完善數學知識體系 培養數學核心素養
——2021年廣東省中考數學第25題難點分析及教學啟示

武也文

(江蘇省南京市第六十六中學,江蘇 南京 210037)

二次函數是初中數學的重要內容,是歷年中考熱點問題,承載著一定的選拔性功能,對學生而言具有一定的難度.在2023年中考第一輪復習時,筆者借助2021年廣東省中考數學第25題,幫助學生梳理二次函數的知識,建構完備的知識體系,提升學生的數學核心素養．

1 試題呈現

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象過點(-1,0),且對任意實數x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6．

(1)求該二次函數的解析式;

(2)若(1)中二次函數圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C.點M是(1)中二次函數圖象上的動點．問在x軸上是否存在點N,使以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在,求出所有滿足條件的點N的坐標;若不存在,請說明理由.

本題主要考查一次函數、二次函數的圖象與性質、函數與方程、不等式之間的聯系等數學核心知識及函數思想、方程思想、轉化思想、數形結合思想、分類思想等重要的數學思想方法,需要學生具有完備的數學知識體系,對學生的數學核心素養要求較高．

2 試題的思路突破及難點分析

2.1 思路突破

2.2 難點分析

本題是一道壓軸題,主要考查學生對初中代數核心知識的綜合運用能力．雖然本題的題干簡潔,學生讀起來一目了然,但是題型新穎且起點較高,學生不知如何解決問題．以下從該題的主要難點給出幾點反思．

難點之一:一般來說,壓軸題中的問題是按照從易到難的過程來設置的,但本題的問題(1)既是本題的亮點,也是本題的難點.許多學生做不出這道題,就是沒有弄清楚題目中的條件應該如何使用,如何轉換成有效信息．問題(1)求該二次函數的解析式,學生最常用的方法是待定系數法,但函數y=ax2+bx+c有三個系數未知,題目中的條件只給了一個已知點(-1,0),直接用待定系數法不能解決這個問題,怎么辦?

難點之二:考查一次函數、二次函數、不等式和方程等數學知識之間的內在聯系,并借助函數圖象分析、解決問題的能力．問題(1)對于學生而言從“4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個連續不等式,或許不難想到三個函數:y1=4x-12,y2=2x2-8x+6,y3=ax2+bx+c．但條件中的兩個“≤”有什么作用,怎么使用呢?這就要求學生必須借助函數的圖象來分析問題,通過畫示意圖發現函數y1=4x-12,y2=2x2-8x+6的圖象只有一個交點(3,0),如圖1所示;根據 “4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個條件,y2=2x2-8x+6的圖象在y1=4x-12的圖象的上方且這兩個圖象有交點,并且y3=ax2+bx+c的圖象在y2=2x2-8x+6的圖象的下方且這兩個圖象也有交點,不難畫出三個函數圖象有且只有一個交點(3,0)．做到這一步,得到了y3=ax2+bx+c圖象上的第二個點的坐標．由點(-1,0),(3,0)在函數y3=ax2+bx+c的圖象上,只能得到系數b、c與a之間的數量關系,即b=-2a,c=-3a,從而把函數y3=ax2+bx+c寫成y3=ax2-2ax-3a,問題仍沒有解決．

圖1 問題(1)圖

圖2 點N在x軸正半軸且在在點A的左邊,點M在x軸下方

圖3 點N在x軸正半軸且在點A 的右邊,點M在x軸下方

圖4 點N在x軸正半軸且在在點A的右邊,點M在x軸上方

圖5 點N在x軸負半軸,點M在x軸上方

難點之三:考查學生對于函數交點個數與方程根的個數之間的關系的理解,以及運用一元二次方程根的判別式判別方程實數根的情況．由函數y1=4x-12,y2=2x2-8x+6的圖象只有一個交點(3,0),得到方程ax2-2ax-3a=4x-12,且這個方程只有一個解．再逆運用一元二次方程根的判別式b2-4ac=0,解得a=1,得出函數的解析式為y3=ax2+bx+c,問題才得以解決．

難點之四:問題(2)是一個常見的幾何分類問題,難點在于如何合理制定分類的標準．理解平行四邊形的判定方法,制定合理的分類標準,使問題解決不重不漏．

3 教學啟示

3.1 完善數學知識體系,提升解題能力

在中考復習的課堂教學中,教師不僅要引導學生復習鞏固函數基礎知識、基本方法,更要喚起學生學習函數知識的經歷,知道函數知識點在初中代數知識體系中所處的地位、作用以及與方程(組)、不等式等“點狀”知識點之間的聯系和區別,幫助他們構建初中代數知識體系．在教學中,教師為了讓學生構建初中代數知識體系,可以借助知識框圖、思維導圖等可視化的思維方式引導學生,把所學知識點在知識體系中的位置清晰地呈現出來,使學生形成穩固的認知結構,力爭讓學生的初中代數知識、解題的思想方法融會貫通,進而培養學生解決綜合問題的能力．

3.2 培養核心素養,理解核心知識

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,數學素養是現代社會每一個公民應當具備的基本素養[1].數學課程要培養的學生核心素養主要包括以下三個方面:會用數學的眼光觀察現實世界;會用數學的思維思考現實世界;會用數學的語言表達現實世界.核心素養具有整體性、一致性和階段性,在不同階段具有不同表現,小學階段側重對經驗的感悟,初中階段側重對概念的理解.初中階段,核心素養主要表現為:抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、應用意識、創新意識．

本題考查的初中數學核心知識有:一次函數、二次函數的圖象與性質,函數與方程、不等式之間的聯系,平行四邊形的判定．

問題(1)通過“4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”這個連續不等式,聯想到這是三個函數之間的數量關系,進而從抽象的數量關系,轉化為直觀的函數圖象,研究三個函數的圖象不難發現它都相交于同一個點(3,0),體現了對數學抽象、直觀想象的考查．最后運用函數與方程的內在聯系,根的判別式值為0的數學核心知識,需要學生解含有字母a的一元二次方程,體現了邏輯推理、數學運算的考查[2]．

問題(2)是近幾年來數學中考命題的一個熱點——動態幾何題．點M是二次函數圖象上的動點,導致以A、C、M、N為頂點的平行四邊形的形狀、位置不能確定,這時就要分類討論．本題分類的依據是平行四邊形的判定定理．學生在解題時能否想到分類討論,取決于學生對相關概念、定義、定理的理解是否透徹,在日常的學習過程中,要經歷分類討論的過程,從而積累解決分類討論問題的經驗．因此教師要努力地使學生掌握分類思想方法,要求教師認真鉆研教材,研究中考試題,有意識地為學生感悟分類思想創設問題情境、組織學習活動[3]．

4 結束語

完善數學知識體系和培養數學核心素養是相輔相成的．只有掌握了扎實的數學知識,才能更好地運用數學思維解決實際問題;只有具備了較高的數學核心素養,才能更好地理解和掌握數學知識．因此,教師在教學過程中應注重數學知識與核心素養的融合,為學生的發展打下堅實的基礎．