數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
——以“二次函數(shù)與幾何圖形”問(wèn)題為例

王 麗

(江蘇省如皋市港城實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部,江蘇 南通 226532)

數(shù)形結(jié)合思想是一種綜合性的思維方式,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想能夠使數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化、直觀化,借助幾何圖形或函數(shù)圖象理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題[1].研究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,并為教師提供有價(jià)值的教學(xué)策略和方法,從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題能力的提升,這對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[2-3].因此,本文以“二次函數(shù)與幾何圖形”問(wèn)題為例,通過(guò)實(shí)例分析,驗(yàn)證了數(shù)形結(jié)合思想在解決這類問(wèn)題上的有效性和實(shí)用性,對(duì)提高學(xué)生的解題能力和思維能力具有重要意義.

1 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的體現(xiàn)及運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)問(wèn)題與幾何圖形或函數(shù)圖象相結(jié)合,運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法分析解決與幾何有關(guān)的問(wèn)題.它強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與幾何之間的相互關(guān)系,通過(guò)數(shù)學(xué)的抽象和邏輯推理方法理解和解釋幾何現(xiàn)象[4].數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運(yùn)用主要表現(xiàn)在下面幾個(gè)方面.

1.1 幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)表示

數(shù)形結(jié)合思想可以將幾何對(duì)象抽象為數(shù)學(xué)上的符號(hào)和表達(dá)式,通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述和分析幾何性質(zhì).例如,將平面上的點(diǎn)用坐標(biāo)表示,將直線用方程表示,將平面圖形用數(shù)學(xué)公式和方程式表示.

1.2 利用數(shù)學(xué)方法解決幾何問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合思想可通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和工具解決幾何問(wèn)題.例如,通過(guò)代數(shù)方法和方程的求解求取幾何圖形的參數(shù),通過(guò)向量和矩陣的運(yùn)算來(lái)研究幾何變換和平面曲線,等等.

1.3 幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)證明

數(shù)形結(jié)合思想可將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并通過(guò)數(shù)學(xué)的邏輯推理和證明方法解決幾何問(wèn)題.例如,通過(guò)利用數(shù)學(xué)定理和推理方法證明幾何性質(zhì),如平行線的性質(zhì)、三角形的相似性質(zhì)等.

1.4 幾何模型的數(shù)學(xué)建模

數(shù)形結(jié)合思想可以將實(shí)際問(wèn)題抽象為幾何模型,并通過(guò)數(shù)學(xué)建模和計(jì)算方法分析解決實(shí)際問(wèn)題.例如,在工程和科學(xué)領(lǐng)域中,可以利用數(shù)形結(jié)合思想將物體的形狀和結(jié)構(gòu)抽象為幾何模型,通過(guò)數(shù)學(xué)建模和模擬計(jì)算研究其性質(zhì)和行為.

2 “二次函數(shù)與幾何圖形”問(wèn)題的求解策略

“二次函數(shù)與幾何圖形”問(wèn)題在試題中有多種形式,包括求頂點(diǎn)、方程求解、圖像分析等.本文將詳細(xì)介紹該類題型的解題思路和方法,討論如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)與幾何圖形問(wèn)題,具體求解策略如圖1所示.

圖1 數(shù)形結(jié)合解決二次函數(shù)與幾何圖形問(wèn)題求解策略

2.1 理清問(wèn)題信息和給定條件

在解決“二次函數(shù)與幾何圖形”綜合題之前,首先需要仔細(xì)閱讀題目并理清其中的關(guān)鍵信息.例如,了解已知條件、待求量以及所給圖形的特點(diǎn)等.通過(guò)整理和歸納這些信息,可以為后續(xù)的解題過(guò)程提供指導(dǎo),提高解題效率.

2.2 繪制幾何圖形

根據(jù)題目中給出的信息,繪制相應(yīng)的幾何圖形是解決問(wèn)題的重要一步.幾何圖形可以直觀地展示問(wèn)題的情境和關(guān)系,幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題.在繪制幾何圖形時(shí),可以借助數(shù)學(xué)工具或手繪,確保圖形的準(zhǔn)確性,為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件.

2.3 建立二次函數(shù)模型

在解決“二次函數(shù)與幾何圖形”綜合題時(shí),往往需要建立一個(gè)適當(dāng)?shù)亩魏瘮?shù)模型來(lái)描述問(wèn)題.根據(jù)已知條件和問(wèn)題的要求,可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立相應(yīng)的函數(shù)模型.這個(gè)函數(shù)模型將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形聯(lián)系起來(lái),為解題提供了一個(gè)框架.

2.4 分析函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系

通過(guò)分析函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系,可以揭示二者之間的數(shù)學(xué)規(guī)律和聯(lián)系.觀察函數(shù)圖象的形狀、開口方向、定點(diǎn)位置等特點(diǎn),并將其與幾何圖形進(jìn)行對(duì)比和推理.這樣的分析有助于理解問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)原理,并為問(wèn)題的解答提供線索.

2.5 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題

在掌握了函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系后,可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決問(wèn)題.通過(guò)將函數(shù)模型中的變量與幾何圖形相對(duì)應(yīng),可以建立數(shù)學(xué)方程或等式,進(jìn)而求解待求量.同時(shí),結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和特點(diǎn),可以得出問(wèn)題的解答.

2.6 檢查與解釋結(jié)果

在完成解題過(guò)程后,應(yīng)當(dāng)對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢查,確保解答符合問(wèn)題的要求.同時(shí),還可以對(duì)解答結(jié)果進(jìn)行解釋和分析,說(shuō)明解題的思路和方法,并給出可能存在的其他解決方案.

3 “二次函數(shù)與幾何圖形”問(wèn)題的案例分析

例題如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線開口向下,且與x軸交于點(diǎn)A(5,0)和點(diǎn)B(-1,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C(0,2.5).

圖2 例題圖

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使得能夠與點(diǎn)A和點(diǎn)C為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形,且點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);

(3)若在拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G,作GE⊥y軸,與直線AC相交于點(diǎn)D,作DF⊥x軸,連接EF,當(dāng)線段EF最短時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo).

3.1 求解二次函數(shù)解析式

熟練掌握二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.其解析式有一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式三種基本形式,特殊情況下還有對(duì)稱點(diǎn)式.求取二次函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法,依據(jù)題目中給出的已知條件的特征和二次函數(shù)三種基本形式,設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕馕鍪娇梢蕴岣呓忸}效率.根據(jù)已知條件可知,拋物線與x軸相交于A,B兩點(diǎn),可以判斷交點(diǎn)式是求取該拋物線解析式的首選方法.

3.2 存在性問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)中,存在性問(wèn)題是指對(duì)于某個(gè)條件或要求,判斷是否存在滿足條件的對(duì)象或解.這類問(wèn)題常常出現(xiàn)在各個(gè)數(shù)學(xué)分支中,如代數(shù)、幾何、邏輯等領(lǐng)域.一般可通過(guò)推理證明或構(gòu)造法判斷是否存在滿足要求的圖形或幾何關(guān)系,存在性問(wèn)題對(duì)于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力非常重要.

以上述“拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)P,使其能夠與點(diǎn)A和點(diǎn)C為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形,且點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)”為例,說(shuō)明解決這類問(wèn)題的基本策略.一般情況下,解決這類存在性問(wèn)題時(shí),先假設(shè)存在點(diǎn)P,使得其能夠與點(diǎn)A和點(diǎn)C為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形,且點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),然后利用直角三角形的基本性質(zhì)進(jìn)行推理求解.

3.3 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

在中考試題中,二次函數(shù)與幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題涉及確定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),通常被認(rèn)為是較難的部分.在解決“二次函數(shù)與幾何圖形”有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí),常常需要結(jié)合幾何法和代數(shù)法,并根據(jù)具體情況選擇最合適的方法求解動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).這要求學(xué)生既要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形的特點(diǎn),又要具備使用代數(shù)方法進(jìn)行方程求解的能力.

3.3.1代數(shù)論證法

3.3.2幾何論證方法

4 結(jié)束語(yǔ)

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題策略可以幫助學(xué)生更好地解決中考“二次函數(shù)與幾何圖形”問(wèn)題的綜合題.通過(guò)幾何圖形的觀察和分析,結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用及結(jié)果的驗(yàn)證與解釋,學(xué)生能夠全面理解問(wèn)題并找到解決方案.這種解題策略不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,也培養(yǎng)了學(xué)生的幾何思維和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用能力.