2021年復旦大學強基計劃第3題的多視角解答

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學,貴州 貴陽 551100)

真題呈現AD是△ABC的角平分線,AB=3,AC=8,BC=7,求AD的長.

1 解法探究

視角1 勾股定理求長度.

在非直角三角形中求長度是高中解三角形問題中的一個常見問題.學生往往都是用正、余弦定理來求解,其實有時通過作輔助線——構造直角三角形,然后利用勾股定理求長度也還是比較簡單的[1].

解析1過點A作CB的垂線,交CB的延長線于點O.

在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2=9.

在Rt△AOC中,OC2+OA2=AC2=64.

則OC2-OB2=55.

又OC=OB+BC=OB+7,

又BC=BD+DC=7,

視角2正、余弦定理求長度.

正、余弦定理是解三角形問題的兩個基本定理.對于在“爪”型三角形中求長度,往往需要在兩個或兩個以上的三角形中找它們之間的關系(可以是角的關系,也可以是邊的關系),借助這種關系在兩個或兩個以上的三角形中用正、余弦定理來解.但由于選擇的關系不同,使用的正、余弦定理也不相同,進而有了不同的思路,不同的解法[2].

在△ABD中,由余弦定理,得

DB2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD.

①

在△ACD中,由余弦定理,得

DC2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD.

又因為AD是△ABC的角平分線,

所以∠BAD=∠CAD.

所以cos∠BAD=cos∠CAD.

②

在△ABD中,由余弦定理,得

AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠ADB.

③

在△ACD中,由余弦定理,得

AC2=DC2+AD2-2DC·AD·cos∠ADC.

又因為∠ADB+∠ADC=π,

所以∠ADC=π-∠ADB.

所以cos∠ADC=cos(π-∠ADB)=-cos∠ADB.

④

在△ABC中,由余弦定理,得

在△ABD中,由余弦定理,得

AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB.

因為∠BAC的角平分線交BC于點D,

所以∠BAD=30°.

在△ABD中,由余弦定理,得

DB2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD.

視角3 面積法求長度.

用面積法在“爪”型三角形中求長度,往往需要先弄清楚兩個或兩個以上的三角形的面積之間的關系,通過關系式明白需要計算哪些三角形的面積,接下來想方設法計算這些三角形的面積,然后把它們代入上面的關系式中即可解出長度.但由于選擇的三角形不同,使用的面積公式不同,進而有了不同的解法[3].

因為AD是△ABC的角平分線,

所以∠BAD=∠CAD=30°

因為S△ABC=S△ABD+S△ACD,

解析7因為AD是△ABC的角平分線,

所以∠BAD=∠CAD.

即8S△ABD=3S△ACD.

設AD=x.

由海倫公式,得

視角4 坐標法求長度.

坐標法是解析幾何中的最基本的研究方法.通過坐標系,把幾何的基本元素——點和代數的基本對象——數(有序數對或數組)對應起來,從而把幾何問題轉化為代數問題,再通過代數方法研究幾何圖形的性質,如長度、夾角等.因此平面幾何中的許多問題都可以用坐標法加以解決,但由于建立的坐標系不同,使用的方法也不一樣,進而有了不同的解法.

如圖1,建立平面直角坐標系.

圖1 解析8示意圖

⑤

⑥

所以∠BAC=60°.

因為∠BAC的角平分線交BC于點D,

所以∠BAD=∠CAD=30°.

如圖2,建立平面直角坐標系,

圖2 解析9示意圖

因為AB=3,AC=8,

視角5 向量法求長度.

由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質,如長度、夾角等都可以由向量的線性運算和數量積運算表示出來,因此平面幾何中的許多問題也都可以用向量運算的方法加以解決.

解析10由三角形的內角平分線定理,得

又因為AB=3,AC=8,即3DC=8BD.

視角6 三角形角平分線長公式求解.

求三角形的角平分線長,除了構造直角三角形用勾股定理求解,正、余弦定理求解,面積法求解,坐標法和向量法求解外,有時還可以直接使用三角形的角平分線長公式求解,不過由于題設中已知條件的不同,導致了公式的不同,解法的不同.

2 結束語

總之,高中教材中是沒有角平分線的相關內容的,在初中也是僅僅學了點皮毛,但都還不一定記得.因此,對于絕大多數學生來說,甚至對有些教師來說,在解此類問題時可能也就局限于用高中教材中所學的正、余弦定理等知識來解答,能想到面積法、坐標法、向量法的都是比較少的,而使用這些知識解答往往運算量比較大,耗時較多,所以在非必要的時候,不建議使用,尤其是做選擇題、填空題時更是不建議使用.不用它們,有人會問用什么呢?其實與角平分線有關的定理、性質、公式是非常多的,而這些定理、性質、公式需要教師們平時通過讀書、看報、上網查閱等途徑掌握相關的內容.只有教師掌握了,才能使更多的學生得以掌握,只有學生掌握了,才能在解題中繞開“笨”的方法,采用“秒殺”法,達到優化解題的目的.