一道不等式題的17種證法

李保強

(山東省鄆城第一中學,山東 菏澤 274700)

不等式證明題技巧性都比較強.在日常的競賽課教學中,教師可以引導學生從多種角度來解決,從而發散學生的數學思維,提高學生的解題能力.

1 競賽模擬試題

題目已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:a+b≤2.

該題題干簡短精煉,內涵卻很豐富. 從各種角度對該題進行探究,不僅可以掌握不等式證明的方法和技巧,而且還可以領略其蘊含的數學思想方法.

2 證法探究

角度1 利用常見不等式.

所以(a+b)3≤8,即a+b≤2.

所以(a+b)3≤8,即a+b≤2.

證法3由(a-b)(a2-b2)≥0,得

a3+b3≥ab2+a2b.

所以(a+b)3=a3+b3+3(a2b+ab2)≤a3+b3+3(a3+b3)=4(a3+b3)=8.

故a+b≤2.

證法4 因為a>0,b>0,所以

a+b≤2(a+b)3≤8

因為(a-b)(a2-b2)≥0顯然成立,

所以a+b≤2成立[1].

證法5易知等號成立的條件是a=b=1.

構造均值不等式:

兩式相加,得a3+b3+4≥3(a+b).

所以a+b≤2.

證法6 由柯西不等式,有

(a+b)(a3+b3)≥(a2+b2)2.

兩邊平方,得(a+b)4≤8(a+b).

即(a+b)3≤8.所以a+b≤2.

角度2 構造“一元二次方程”.

證法7設a,b是方程x2-mx+n=0的兩正根,則a+b=m,ab=n.

由a3+b3=(a+b)[(a+b)2-3ab]=2,

得m(m2-3n)=2.

解得m≤2.

所以a+b≤2.

角度3 利用反證法.

證法8假設a+b>2,則a>2-b.

兩邊同時立方,得

a3>(2-b)3=8-12b+6b2-b3.

即8-12b+6b2-(a3+b3)<0.

即6b2-12b+6<0.

即(b-1)2<0,這是不可能的,因此a+b≤2.

角度4 利用函數的性質.

證法9 設h(x)=x3,如圖1,易知h(x)是(0,+∞)上的凸函數.

圖1 三次函數的凸性

因此a+b≤2.

證法10不妨設a≤b,由a3+b3=2,知

所以f′(x)>0,因此f(x)在(0,1]上單調遞增.

所以f(x)≤f(1)=2.

所以a+b≤2[2].

角度5 構造等差數列.

證法11由a3+b3=2知a3,1,b3成等差數列,不妨設a≤b,則公差d=1-a3=b3-1≥0.

下面比較1-a,b-1的大小.

即 1-a≥b-1,所以a+b≤2.

角度6利用三角代換.

證法12設a+b=m,又a>0,b>0,令

a=mcos2θ,b=msin2θ,

代入條件a3+b3=2,得

所以m≤2,即a+b≤2.

角度7 構造向量.

故a+b≤2.

角度8利用二項式定理.

角度9利用解析幾何思想.

圖2 曲線與直線

由圖可知符合x3+y3=2的點都在滿足x+y≤2的區域內.

設M={(x,y)|x+y≤2,x>0,y>0},

N={(x,y)|x3+y3=2,x>0,y>0},

如圖2,可知N?M,因此a3+b3=2.

所以a+b≤2.

點評通過幾何畫板作出直線與曲線的圖象,利用數形結合思想可知,?(x,y)∈N,則(x,y)∈M,即a3+b3=2,即a+b≤2.從而使學生的數學思維從直觀想象到邏輯推理,培養了學生直觀想象和邏輯推理的核心素養[3].

角度10利用冪平均不等式.

證法16 由冪平均不等式

(其中xi>0,i=1,2,…,n,α<β),得

即a+b≤2.

點評由此可知,本題的背景是“冪平均不等式”,取α=1,β=3,n=2即得到本題的結論. 利用冪平均不等式,還可以得到本題的變式與推廣.

角度11 構造恒等式.

3 結束語

這是一道可以有效訓練學生數學思維的好題.通過探究這一道題,不僅可以復習基本不等式、柯西不等式,而且可以將基本不等式、柯西不等式、三角代換、構造向量、函數的單調性與凹凸性、冪平均不等式等常用方法聯系起來.同時還可以復習韋達定理、判別式法、三角函數、平面向量、數列、函數、二項式定理、解析幾何等內容.我們通過一道題就把高中數學的核心內容進行了串聯,幫助學生構建了知識體系框架與脈絡.