多方視角覓答案 登高望遠(yuǎn)探背景
——探究2022年高考北京卷第20題

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué),廣東 佛山 528315)

題目呈現(xiàn)(2022年高考北京卷第20題)已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)設(shè)g(x)=f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

(3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

由于問題(1)與(2)較為簡單,只給出答案,本文主要對問題(3)進(jìn)行探究.

1 問題(1)與(2)的答案

故f′(0)=e0(ln1+1)=1.

故曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.

因?yàn)閤≥0,

從而可得g′(x)>0.

所以g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)遞增.

2 問題(3)的證法探究

視角1直接作差,構(gòu)造差函數(shù).

證法1 設(shè)t∈(0,+∞),令h(x)=f(x+t)-f(x)(x≥0),則

h(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x),

當(dāng)x≥0時,由(1),可知

所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閠∈(0,+∞),x≥0,

所以x+t>x.

從而可得f(x+t)>f(x).

即ex+tln(1+x+t)>exln(1+x).

故ex+tln(1+x+t)-exln(1+x)>0.

所以φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閠∈(0,+∞),x≥0,

所以x+t>x.

從而可得φ(x+t)>φ(x).

故h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

因?yàn)閟∈(0,+∞),

所以h(s)>h(0).

即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0),且f(0)=0.

所以f(s+t)-f(s)>f(t).

即f(s+t)>f(s)+f(t).

證法2 令h(x)=f(x+t)-f(x)(x≥0),則

h′(x)=f′(x+t)-f′(x).

由(2)可知,

g(x)=f′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

由于s,t∈(0,+∞),x≥0,則

x+t>x.

從而可得f′(x+t)>f′(x).

即h′(x)>0.

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

于是h(s)>h(0).

即f(s+t)-f(s)>f(0+t)-f(0),且f(0)=0.

所以f(s+t)-f(s)>f(t).

即f(s+t)>f(s)+f(t).

評注一般來說,證明函數(shù)不等式f(x)>g(x)恒成立,可設(shè)F(x)=f(x)-g(x),則f(x)>g(x)恒成立F(x)>0恒成立,作差法是證明不等式成立的最常規(guī)做法,思路自然.證法1作差后,通過探究具體函數(shù)的單調(diào)性來證明,運(yùn)算量較大;證法2則利用問題(2)的結(jié)論來證明,證明過程簡潔.

視角2 放縮法.

證法3 (利用ex>1+x放縮)因?yàn)閒(x)=exln(1+x),s,t∈(0,+∞).

要證明f(s+t)>f(s)+f(t),即證明

es+tln(1+s+t)>esln(1+s)+etln(1+t).

因?yàn)閑x>1+x(x>0),

故只需證明

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

故h(s)>h(0)=ln(1+t)-ln(1+t)=0.

所以f(s+t)>f(s)+f(t).

視角3 更換主元法.

證法4 令h(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)(s>0),則

h′(s)=f′(s+t)-f′(s)=g(s+t)-g(s).

由(2)可知,g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

由于s,t∈(0,+∞),則s+t>s.

從而可得g(s+t)>g(s).

即h′(s)>0.

所以h(s)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

于是h(s)>h(0),且f(0)=0.

從而h(0)=f(t)-f(0)-f(t)=0.

故h(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)>0.

所以f(s+t)>f(s)+f(t).

評注“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同.”同一事物從不同角度看,會有不同的認(rèn)識.由于問題涉及兩個變量,且兩個變量彼此獨(dú)立,所以可以把其中一個變量看作未知數(shù)(確立為主元),另一個先固定,從而轉(zhuǎn)化為單變量問題.這樣能排除參數(shù)間的干擾,簡化問題結(jié)構(gòu),可以化繁為簡,化難為易,使求解過程更加簡捷[1].

視角4高觀點(diǎn).

證法5 由s,t∈(0,+∞),不妨設(shè)0

由拉格朗日中值定理,可得?ξ∈(s,s+t),有

?η∈(0,t),有

由(2)可知,g(x)=f′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(0)=0.

因?yàn)棣?η,

所以f′(ξ)>f′(η).

于是f(s+t)-f(s)>f(t).

所以f(s+t)>f(s)+f(t).

評注拉格朗日中值定理不在高中的學(xué)習(xí)范圍內(nèi),學(xué)生不需要掌握,但其解題思路新穎,過程簡捷,能體現(xiàn)試題本質(zhì)內(nèi)涵,值得學(xué)習(xí).

3 問題(3)的命題背景探析

問題(3)中的二元不等式f(s+t)>f(s)+f(t)在形式上十分優(yōu)美,自然的想法是:什么樣的函數(shù)f(x)在滿足s,t∈(0,+∞)時,有f(s+t)>f(s)+f(t)?問題(3)的命題背景是什么?

3.1 幾何背景

由s,t∈(0,+∞),不妨設(shè)0

作出函數(shù)f(x)=exln(1+x)的圖象(如圖1),作直線AB,CD.由圖1可知,直線AB,CD的傾斜角均為銳角,且直線CD的傾斜角大于直線AB的傾斜角,即kCD>kAB.

圖1 f(x)=exln(1+x)的圖象

事實(shí)上,由證法5,可得

因?yàn)棣?η,所以f′(ξ)>f′(η).

從而kCD>kAB.

顯然kCD>kAB正是試題的幾何背景.

3.2 高等數(shù)學(xué)背景

從問題(1)可知,函數(shù)f(x)=exln(1+x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增;由問題(2)可知,g′(x)>0,即f″(x)>0,所以可得函數(shù)f(x)=exln(1+x)在[0,+∞)是下凸函數(shù),且單調(diào)遞增.

那么,是不是單調(diào)遞增的下凸函數(shù)f(x)都有性質(zhì):當(dāng)s,t∈(0,+∞)時,有f(s+t)>f(s)+f(t)?

答案是肯定的,下面給出更一般的結(jié)論.

定義函數(shù)f(x)在區(qū)間D內(nèi)有定義,若對于任意的x1,x2∈D和任意的0<λ<1,恒有

λf(x1)+(1-λ)f(x2)

>f[λx1+(1-λ)x2],

①

則稱f(x)在區(qū)間D內(nèi)是下凸函數(shù),簡稱下凸.若上述不等式反向恒成立,則稱f(x)在區(qū)間D內(nèi)是上凸函數(shù),簡稱上凸.

性質(zhì)若f(x)在區(qū)間D內(nèi)是下凸函數(shù),x1,x,x2∈D且x1

②

證明在下凸函數(shù)的定義中,若x1

λx1+(1-λ)x2=x,

則λf(x1)+(1-λ)f(x2)>f(x),

(1)由λf(x1)+(1-λ)f(x2)>f(x),得

λf(x1)-λf(x2)>f(x)-f(x2).

即λ[f(x2)-f(x1)]

注意到x1

(2)由λf(x1)+(1-λ)f(x2)>f(x),得

-(1-λ)f(x1)+(1-λ)f(x2)>f(x)-f(x1).

即(1-λ)[f(x2)-f(x1)]>f(x)-f(x1).

注意到x1

綜合(1)(2),可得

證明(1)當(dāng)t=s時,不等式r

(2)當(dāng)t≠s時,由r

由t

評注函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊性質(zhì),其相關(guān)知識十分豐富.以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn),這也表明:高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論是命制一些具有創(chuàng)新力與區(qū)分度的高考試題的重要來源[3].雖然在高中課本中沒有這方面的內(nèi)容,但若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識,可以“登高望遠(yuǎn)”,開拓思維,養(yǎng)成對試題背后的內(nèi)在關(guān)系分析與思考的習(xí)慣,便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡捷的解題途徑.

4 結(jié)束語

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考量,是知識、能力和思想方法的載體,大多都蘊(yùn)含著深刻的背景、豐富的數(shù)學(xué)思想.近年來,高考的命題者通過挖掘高等數(shù)學(xué)中的一些素材來命制高考試題,此類試題也逐漸引起大家的關(guān)注[4].但這并不意味著要將過多的高等數(shù)學(xué)知識下放到中學(xué),加重中學(xué)的負(fù)擔(dān),應(yīng)該是站在高觀點(diǎn)的角度看待問題,將研究的問題引向深入,探索隱藏在題目背后的奧秘,挖掘題目的真正內(nèi)涵,能夠找到解決這個問題與解決其他問題在思維上的共性.這樣,我們才能領(lǐng)會到試題命制的深刻背景,才能跳出題海,真正做到觸類旁通,舉一反三.