水平劃分視域下初中生幾何直觀能力的培養策略

王煥然

(福建省廈門市檳榔中學,福建 廈門 361010)

在初中數學教學中,學生能力的培養離不開幾何直觀.幾何直觀能力不僅在“圖形與幾何”領域的學習中發揮著重要作用,而且也可以在“數與代數”領域借助圖象的直觀來研究函數的有關性質;在“統計與概率”領域可以借助統計圖的可視化來解決實際問題;在“綜合與實踐”領域也可以通過數學化抽象出幾何模型解決地理、經濟中的跨學科問題.

1 幾何直觀的內涵及其形成的載體

《義務教育數學課程標準(2022年版)》新增了“增加代數推理,加強幾何直觀”的要求[1],由此可以看出幾何直觀的重要性.幾何直觀是由“幾何”和“直觀”兩部分組成,而“幾何”最早在古希臘時期實際所指的就是“土地”與“測量”[2],顯然,幾何直觀與實際問題是息息相關、不可分割的.由此可見,培養學生幾何直觀能力,對于學生解決一些實際問題是有幫助的.反之,學生在實際問題的解決中也會進一步加深對幾何直觀的理解.

2 基于水平劃分幾何直觀培養策略

《義務教育數學課程標準(2022年版)》對每個核心素養的表現作了精確的界定.分別對其從“內涵”和“表現”兩個方面作出描述.表現又分為關鍵能力、必備品格、價值觀念三個方面.學者喻平認為,對于關鍵能力表述可以把數學核心素養劃分為三級水平:知識理解(水平1)、知識遷移(水平2)、知識創新(水平3),得到了下表具體描述[3].

表1 何直觀能力的水平描述

基于以上劃分,結合教學實踐,可以提煉以下教學策略.

2.1 “看圖”索驥,明確組成要素

例1如圖1,四邊形OACB的四個頂點的坐標分別為(0,0),(0,6),(4,6),(4,0),對角線OC與AB交點D,則D的坐標為____.

圖1 例1題圖

本題考查目標屬于知識理解(水平1)層面,主要考查學生能否抓住關鍵條件解決問題,即在解決問題時要從四邊形OACB的邊入手.通過調查發現,學生缺乏這種問題解決意識,對坐標的意義理解不足,無法把坐標之間的數量關系轉化為點之間位置關系.兩者之間的轉化,可以幫助學生在空間中更直觀地理解和刻畫點之間的相對位置.

在初中數學教學中,教師要注重培養學生系統性思維的習慣,引導學生能夠將問題和信息放入一個整體框架中進行思考,關注問題之間的相互關系和影響,能夠從整體和細節兩個層面來分析問題.對于圖形的初步認識,就是要先看到圖形的基本組成元素,即要判斷給定的圖形是平面圖形還是立體圖形,是直線形還是曲線形.若為直線形,有幾條邊,有幾個角.在教學中,教師要引導學生從整體和局部等不同角度去觀察圖形的特征、性質以及組成要素等,明確元素之間的位置關系、大小關系,用發現的眼光看圖形,加強學生的觀察能力和判斷能力的鍛煉.最后,根據圖形特征對圖形進行系統分類,有助于學生對圖形的認識和理解.

2.2 “畫圖”分析,建立數形關系

例2已知點P(b,12-b)在第一象限內,且到x軸與y軸的距離相等,點B在y軸正半軸上,連接BP,過點P作BP⊥AP交x軸正半軸于點A,則OA+OB=．

本題考查目標為知識遷移(水平2)層面,解決本題時需根據已知條件畫出符合要求的圖形,由“數”到“形”,根據已知條件求出點P的坐標,然后利用全等三角形性質進行線段的轉化與計算,最終求出OA+OB的長度.

畫圖是幾何直觀形成過程中必不可少的步驟之一. 在解決數學問題時,通過畫圖,可以有效提取題干中的數學信息,進而將文字信息加工成圖形信息,然后借助圖形處理、解決問題,這是培養學生幾何直觀的重要途徑.正確畫圖是學生薄弱技能,在初中數學教學中,教師要引導學生仔細閱讀題目,確保對已知條件中的相關信息有清晰的認識,然后根據已知條件繪制基本圖形,添加細節,要引導學生細致、準確地繪制每個要素.最后進行校驗和調整,把錯誤或不符合要求的地方,及時進行調整和修正,以確保繪制的圖形與描述相符.

圖2 例3題圖

(1)求⊙O的半徑;

(2)當n2=m2-2m+2時,在點P運動的過程中,點Q的位置會隨之變化,記Q1,Q2是其中任意兩個位置,探究直線Q1Q2與⊙O的位置關系．

本題主要考查知識遷移(水平2)層面,在問題(2)中探究點Q位置變化規律的思維過程有如下環節:①發現“垂徑結構”,從而得到等腰直角三角形△OEC的邊、角信息;②基于對等式n2=m2-2m+2 結構特征的觀察,變形為n2=(m-1)2+1,再結合圖形中的線段數量,聯想勾股定理,找到Rt△OEP,從而發現OP=n=PQ;③發現“一線三直角模型”,并得到模型的性質;④觀察與點Q有聯系的線段長度或角度,發現QF=CF,從而發現點Q在定直線上.上述環節中,②④是探究過程的關鍵點,也是難點.同時也充分反映了“數”與“形”之間的聯系:觀察代數結構特征,解釋幾何關系.

2.3 “用圖”解題,運用圖形分離

例4 探究活動

(1)知識回顧.如圖3,王芳把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片,現要配出與原來一樣的玻璃,則應攜帶的玻璃碎片編號是．

圖3 三角形碎片示意圖 圖4 四邊形碎片示意圖 圖5 全等四邊形示意圖

(2)直觀感知.如圖4,李明把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片,現要配出與原來一樣的玻璃,則應攜帶的玻璃碎片編號是．

(3)問題探究.在平面幾何里,能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形．類似的,我們把能夠完全重合的兩個四邊形叫全等四邊形．也就是說四條邊和四個角都分別相等的兩個四邊形全等．

已知:如圖5,在四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′中,AB=A′B′,BC=B′C′,CD=C′D′,DA=D′A′,∠ABC=∠A′B′C′．求證:四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是全等四邊形．

本題考查目標屬于知識創新(水平3)層面.首先,需深入了解實際情境,對問題的需求和限制要有清晰的認識;其次,分析圖形,建立數學模型,對于四邊形全等的問題,需利用類比思想方法將陌生問題轉化為熟悉的數學問題;最后,驗證和解釋結果,建立實際情境和數學模型之間的關系.

在圖形之間相互轉化的過程中,要通過分析已知條件,重新繪制幾何圖形,感受圖形由單一的幾何圖形到多個圖形形成的組合圖形的生成過程,從而發現復雜圖形中的基本圖形,進而找到組合圖形中單一圖形的性質與規律.

3 結束語

幾何直觀能力的培養對于學生的認知發展、問題解決和創新能力的培養都具有重要的意義.水平劃分為教師提供了一個新的模式,對學生的學業成就進行具體刻畫,也為單元作業設計、考試命題提供了可行性的方法.但是,在教學中要與具體教學內容建立聯系,引導學生通過“看圖”索驥、“畫圖”分析、“用圖”解題等具有可操作性過程體會幾何直觀.