“一題多變”突破解三角形的解題障礙

陳鵬林

(福建省永春第一中學,福建 泉州 362601)

“解三角形”是高中數學人教A版(新課標)必修第二冊第六章第四節的知識,具有較強的應用性,也是平面向量和三角函數在求解三角形問題中的綜合應用,其本身不僅僅與日常生產生活問題有著緊密的聯系,同時,也是高考一個重要且必考的考點.在近幾年的高考中,經常考查到解三角形的范圍問題,但難度適中,屬中檔題型,學生是可以在這道題上爭取拿高分的.因此,在選擇訓練題上應注重如下這三點:第一,在基礎題型上,要強化基礎,抓綱務本,落實通法;第二,在難點題型上,要立足教材,突出方法,分級達標;第三,在易錯題型上,要變式呈現,舉一反三,強化提升.

1 考題再現,發現障礙

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b．

命題意圖本題考查了三角形的內角和定理、誘導公式、二倍角公式、同角三角函數的基本關系(平方關系)、余弦定理以及三角形的面積公式等基礎知識,意在考查學生的運算求解能力及方程思想,屬于中檔題[1].

所以sinB=4(1-cosB).

因為sin2B+cos2B=1,

所以16(1-cosB)2+cos2B=1.

所以(17cosB-15)(cosB-1)=0.

利用余弦定理得

=(a+c)2-2ac-15=4.

所以b=2.

解決該題時,雖然學生已經掌握了相關的一些知識,但是對于如何準確使用正、余弦定理來求解三角形還存在障礙,許多學生對于求解三角形中的邊角關系和周長面積以及最值(范圍)問題產生畏懼心理.下面,通過該題的多道變式題,可以高效地幫助學生突破這一障礙.

2 變式延伸,揭示規律

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求△ABC的周長．

分析該題是將第(2)小題改為求周長問題．本題只要在第(2)小題求出b=2后,再利用周長公式l=a+b+c即可求出周長為8．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,求△ABC的面積.

分析該題是把第(2)小題的條件和結論對換．

(2)利用余弦定理,得

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的面積的最大值．

分析該題是在第(2)小題中刪除了一個已知條件:“a+c=6”,使所研究的三角形不確定,從而可求面積的最值問題．

故△ABC的面積的最大值為4.

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周長l的取值范圍．

分析該題與變式4一樣,也是在第(2)小題中刪除了一個已知條件:“a+c=6”,使所研究的三角形不確定,從而可求周長的取值范圍．

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周長l的取值范圍．

分析該題是在變式5的基礎上,增加了一個條件:銳角三角形.這樣,角A的范圍發生了改變,從而三角形的周長范圍也跟著改變了.

幾個變式題的設計都是稍微改變了條件,并難度逐步遞進,激發了對知識的渴望,因此我們可以更好地總結解決此類問題的方法,并了解如何正確選擇正弦和余弦定理來解決三角形中的周長、面積和最大值問題.達到突出重點和解決難點的目的.

對于變式4和變式5,可以采用均值不等式,但變式5只能夠確定“a+c”右側的范圍,對于另外一側的范圍,多數學生忽略了“兩邊之和大于第三邊”這一隱藏條件,從而漏解.通過變式6進一步深入探討和研究,發現用正弦定理就可以解決這一問題.我們還可創設一個新的問題: “求“a-c”的范圍”讓學生思考.由此可見,解決三角形中的(范圍)問題的通法是正弦定理.當然,應該還會有一些學生由于沒有觀察到角的范圍,導致解錯.

3 結束語

解三角形是高中數學中一個非常重要的知識點和考點,需要在掌握基礎題型的前提下,逐步拓展到難點題型和易錯題型.通過針對性的訓練和提升自己的解題能力,就可以在高考中取得優異的成績.因此,在總復習中,建議學生應該對解三角形問題進行題型選擇并總結歸納,具體解題過程中需要根據題目類型和已知條件靈活應用和調整解題步驟與方法,同時也可以參考高考數學熱門考點清單等資料,來更好地掌握相關題型的學習方法和解題技巧.總之,要在高考總復習中提高解決問題的能力,需要注重解題思路的分析和解題技巧的掌握.本文從一道解三角形綜合問題入手,通過一題多變的形式,達到擴展發散思維,通過問題的辨析與探究,真正體會選擇正弦定理、余弦定理在求解三角形的最值(范圍)中的運用.同時,避免深陷“會而不對、對而不全以及全而不準”的尷尬境地,真正實現由一題多變突破解三角形的解題障礙的最終目標.