巧用構(gòu)造法解答數(shù)學(xué)難題

馬沁芳

(福建省龍巖初級(jí)中學(xué),福建 龍巖 364000)

構(gòu)造法指的是當(dāng)采用常規(guī)方法、按照定向思維無(wú)法處理某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),可基于已知條件與所求結(jié)論的特殊性,從新角度出發(fā),運(yùn)用新觀點(diǎn)去觀察、分析與理解問(wèn)題,把握已知條件和所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,運(yùn)用問(wèn)題的數(shù)據(jù)、外形、坐標(biāo)等特征,構(gòu)造新數(shù)學(xué)對(duì)象,由此達(dá)到解題的目的.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,針對(duì)一些難題,學(xué)生運(yùn)用常規(guī)方法和定向思維很難解決,教師可指引學(xué)生巧用構(gòu)造法,結(jié)合題設(shè)條件和結(jié)論構(gòu)造新對(duì)象,最終解答數(shù)學(xué)難題[1].

1 巧妙構(gòu)造方程,解答數(shù)學(xué)難題

方程是學(xué)生從小學(xué)時(shí)期就開(kāi)始學(xué)習(xí)的一類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí),步入初中階段以后,學(xué)生需學(xué)習(xí)更多有關(guān)方程的內(nèi)容.除一元一次方程以外,還涉及一元二次方程、方程組、分式方程等知識(shí),屬于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容,在解題中有著廣泛應(yīng)用.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中,有的題目難度較大,教師可指引學(xué)生結(jié)合題干中提供的條件和數(shù)量關(guān)系構(gòu)造新方程,獲得全新的解題思路,讓學(xué)生結(jié)合方程知識(shí)轉(zhuǎn)化問(wèn)題,難題就迎刃而解[2].

例1 已知x,y,z是三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù),且x>y>z,滿足x+y+z=1,x2+y2+z2=1,那么x+y的范圍是什么?

分析題目中給出的方程關(guān)系較為特殊,是三元一次方程與三元二次方程形式,學(xué)生采用常規(guī)方法很難進(jìn)行解題.此時(shí),教師可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造方程的方法,將已知條件與所求結(jié)論聯(lián)系到一起,利用方程知識(shí)求得結(jié)果.

例2 已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y=3,z2=xy+y-4,求x+3y+2z的值.

分析這是一道比較特殊的代數(shù)式求值類(lèi)問(wèn)題.教師可要求學(xué)生先對(duì)題目中的條件展開(kāi)變形,把原式轉(zhuǎn)變成兩個(gè)式子的求解問(wèn)題,再觀察兩個(gè)已知式子的形式,通過(guò)變形以后構(gòu)造新方程,然后讓學(xué)生結(jié)合方程的相關(guān)知識(shí)求解.

解析根據(jù)題意可得(x+1)+y=4,(x+1)y=z2+4,通過(guò)觀察易發(fā)現(xiàn),x+1,y是一元二次方程t2-4t+z2+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,然后結(jié)合一元二次方程根的判別式確定方程根的情況即可解決問(wèn)題,求解過(guò)程從略.

2 巧構(gòu)造不等式,解答數(shù)學(xué)難題

不等式是用“>,<,≥,≤,≠”等符號(hào)表示大小關(guān)系的式子,學(xué)生在小學(xué)階段也有所接觸.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生學(xué)習(xí)的不等式知識(shí)難度更大,深度也有所提升,涉及一元一次不等式、一元一次不等式組等內(nèi)容,不少問(wèn)題中都會(huì)用到不等式相關(guān)知識(shí).在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,當(dāng)遇到部分難題時(shí),教師需提示學(xué)生注意題目中“最大”“最小”“不低于”“不高于”等關(guān)鍵詞,引導(dǎo)其嘗試構(gòu)造不等式模型,然后利用不等式知識(shí)解答難題[3].

例3 已知某工廠存儲(chǔ)有甲、乙兩種原料,質(zhì)量分別為360 kg和290 kg,現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種商品共計(jì)50件,其中生產(chǎn)一件A商品需要甲、乙兩種原料分別為9 kg、3 kg,利潤(rùn)是700元,生產(chǎn)一件B商品需要甲、乙兩種原料分別為4 kg、10 kg,利潤(rùn)是1 200元.

(1)根據(jù)條件和要求生產(chǎn)A、B兩種商品一共有多少種方案?

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種商品獲得的總利潤(rùn)是y(元),生產(chǎn)A商品x件,請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,且利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明哪種生產(chǎn)方案能夠獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)為多少?

分析先把題目中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)變成規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,根據(jù)已知條件利用構(gòu)造法建立一個(gè)不等式組,再結(jié)合不等式知識(shí)處理函數(shù)問(wèn)題,然后根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)情況確定方案.

(2)根據(jù)題意可得y=700x+1 200(50-x)=-500x+60 000,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知,該函數(shù)中y隨x的增大而減小,所以當(dāng)x=30時(shí)有最大利潤(rùn),即生產(chǎn)A商品30件、B商品20件獲得的利潤(rùn)最大,此時(shí)y=-500×30+60 000=45 000,最大利潤(rùn)為45 000元.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-500x+60 000,由此可知,(1)中的方案1獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是45 000元.

3 巧妙構(gòu)造函數(shù),解答數(shù)學(xué)難題

函數(shù)在初高中數(shù)學(xué)課程體系中占據(jù)著重要地位,學(xué)好函數(shù)知識(shí)能夠?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)諸多便利.原因在于不少題目都能夠借助構(gòu)造函數(shù)的方法解決,即使無(wú)法直接求解,也能夠打開(kāi)解題思路[4].

圖1 籃球的運(yùn)行路線圖

(1)籃球在空中運(yùn)行的最大高度是多少?

(2)假如該籃球運(yùn)動(dòng)員在跳投時(shí),籃球出手距離地面的高度是2.25 m,那么他距離籃筐中心的水平距離是多少?

分析對(duì)于問(wèn)題(1),應(yīng)該把整個(gè)函數(shù)圖象構(gòu)造出來(lái),求出籃球在空中運(yùn)行過(guò)程中距地面的最高點(diǎn);對(duì)于問(wèn)題(2),要構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系,結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)與圖象的性質(zhì)等求解問(wèn)題,從而求出運(yùn)動(dòng)員與籃筐中心之間的水平距離.

(2)建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,審題后可以發(fā)現(xiàn)求出該運(yùn)動(dòng)員位置的橫坐標(biāo)就是問(wèn)題的答案,籃筐處的高度是y=3.05 m,由此可知x=1.5 m;再根據(jù)該籃球運(yùn)動(dòng)員的出手高度y=2.25 m,此時(shí)x=-2.5(x≤0),則運(yùn)動(dòng)員距籃筐中心的水平距離是4 m.

分析因?yàn)楸绢}中的分式恒有意義,這說(shuō)明分母x2-6x+m的值永遠(yuǎn)不會(huì)是0.可據(jù)此構(gòu)建一個(gè)二次函數(shù)y=x2-6x+m,把分式問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)二次函數(shù)取值問(wèn)題進(jìn)行研究,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解題,找出y≠0的情況,以此確定m的取值范圍.

解令y=x2-6x+m,根據(jù)題意可知,y的值永遠(yuǎn)都不等于0,由于該拋物線的開(kāi)口方向是向上的,所以該二次函數(shù)的圖像不會(huì)與x軸相交,則Δ=36-4m<0,解之得m<9,即為m的取值范圍是m<9.

4 巧妙構(gòu)造圖形,解答數(shù)學(xué)難題

初中數(shù)學(xué)課程主要分為代數(shù)與幾何兩大方面的內(nèi)容.用構(gòu)造法解答數(shù)學(xué)難題時(shí),不僅可以根據(jù)題意構(gòu)造代數(shù)方面的式子,還能夠構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形,利用數(shù)形結(jié)合思想解題.在初中解題教學(xué)中,將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái),不少難題就易于解答.

例6 如圖2所示,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,而且AC與BD的長(zhǎng)度相等,點(diǎn)E,F分別為對(duì)角線AB與CD的中點(diǎn),EF分別同BD,AC相交于點(diǎn)G,H.求證:OG=OH.

圖2 例6題圖

分析在幾何圖形中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn),大多數(shù)情況下都要利用中位線的性質(zhì)進(jìn)行解題,所以本題可以先取BC的中點(diǎn)M,連接ME,MF,因?yàn)镋,F,M分別是AB,CD,BC的中點(diǎn),由此可構(gòu)造中位線EM,MF,然后結(jié)合三角形中位線定理解題.先證明△EMF是等腰三角形,根據(jù)“等邊對(duì)等角”,即可證明∠MEF=∠MFE,利用平行線的性質(zhì)證明∠OGH=∠OHG,最后根據(jù)“等角對(duì)等邊”即可解決問(wèn)題.

解如圖2所示,取BC的中點(diǎn)M,連接ME,MF.因?yàn)镸,F分別是BC,CD的中點(diǎn),則MF∥BD,MF=BD.同理可得ME∥AC,ME=AC.因?yàn)锳C=BD,所以ME=MF,∠MEF=∠MFE.又因?yàn)镸F∥BD,所以∠MFE=∠OGH.同理可得∠MEF=∠OHG,所以∠OGH=∠OHG,所以O(shè)G=OH.

5 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,有的題目難度比較大,采用常規(guī)方法和思路很難解答.面對(duì)這些難題,教師可引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)用構(gòu)造法,重新處理題目中給出的條件和結(jié)論.把問(wèn)題與熟悉的理論知識(shí)聯(lián)系起來(lái),通過(guò)構(gòu)造方程、不等式、函數(shù)、幾何圖形等數(shù)學(xué)模型把問(wèn)題實(shí)質(zhì)清楚地反映出來(lái),架構(gòu)起結(jié)論和條件之間的橋梁,讓學(xué)生從中尋求解題問(wèn)題的切入點(diǎn),確定合適的解題方案,繼而準(zhǔn)確解答數(shù)學(xué)難題.