一道高考真題的解法探究與教學(xué)思考

曲 娜

(云南民族中學(xué),云南 昆明 650221)

2023年高考數(shù)學(xué)全國卷落實黨的二十大精神,全面貫徹黨的教育方針,落實立德樹人根本任務(wù),促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展;反映新時代基礎(chǔ)教育課程理念,落實考試評價改革、高中育人方式改革等相關(guān)要求,全面考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求,突出理性思維,發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用.

1 題目呈現(xiàn)

(2)若b2+c2=8,求b,c.

本題主要考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),突出基礎(chǔ)性要求,彰顯綜合性要求,蘊含中國高考評價體系四翼的要求,促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接,同時也促進(jìn)考教銜接.本題主要從正余弦定理、平面向量、平面幾何、經(jīng)典的幾何定理等幾個角度來進(jìn)行分析,從而發(fā)現(xiàn)很多不同解法及其蘊含的數(shù)學(xué)思想.

2 題目解析

2.1 第(1)問解析

解法1 在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

解得a=4.

在△ABD中,利用余弦定理可知

再利用余弦定理變式解得,

解法3 (余弦定理+面積公式)

在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

解得a=4.

在△ABC中,再利用面積公式

解法4(三次余弦定理)

在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

解得a=4.

在△ACD中,利用余弦定理可知

在△ABC中,利用余弦定理變式解得

解法5(二次余弦定理+正弦定理)

在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

解得a=4.

在△ACD中,利用余弦定理可知

在△ABC中,利用正弦定理可知

解法6(面積公式+兩角和的正切公式)

在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,即

解得a=4.

在△ACD中,利用余弦定理可知

利用兩角和的正切公式解得

2.2 第(2)問解析

解法1 (面積公式+平行四邊形法則)

利用面積公式解得

①

兩邊平方,得

4=b2+c2+2×b×c×cosA.

整理,得bccosA=-2.

②

再由已知b2+c2=8,解得b=c=2.

解法2(中線長定理+面積公式)

由中線長定理可知,b2+c2=2(AD2+BD2).

在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△ACD,

即AD⊥BC,底邊中線也是底邊高線.

所以△ABC是等腰三角形.

解得b=c=2.

解法3(中線長定理+面積公式+余弦定理)

由中線長定理可知,b2+c2=2(AD2+BD2).

利用面積公式解得,

在△ABC中,由余弦定理可知

12=b2+c2-2×b×c×cosA.

解得bccosA=-2.

再由已知b2+c2=8解得b=c=2.

解法4(中線長定理+面積公式)

由中線長定理可知,b2+c2=2(AD2+BD2).

解法5(中線長定理+余弦定理+面積公式)

由中線長定理可知,b2+c2=2(AD2+BD2).

在△ACD中,由余弦定理可知,

③

在△ABC中,由面積公式解得

整理,得bsinC=1.

④

3 結(jié)束語

通過研究高考真題發(fā)現(xiàn),我們在教學(xué)中應(yīng)該多做微探究,讓數(shù)學(xué)本質(zhì)理解得更透徹.在課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下要重視教材,多練變式,讓學(xué)生思維更生動,適當(dāng)記憶經(jīng)典定理、公式,多總結(jié),讓知識更系統(tǒng).正所謂知其然還要知其所以然,刷百題不如吃透一題,高考改革萬變不離其宗,這個宗就是對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握,這就要求我們能夠?qū)じ菰?抓住問題的本質(zhì).引導(dǎo)我們備課更加注重思維能力和思想方法的滲透,不能死記公式,而是關(guān)注學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究,真正掌握知識,學(xué)會靈活運用,不斷提高自身的思維能力[1].