用伸縮變換突破高考難題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學,新疆 烏魯木齊 830002)

圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內容之一,所有學生在這一內容上都投入了很大的精力.每年高考的圓錐曲線解答題運算量都很大,考生普遍得分率很低.對這一現(xiàn)象,我們都在思考是否有解決的辦法.我們可否將教材上的圓、橢圓、坐標變換這三個內容整合在一起,以坐標變換為紐帶將圓的特有性質應用于有關橢圓的考題中?坐標變換(這里主要研究伸縮變換)是仿射幾何的范疇,為了解題需要,高中數(shù)學教學應達到什么程度?或者說,應補充哪些理論知識?

1 理論準備

我們通過教學實踐研究發(fā)現(xiàn),在教材現(xiàn)有知識的基礎上稍微拓展一下理論就可以應用伸縮變換解題,尤其是突破一些高考的難題,大有裨益.

引理1 伸縮變換前后,共線點依然共線.

引理2 伸縮變換前后,平行線依然平行,相交線依然相交,直線和曲線的位置關系不變.

引理3 伸縮變換前后,共線(平行)的線段長度比不變.

引理5伸縮變換前后,封閉圖形的面積滿足S=abS′.

2 應用伸縮變換解題

題型1 證明直線過定點(三點共線).

(1)求E的方程;

下面應用伸縮變換解答(2).

圖1 例1解析示意圖

設M′N′與A′B′相交于點Q′,連接A′P′,A′N′,O′P′,O′B′.過點O′作O′D′⊥M′N′于點D′,連接A′D′,由兩點間距離公式易得

|A′B′|=|OA′|=|OB′|=1.

所以ΔO′A′B′是正三角形.

結合圖1,猜想N′,H′,A′共線,也就是N′H′過定點A′.下面證明猜想.

要證明N′,H′,A′共線,只需證明

①

而M′T′∥x軸,因此A′P′∥M′T′.

②

③

因為A′P′是圓O′的切線,

④

⑤

因為A′P′⊥O′A′,O′D′⊥M′N′,

所以O′,A′,P′,D′四點共圓.

于是∠O′D′A′=∠O′P′A′=60°.

而∠A′D′P′=90°-∠O′D′A′=30°,

∠Q′A′P′=90°-∠O′A′B′=30°,

所以∠A′D′P′=∠Q′A′P′.

因此ΔA′D′P′∽ΔQ′A′P′.

⑥

⑦

結合投影和垂徑定理,⑦成立.

所以猜想成立.

因此,直線H′N′過定點(0,-1).

由引理1得,直線HN過定點(0,-2).

評注用傳統(tǒng)方法解答此題運算量非常大,有興趣的同仁可以試做一下,在高考有限的時間內考生難以完成.伸縮變換解法幾乎沒有運算,全程只有邏輯推理,思路清晰,解題耗時較少,正確率也高.

題型2 證明存在性問題

圖2 例2解析示意圖

記直線l在伸縮變換前后的斜率分別為k,k′.則直線l′的點斜式方程為y′=k′(x′-1)+1.

由引理2知,四邊形O′A′P′B′是平行四邊形,進而結合圓的性質可判斷其為菱形.

所以△O′A′P′是邊長為1的正三角形.

所以O′M′⊥A′B′.

將y′=k′(x′-1)+1變形為k′x′-y′-k′+1=0,

評注本例通過伸縮變換后得到的四邊形非常特殊,這為后續(xù)計算提供了方便.如果按照常規(guī)辦法求解,一定不可避開大量的字母運算,甚至解題思路受阻,不知如何應用平行四邊形這個條件.

題型3 證明垂直.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為點E,連接QE并延長交C于點G.證明△PQG是直角三角形[2].

下面應用伸縮變換解答(2).

圖3 例3解析示意圖

設P′(s,t),由引理1結合單位圓性質知Q′(-s,-t),E′(s,0).

在圓O′中,PQ是直徑,所以P′G′⊥Q′G′.

于是PQ⊥PG.

所以ΔPQG是直角三角形.

評注本題通過伸縮變換后,借助直徑所對圓周角為直角巧妙地證明了問題,省去了判斷直角頂點的麻煩,可謂一箭雙雕.事實上,用傳統(tǒng)辦法證明不僅運算量大,而且很難一次性找準直角頂點.

題型4 求(最)值.

(1)求M的方程;

(2)C,D為M上的兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.

下面應用伸縮變換解答(2).

圖4 例4解析示意圖

根據(jù)已知,可設直線CD的方程為x-y+t=0,

所以直線A′B′的傾斜角為π-α.

設A′B′,C′D′與x軸分別交于P′,Q′,A′B′與C′D′交于點T′,那么∠T′Q′P′=∠T′P′Q′=α.

在圓O′中,由垂徑定理易得

評注通過伸縮變換得到的四邊形內包含的等腰三角形為構造面積函數(shù)作了鋪墊,圓的特性使面積函數(shù)關系簡單,這樣處理最值問題非常方便.在推理中夾雜著少量運算,這種解題充滿著思辨性.

3 結束語

利用伸縮變換,結合單位圓的特性解題非常方便.我們在教學中可以利用大單元教學理論對教材知識進行合理整合,根據(jù)解題需要對相關知識進行適當拓展,這樣不僅可以優(yōu)化學生的知識結構,還可以拓廣學生的解題思維,增加解題方法,提高解題準確率.