巧用類比和變式探究解決圓錐曲線問題

趙李三?陳媛

【摘要】巧用類比和變式探究，有利于解決圓錐曲線定義、標準方程與幾何性質等問題。通過類比和變式例題、習題、高考題等進行探究，有效解決圓錐曲線問題，提升學生的數學核心素養。雙曲線、拋物線的研究通過類比橢圓的研究，注重數學基本思想和基本方法的引領示范，注意挖掘圓錐曲線性質的題目的教學功能，適當變式拓展，發展學生的數學核心素養。

【關鍵詞】類比；變式探究；圓錐曲線

類比和變式探究是提高數學教學效率的重要手段，圓錐曲線是高中解析幾何的重要內容，也是高考的重要內容。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線、拋物線。橢圓作為重點內容，要注重強調它的研究典型示范作用。教學實踐中，通過“定義變式”“標準方程變式”“幾何性質變式”“例題與習題變式”等進行探究，讓學生解決橢圓定義、標準方程及其幾何性質問題。再通過巧用類比和變式探究，解決圓錐曲線定義、標準方程與幾何性質問題；在圓錐曲線教學中，教師應充分重視類比和變式探究，通過類比和變式例題、習題、高考題，有利于運用圓錐曲線知識與方法解決問題，提升學生的數學核心素養。

一、類比和變式探究有利于解決圓錐曲線定義、標準方程與性質問題

在橢圓定義教學中，充分展示橢圓的產生過程，強調“平面內與兩點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓”。集合（圖1見下文）

其中是常數。變式提問：當

時，P點的軌跡是橢圓；當時，P點的軌跡是線段；當時，P點不存在。較好地突出“距離之和等于常數（大于）”，有利于學生理解掌握橢圓的定義。

在引導學生探究得出焦點在軸上的橢圓的標準方程：后，條件變式為：

探究焦點在軸上的橢圓的標準方程：

。讓學生思考、觀察圖形，注意焦點所在的軸變化，得到另一個標準方程

。學生思考說出：兩個標準方程的共同點與不同點。當且僅當時，的情形，說明：這時兩個焦點重合，圖形變成圓，它的方程：，在橢圓標準方程中有的限制。這樣開展的條件變式探究，學生可較好地掌握橢圓的標準方程，理解坐標法的基本思想。

利用橢圓的標準方程研究其幾何性質，讓學生從中體會用曲線的方程研究曲線性質的基本思路和方法：先“形”后“數”。提出問題：形狀、范圍、對稱性、離心率、哪些點比較特殊？在學生探究焦點在軸上的橢圓幾何性質后進行條件變式：焦點在軸上的橢圓的幾何性質，列表比較，圖形、性質（范圍、對稱性、焦點、頂點、離心率）、的關系。橢圓離心率的教學應圍繞“如何刻畫橢圓的扁平程度”這個問

題進行，用刻畫橢圓的扁平程度能更好地揭示橢圓的本質屬性。

雙曲線的研究是完全類比橢圓的研究方法進行，類比橢圓的概念提出雙曲線的問題，學習橢圓后提出問題：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？運用信息技術探索雙曲線的幾何特征，由此探究抽象得出雙曲線概念：平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于非零常數

（小于）的點的軌跡叫做雙曲線。引導學生進一步思考：平面內與兩個定點的距離的差等于零的點的軌跡是什么？通過橢圓與雙曲線的定義的比較，突出“和與差”“”“等于”“與”。

通過類比橢圓標準方程的研究過程與方法，建立雙曲線的方程，教學中要在對比橢圓、雙曲線定義的基礎上，讓學生自主推導雙曲線的標準方程，雙曲線上的點滿足條件的集合是，讓學生明白雙曲線中的幾何意義，以及它與橢圓長軸的區別。類比橢圓標準方程的化簡過程，化簡得雙曲線標

準方程（圖2）。同時類比焦點在

軸的橢圓標準方程：得出焦

點在軸上的雙曲線標準方程：

，這樣，學生加深了對橢圓與雙曲線的標準方程的理解掌握。

在探究雙曲線的簡單幾何性質時，類比對橢圓幾何性質的研究，得出性質：范圍、對稱性、頂點，利用信息技術探究得出漸近線，類比橢圓的離心率刻畫橢圓的扁平程度，探究雙曲線的離心率刻畫雙曲線的“張口”大小。這樣，結合橢圓與雙曲線的圖形突

出“橢圓”“雙曲線，

”，解決了橢圓與雙曲線的定義、標準

方程、幾何性質的理解掌握。

在探究拋物線的定義時，類比橢圓與雙曲線的定義，讓學生思考：如果動點到定點的距離與到定直線的距離之比為，當時，點的軌跡是什么？[橢圓（圖1）]；當時，點的軌跡是什么？[雙曲線（圖2）]，當時，即動點到定點的距離與到定直線的距離相等時，點的軌跡是什么？從而探究得出拋物線（圖3）的概念。類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，讓學生探究拋物線的標準方程。學生建立坐標系，探究得出（圖3），在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系得到不同形式的標準方程，然后學生變式探究拋物線的標準方程的不同形式填表完成四種情形。在探究拋物線的焦點幾何性質時，類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質的過程與方法，探究得出（圖3）的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率，其他情形的方程變式可得幾何性質。這樣有效構建圓錐曲線的定義，標準方程與幾何性質的良好知識結構，有利于理解掌握圓錐曲線的知識與方法。

二、類比和變式例題、習題、高考題進行探究，有利于運用圓錐曲線知識與方法解決問題，提升學生的數學核心素養

高中數學教材中的例題、習題蘊含著豐富的知識點、思想方法和解題技巧，有些高考數學題來源于例題、習題的改編，為此，教學中讓學生在吃透課本例題與習題的基礎上類比例題與習題，引導學生抓住往年典型的高考題目進行研究，探索題目的條件及其內在聯系，通過對橢圓的例題與習題的類比，探究解決雙曲線與拋物線的例題與習題，通過“條件變式、問題變式、條件與問題變式”等進行探究，運用圓錐曲線知識與方法解決圓錐曲線問題，有利于提升學生的數學核心素養。

1.類比與變式探究解決圓錐曲線的方程、軌跡、離心率問題

問題1：（習題） 如果點在運動過程中，總滿足關系式，

則點的軌跡是什么曲線？寫出它的方程。

啟發學生觀察等式左邊的式子聯想到兩點距離公式，根據橢圓定義得到橢圓。

條件變式1：（2015海南）已知橢圓C：

（>>0）的離心率為，點（2，）在上，

求的方程。

通過條件變式探究，學生抓住離心率公式、

、、的關系聯立方程容易求得結果，體驗成功解高考題的樂趣，掌握橢圓標準方程與性質。求橢圓的標準方程，除直接根據定義外，常用待定系數法。

當橢圓的焦點位置不明確時，可設在解題中更簡便。

在學習求雙曲線、拋物線的標準方程時，類比求橢圓標準方程與離心率的解法，解決雙曲線、拋物線的標準方程與離心率問題。

問題2：、為何值時，方程表示下

列曲線？（1）橢圓；（2）雙曲線。

通過變式探究解決圓錐曲線的定義與方程問題，加深理解掌握圓錐曲線的定義與方程，提升學生數學核心素養。

問題3：（橢圓例題6）動點與定點的距離和到定直線的距離的

比是常數，求動點的軌跡。

解析：如圖4，設是動點到直線的距

離，，得，得

，即，點軌跡是焦點在軸上，長軸10、短軸長6的橢圓。學生感受橢圓的另外一種定義方式。

學習雙曲線時，對問題：（課本125頁例5）動點

與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，求動點的軌跡。引導學生類比橢圓例題6解法。易得點的軌跡是雙曲線（圖5）。通過類比問題發現：比值不同，橢圓的，雙曲線的。

2.類比與變式探究解決圓錐曲線的公共點及弦長、面積、最值問題

問題1：（橢圓例7），已知直線和橢圓：，為何值時直線與橢圓

：（1）有兩個公共點？（2）有且只有一個公共點？（3）沒有公共點？

利用問題讓學生認識：直線與橢圓的公共點個數與方程組解的個數相對應，學生掌握了運用方程研究曲線問題的基本思路與方法。

問題2：（雙曲線例6）過雙曲線的右

焦點，傾斜角為30°的直線交雙曲線于、兩點，求。

問題2解析：由，消去，得

，解得，

得。通過

解方程組確定雙曲線與直線的交點，求出線段長。

或由得，

得

。

條件變式：（2020海南）斜率為的直線過拋物線的焦點，且與C交于，兩點，則____。

通過類比與變式探究，歸納求弦長的方法。聯立方程及根據判別式判斷位置關系，利用韋達定理、弦長公式

或

求出弦長。特別地，拋物線中過焦點的弦長或。通過變式有利于運用圓錐曲線的知識與方法解決弦長、面積、最值問題，提升學生的數學核心素養。

總之，研究橢圓、雙曲線、拋物線的過程和方法是一致的，可以通過巧用類比和變式探究的方法來解決圓錐曲線的問題，讓學生掌握坐標法與數形結合，提升學生直觀想象、抽象概括、邏輯推理、數學運算等素養。

【參考文獻】

[1]章建躍，李增滬.普通高中教科書《數學》選擇性必修第一冊A版[M].北京：人民教育出版社，2020.