=3,所以3(a2+b2+4c2)-(a+b+2c)2=2a2+2b2+8c2-2ab-4ac-4bc=(a-b)2+(a-2c)2+(b-2c)2≥0.

結合條件并移項,得(a+b+2c)2≤9.

點睛對一些不等式證明的試題,如果正面證明思路不明顯,可以考慮利用分析法從待證結論出發,逐步尋求使得結論成立的充分條件,這樣逆向思考和倒推,往往會找到證明的突破口.有了分析法的基礎,其實就可以巧妙地利用已知條件通過作差法證明不等式了.

2.2 第(2)問解析

視角1構造函數,利用函數單調性.

證法1(直接化歸與轉化)

因為a2+b2+4c2=3,b=2c,

所以a2+8c2=3.

又因為a>0,

點睛在證明不等式的過程中,如遇到構造定值不方便,基本不等式或柯西不等式的形式等不容易配湊,則可以考慮化歸與轉化,將問題轉化為一元函數問題,利用導數研究所構造函數的單調性,最終實現不等式的證明.

視角2 三角換元,利用赫爾德不等式或權方和不等式.

視角3巧妙構造,利用基本不等式.

證法5(二元基本不等式)由(1)知a+b+2c≤3,因為a,b,c均為正數,b=2c,所以0

視角4 數形結合,充分利用信息技術.

圖1 借用橢圓求最值

圖2 取等號時的情形

圖3 曲線在第一象限的圖象 圖4 取最小值時的情形

令z=x+y,則y=-x+z,z是直線系y=-x+z在y軸上的截距.由線性規劃知識易知,當直線y=-x+z經過曲線拐點(1,2)時,z取得最小值3.

3 結束語

信息技術可以將復雜問題簡單化,抽象問題形象化.通過Geogebra、幾何畫板等工具能快速畫出一些曲線所表示的圖形,結合圖形,利用代數式表達的幾何意義及線性規劃等知識,可以實現對問題的簡化處理.需要指出的是,信息技術在求具體數值的時候可能存在讀數的誤差,這與理論證明還是存在一定的差別,不過信息技術能為問題解決提供一條積極的思路[3].