2023年新高考Ⅰ卷第22題的五種解法

盧會玉

(西北師范大學附屬中學,甘肅 蘭州 730070)

自新高考施行以來,有很多學生吐槽數學題通常都是“滿紙的不超綱,但就是不正常說話!”不難發現,命題者是想通過改變固定的命題模式,指導教師和學生實現兩個轉變:從解題到解決問題的轉變;從死板的刷題到培養思維的轉變[1].這是在大力推行核心素養的背景下進行的一次具有革命性的變化!2023年新高考Ⅰ卷第22題讓我們再一次感受到了數學思維訓練的重要性,下文從三角函數、直線的參數方程等五種不同的角度對該題進行了解析.

1 試題呈現

(1)求W的方程;

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

解析設動點P(x,y),則由題意可得

2.2 第(2)問解析

解法1 (利用三角函數和放縮法解題)不妨設A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.因為此時AB⊥AD,則設AB的傾斜角為θ,所以AD的傾斜角為90°+θ.

由拋物線和矩形的對稱性,不妨設0<θ≤45°.

所以xA+xB=tanθ.則xB=tanθ-xA.

所以矩形ABCD的周長為

因為0<θ≤45°,所以0

解法2(利用直線參數方程和放縮法解題)不妨設A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.

因為此時AB⊥AD,則設AB的傾斜角為θ,所以AD的傾斜角為90°+θ.

直線AD的參數方程為

t2cos2θ+t(2mcosθ-sinθ)=0.

以下同解法1.

解法3(利用常規根與系數關系和放縮法解題)不妨設A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.

所以xA+xB=k,則xB=k-xA,

所以矩形ABCD的周長為

又由拋物線和矩形的對稱性可知,-1≤k≤1,k≠0,不妨使0

又根據|a|+|b|≥|a+b|(當且僅當ab≥0時取等號),

解法4(利用常規根與系數關系和分段函數解題)不妨設A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.

設直線AB的方程為y=kx+m,

Δ=k2+4m-1>0,

所以xA+xB=k,則xB=k-xA,

由拋物線和矩形的對稱性可知,-1≤k≤1,k≠0,不妨使0

以下同解法3.

即(x1-x2)(x1-x3)+(y1-y2)(y1-y3)=0.

所以1+(x1+x2)(x1+x3)=0.

即(x1+x2)(x1+x3)=-1.

所以矩形ABCD的周長為

因為(x1+x2)(x1+x3)=-1,

所以不妨設(x1+x2)2≤(x1+x3)2,

所以2(|AB|+|AD|)

當且僅當x2+x3=2x1時取等號.

又根據|a|+|b|≥|a-b|(當且僅當ab≤0時取等號),

令m=x1+x2,由(x1+x2)(x1+x3)=-1,可不妨設m∈(0,1],

以下同解法3.

3 結束語

不難發現,以上五種方法有一個共同的特點,就是都利用了不等式性質進行了放縮運算,達到了減少變量的目的,最后基本都變換為一個利用函數單調性求最值的問題. 所以,遇到思維量較大的題目,我們一定要有明確的目標,有的放矢.