無鐵心軸向磁通永磁電機的磁場解析計算

王斗勇,彭 兵

(沈陽工業大學 電氣工程學院, 沈陽 110870)

0 引 言

傳統永磁電機的定子由硅鋼片疊壓而成,由于齒槽的存在,電機在運行時會產生轉矩脈動,運行不穩定。此外,定子鐵心產生的鐵耗占總損耗的20%～30%[1],不僅質量大而且效率低。軸向永磁電機具有結構簡單、質量輕、維修方便、尺寸靈活多樣和無級調速等優點,相對于傳統電機,軸向永磁電機的氣隙為與磁力線垂直的二維平面沿磁力線方向延伸所得到的,可以設計成具有較大功率密度的電機。無鐵心永磁電機沒有鐵心中的鐵耗,效率高,節能效果顯著,在眾多領域都有廣泛的應用前景[2]。

對于永磁電機的磁場計算方法主要有有限元法和解析法[3],有限元法分析磁場更加準確,但是當電機的幾何模型和相關參數發生變化時,都需要重新仿真計算,十分耗時。為了克服這個問題,很多學者提出了用解析方法計算電機磁場,于慎波教授采用了等效磁網絡模型來計算電機的漏磁系數和空載氣隙磁密,其是將電機中的磁路問題轉化為電路問題來進行分析的方法,可以較大提高電機磁場的計算速度。文獻[4]用保角變換法對電機的空載氣隙磁場進行計算,該方法考慮了定子的開槽效應對磁場的影響,并與有限元法進行對比,證明該方法對于分析電機磁場的準確性。文獻[5]通過將永磁體和電樞繞組等效為電流片來計算電機的磁場,將解析結果與二維和三維有限元分析結果繼續比較,其偏差在5%以內,準確性很高。文獻[6]通過建立軸向磁通永磁電機的準三維分析模型,通過求解圓柱坐標系下矢量勢的廣義泊松方程,計算了軸向磁通永磁電機的空載磁場,該方法考慮了磁場的邊緣效應,求解準確性很高。

本文通過建立無鐵心軸向磁通永磁電機的三維多截面解析模型,推導電機的空載氣隙磁密、電樞反應氣隙磁密、空載反電動勢和負載電磁轉矩的建立過程和數學表達式,最后用有限元仿真軟件建立無鐵心軸向磁通永磁電機的三維仿真模型,計算氣隙磁場、空載反電動勢和電磁轉矩,與解析結果相比較,驗證解析模型的可行性。

1 多截面三維建模

通過將電機沿徑向進行多截面處理,可以對軸向磁通電機的磁場計算進行降維處理,提高磁場計算的速度。圖1為將軸向磁通電機進行多截面處理的電機三維圖。多截面如圖1所示,然后將電機沿圓環展開,如圖2所示,軸向磁通電機等效為ng個無邊緣效應的直線電機的組合體,從而實現三維磁場到二維磁場的降維計算。

圖1 無鐵心軸向磁通電機多截面準三維模型

圖2 第i個截面的等效直線電機模型

(1)

式中:Ro和Re分別為電機的外、內徑;ng為截面的選取數量,ng一般為5～6,本文選取ng=5。

電機的主要參數如表1所示。

表1 電機主要參數

2 空載磁場解析計算

為了簡化計算,做如下假設[3]:永磁體的退磁曲線為直線;永磁體均勻充磁,材料各向同性;不考慮邊緣效應。

將電機分為兩個求解域,分別為氣隙區域和永磁體區域,考慮到電機為雙轉子中間定子軸向磁通電機,可以將電機沿軸向分兩部分,只考慮一側轉子計算空載磁場,建立如圖3所示的求解模型。

圖3 空載磁場求解模型

求解域Ⅰ和Ⅱ內磁感應強度B和磁場強度H的關系:

(2)

式中:μ0為真空磁導率;μr為永磁體相對磁導率;M為永磁體剩余磁化強度。

由文獻[4]可知,剩余磁化強度M僅含有軸向分量,在直角坐標系下,剩余磁化強度可用傅里葉級數展開:

(3)

式中:Kn=nπ/p,p為電機極對數。

式中:Br為永磁體剩磁;αp為永磁體極弧系數。

采用矢量磁位A進行求解,其在求解域中滿足拉普拉斯方程:

(4)

磁場強度H和矢量磁位A的關系:

(5)

在求解域Ⅰ和Ⅱ內,采用分離變量法,可求得其通解:

(6)

式中:a1～a4為待定系數。

求解域的邊界條件:

(7)

式中:hm為永磁體厚度;g為氣隙長度。

將式(7)代入式(6),可求得求解域Ⅰ的磁密:

(8)

(9)

求解域Ⅱ內的磁密:

(10)

(11)

式中:L=hm+g/2。

Δ=μrcosh(Knhm)sinh[Kn(L-hm)+sinh(Knhm)cosh[Kn(L-hm)]

電機沿圓周選取1 012個計算點,磁密選取100個奇數次諧波,首先對電機截面1、截面3和截面5且在氣隙軸向中心處的氣隙磁密的軸向分量和周向分量進行計算,其結果如圖4～圖6所示。

圖4 截面1氣隙中心處氣隙磁密波形

圖5 截面3氣隙中心處氣隙磁密波形

圖6 截面5處的氣隙磁密波形

從圖4～圖6和表2可看出,解析法與有限元仿真的s差值較小,電機截面1氣隙處和截面5氣隙處的磁密值均小于截面3氣隙處的磁密值,說明永磁磁場沿徑向氣隙分布的磁密不相等。

表2 解析計算與有限元計算的空載氣隙磁密有效值對比

3 電樞反應磁場解析計算

由于本電機繞組為雙層繞組,所以可建立一側繞組來等效計算電樞反應磁場。將電樞繞組等效為電流片,電流片的長度t1為線圈邊的寬度,電流片沿繞組縱向均勻分布,建立如圖7所示的電樞反應磁場求解模型。

圖7 電樞磁場求解模型

每一片電流片的電流密度J可表示為Nci/(t1j)的磁化強度,Nc為線圈匝數,當電機極對數p=1,每極每相槽數q=1時,每一相每一層電流片所產生的電流密度可表示[8]:

(12)

式中:j為電流片的層數;τ為極距。

通過將每一相每一層電流密度所產生的磁場進行求和,即可得到電機三相電流所產生的電樞反應磁場。

當電流為下式時:

(13)

一相中一層電流片所產生的電流密度波形可表示:

(14)

一相一層電流片的電流密度的基波幅值:

(15)

(16)

式中:ke1為基波電流密度的系數。

當p=1,每極每相有q個線圈時,一相一層電流片的電流密度基波為q個電流密度的基波的疊加,于是,其電流密度基波幅值:

(17)

(18)

式中:kq1為基波電流密度的分布系數;α1為槽距電角。

當電機的極對數p為任意整數時,其一相一層電流片的電流密度的基波幅值:

(19)

式中:a為并聯支路數;Ic為線圈電流;I為每相電流;N為每相串聯匝數。其中:

kN1=ke1kq1

I=aIc

一相一層電流片所產生的第n次諧波電流密度幅值:

(20)

其中:

kNn=kenkqn

一相一層電流片的電流密度的傅里葉級數表達式:

(21)

電機的三相電流:

(22)

于是,三相電機每相每層電流片所產生的n次電流密度:

(23)

其三相每層電流片的合成電流密度:

Jn(t,θ)=JAn+JBn+JCn

(24)

將其在空間上進行傅里葉分解:

(25)

式中:Un2=2nπ/(2τ),邊界條件:

通過將每層電流片數值疊加,可得區域Ⅲ內的由電樞磁場產生的磁場強度:

(26)

(27)

區域Ⅳ內的磁場強度:

(28)

(29)

式中:Yy=Y2-y;j為電流片的層數;

當相電流為9 A時,首先對電機截面1、截面3和截面5,且在氣隙軸向中心處的磁密的軸向分量和周向分量進行計算,其結果如圖8～圖10所示。

從圖8～圖10和表3可看出,解析法與有限元仿真的差值較小。由表3可知,電樞磁場徑向分布的氣隙磁密不相等,因為電樞繞組有端部效應,所以使得靠近繞組端部的磁密更大一點。

圖8 截面1氣隙中心處磁密波形

圖9 截面3氣隙中心處磁密波形

圖10 截面5處的氣隙磁密波形

表3 解析計算與有限元計算的電樞反應氣隙磁密有效值對比

4 空載反電動勢和電磁轉矩的計算

電機第i個截面的線圈反電動勢[9]:

(30)

式中:ψc,i,s,j為第i個截面第s個線圈的第j個電流片處的磁鏈,s=1,2,…Z/(3a)。

(31)

A相繞組的每個截面中的線圈反電動勢:

(32)

A相繞組的反電動勢:

(33)

圖11和表4為用解析方法和有限元仿真求出的A相反電動勢波形及有效值對比。可看出,解析方法求出的反電動勢有效值比有限元結果大,這是由于解析法沒有考慮端部漏磁,使得結果偏大。

圖11 A相繞組反電動勢波形

表4 解析計算與有限元計算的A相反電動勢有效值對比

通過文獻[10]可知,將空載磁密和電樞反應磁密的軸向和周向分量分別疊加代入到麥克斯韋張量方程中,可得電機電磁轉矩表達式:

(34)

式中:BRθ為電機空載磁密的切向分量;BRy為電機的空載磁密的軸向分量;BSθj為第j層電流片所產生的電樞反應磁密的切向分量;BSyj為第j層電流片所產生的電樞反應磁密的軸向分量。

通過將每個截面所產生的電磁轉矩進行疊加,即可得電機電磁轉矩的解析計算結果,如圖12所示。

圖12 電磁轉矩

表5為解析計算與有限元結果的平均值對比。

表5 解析計算與有限元計算的電磁轉矩平均值對比

由圖12、表5可以看出,解析計算結果與有限元波形吻合較好;電磁轉矩的計算精度較高,計算時間較短。

5 結 語

本文對電機進行多截面等效處理,采用解析法計算無鐵心軸向磁通永磁電機的空載磁場、電樞反應磁場、空載反電動勢和電磁轉矩,得出以下結論:

1)對電機進行多截面等效處理后,可將復雜的三維電機等效為多個二維直線電機的組合體,簡化了電機模型;

2)解析法可對無鐵心軸向磁通電機的磁場進行解析計算,提高了電機初始設計的速度;

3)采用解析法計算電機空載反電動勢和電磁轉矩,其誤差小,分別為3.46%和3.856%,驗證了解析法法的準確性。