一道2022年高中數學聯賽題的深入探究

王東海

(安徽省肥東縣城關中學,安徽 合肥 231600)

在競賽解題教學活動中,教師不應局限于對題目的具體解答和低水平重復訓練,而應引導學生對問題進行深層次的探究及引申,充分挖掘題目的內涵和外延,使學生能夠用更高的觀點去看待問題.

1 試題呈現

題目(2022年新疆賽區高中數學聯賽10題)如圖1,已知△ABC內接于拋物線E:x2=y,且邊AB,AC所在的直線分別與拋物線M:y2=4x相切,F為拋物線M的焦點.

圖1 2022年新疆賽區高中數學聯賽10題

求證:邊BC所在直線與拋物線M相切.

分析與圓錐曲線的切線有關的問題,是近年來數學聯賽和高考中圓錐曲線部分比較常見的一類題型,其實質還是考查直線與圓錐曲線的位置關系,只是條件比較特殊,形式比較新穎,解法更加多樣.我們可以采取多種方法來處理相切問題.

2 解法探究

即(x1+x2)x-y-x1x2=0.

代入y2=4x并整理,得

(x1+x2)y2-4y-4x1x2=0.

因直線AB與y2=4x相切,故

△=16+16x1x2(x1+x2)=0.

①

同理由直線AC與y2=4x相切,得

②

同理直線BC方程與y2=4x聯立可得

(x2+x3)y2-4y-4x2x3=0.

所以△=16+16x2x3(x2+x3)

所以BC與拋物線M:y2=4x相切.

解析2前面解題步驟同解析1,由直線AB,AC與y2=4x相切,可得

①

②

①-②式,得

x1(x2-x3)-(x3-x2)·(x2+x3)=0.

又根據題意知B,C的橫坐標不相同,即x2≠x3, 從而得x2+x3=-x1.

又①×x3-②×x2,得

(x3-x2)+x1x2x3(x2-x3)=0.

從而由切線的斜率構建等式

③

④

3 推廣探究

波利亞曾說:“沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做[2].”細品解題過程和結論,筆者發現解答結論耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,對于y2=4x結論成立,那么對于一般性y2=2px是否成立?如果x2=y變為一般性的x2=2py呢?另外,背景的圓錐曲線換成橢圓、雙曲線、圓,是否仍有類似的結論呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結論.

結論1 已知△ABC內接于拋物線E:x2=y,且邊AB,AC所在的直線分別與拋物線M:y2=2px相切,則邊BC所在直線與拋物線M也相切.

結論2 已知△ABC內接于拋物線E:x2=2p1y,且邊AB,AC所在的直線分別與拋物線M:y2=2p2x相切,則BC所在直線與拋物線M也相切.(結論1是結論2的特殊情況,僅證結論2)

(x1+x2)x-2p1y-x1x2=0.

聯立拋物線y2=2p2x消去x,得

(x1+x2)y2-4p1p2y-2p2x1x2=0.

因直線AB與M:y2=2p2x相切,故

⑤

同理由直線AC與y2=2p2x相切可得

⑥

又直線BC方程為(x3+x2)x-2p1y-x3x2=0,代入y2=2p2x,得

(x3+x2)y2-4p1p2y-2p2x3x2=0.

所以直線BC與拋物線M也相切.

若進一步將M:y2=2p2x變為更一般的y2=2p2(x+x0),另外,再將本題中的兩條拋物線推廣到兩個橢圓、兩條雙曲線、兩個圓,那么本題結論是否仍然成立呢?考慮到運算量的關系,這里不再一一推導,感興趣的讀者可用GGB軟件進行探討.綜合考慮運算量以及高考和數學聯賽中出現的頻繁程度,我們選取一個圓錐曲線和一個圓進行探究,即能否找到內接于圓錐曲線且外切于圓的三角形?

如果,這里圓錐曲線選擇拋物線y2=2px(p>0),那么拋物線內的所有圓是否都具有該性質?顯然當拋物線上的三個點固定時,則它的內切圓是唯一的,只要改變圓的圓心和半徑,以上性質將不復存在.也就是說,滿足預想結論的圓的圓心與半徑是有一定的制約關系的.為了便與計算,我們考慮動圓圓心在x軸上的情形,經過探究與證明得到以下結論:

整理,得r2+2pr-2pm=0,

下證一般性:

2px-(y1+t)y+ty1=0.

再由直線PA與圓M相切,得

化簡,得(t2-r2)x1+(4mpt-2r2t)y1+4m2t2-4p2r2-t2r2=0.

⑦

同理,直線PB與⊙M相切得

(t2-r2)x1+(4mpt-2r2t)y2+4m2t2-4p2r2-t2r2=0.

⑧

從而點A,B在直線(t2-r2)x+(4mpt-2r2t)y+4m2t2-4p2r2-t2r2=0上.

即為AB的方程.此時點M到直線AB的距離

故AB與⊙M相切.

證明先證特殊情況,如圖3,當點P與橢圓左頂點重合時,根據對稱性知AB⊥x軸,垂足為點T,設PA與圓M相切的切點為N,從而MN⊥PA.

圖3 結論4解析圖

兩邊平方并去分母可解得

對于一般性的證明,其方法與結論3拋物線相同,但計算過程極其冗長,這里略去.

圖4 結論5圖

4 結束語

這道聯賽題中,△ABC外接于拋物線x2=y,又內切于y2=4x,我們把這樣的圖形結構稱為彭賽列閉合.彭賽列閉合定理是1822年法國數學家彭賽列在其出版的著作中給出的,并且給出了嚴謹的證明.他認為,平面上給定兩條圓錐曲線,若存在一封閉多邊形外切于其中一條圓錐曲線且內接于另一條圓錐曲線,則此封閉多邊形內接的圓錐曲線上每一個點都是滿足這樣(切、內外接)性質的封閉多邊形的頂點,且所有滿足此性質的封閉多邊形的邊數相同.彭賽列閉合定理展示了基于圓錐曲線關系上的一種“群結構”關系——“彭賽列結構”,表示為:有一個滿足一種結構的關系存在,則所有滿足這種結構的關系都存在.如果從形象化的角度來理解,彭賽列閉合相當于一只跳蚤從外圓錐曲線某點出發,每次沿著向內圓錐曲線作出的一條切線跳到外圓錐曲線上的一個新起點,經過N次跳躍后回到了起點,形成了路徑閉合,且跳蚤的路徑是否閉合和它的起始位置無關.

另外,本道聯賽題考查的內接于拋物線且外切于另一條拋物線的三角形問題,以及拓展中探討的圓錐曲線的內接三角形的內切圓問題,都是屬于“彭賽列閉合定理”的特殊情況.考試中如果提前了解了彭賽列閉合定理,則能為解題指明方向.