一道2022年四川預賽題的解法賞析與背景揭示

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學,山東 泰安 271400)

本題設計簡潔清新,構思別具匠心,考查二元方程約束條件下的二元函數取值范圍問題,突出考查數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.此類問題因解法靈動多變,飽含數學思想,備受命題專家的青睞,成為歷年高考考查的重點,近年也逐漸成為數學競賽、高校強基計劃等命題的熱點.與普通高考試題相比,本題涉及知識點較多,思維跨度更大,呈現出更強的綜合性與選拔性.

1 試題解答

首先通過去絕對值符號簡化(*)式,以便于考查方程對應的曲線特征.

顯然x,y不可能同時為負數,

因此,(*)式表示的曲線如圖1所示.

圖1 的圖象

思路1轉化為二次方程有解問題.

思路2運用不等式放縮求解最值.

柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(當且僅當ad=bc時取等號)也是解決最值問題常用的理論根據.其形式特點為:平方和的乘積大于等于乘積之和的平方.在具體使用過程中,要通過仔細觀察,利用已知條件構造出柯西不等式的形式.

評注利用柯西不等式求最值要注意驗證等號成立的條件.

思路3通過減元轉化為單變量函數.

在高中階段,由于解決一元函數最值問題方案較為完善,我們常常通過減元將二元函數轉化為一元函數,進而求出其最值.

點評為減少未知數的個數用參數方程設點,將距離轉化為關于θ的三角函數的最值,最后利用正弦函數的有界性求出最值.

思路4 轉化為橢圓的切線問題.

點評利用橢圓的切點弦方程和平行線間的斜率關系求出切點坐標,進而結合圖形求出最值.但規避了解法4中運算較復雜、容易出錯的復合函數求導運算,可視為解法4的進一步優化.

2 命制背景

解出x,y,則點(x,y)即是函數z=f(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點[1].若這樣的點只有一個,可確定此點即為所求的點.其幾何意義是:設給定目標函數為f(x,y),約束條件φ(x,y)=0.如圖2示,曲線L為約束條件φ(x,y)=0,目標函數為f(x,y)=C的等值線族.在f(x,y),φ(x,y)的偏導數都連續的條件下,目標函數f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的可能極值點M(x0,y0)必是目標函數等值線族中與約束條件曲線的切點.

圖2 曲線L(x,y)示意圖

拉格朗日乘數法的優點有二:一是把目標函數和約束條件統一到一個拉格朗日函數中,二是將條件極值問題轉化為無條件極值問題,即通過引入拉格朗日乘數,將含有n個變量和k個約束條件的約束優化問題轉化為含有n+k個變量的無約束優化問題. 另外,L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中φ(x,y)=0,求z=f(x,y)的極值點就是求L(x,y)的極值點,二者的極值是等價的,且與λ無關.

應用拉格朗日乘數法本題解答如下:

由以上討論可知,我們只需研究當“x≥0,y≥0”時的情形.

3 結束語

以拉格朗日乘數法為背景的二元方程條件下的二元最值問題意蘊豐富,解答時要認真剖析題設條件和結論的結構特征,從多個視角尋求解題突破口.此外,我們需要仔細體會函數與方程、轉化與化歸、數形結合、以直代曲、消元(減元)、分類討論等數學思想方法在解題中的應用. 在解題教學過程中,教師要引導學生認真剖析題設條件和結論的結構特征,具體問題具體分析,通過觀察、比較、聯想、實驗、概括、推理、證明等多種思維活動,選擇合理經濟的解題路徑,避免死記硬背、生搬硬套“結論”的盲目機械訓練.