基于PLS等價權(quán)回歸的系統(tǒng)諧波阻抗計算

錢永亮，唐明淑，陳 波，郭 成，馮 躍

（1. 云南電網(wǎng)有限責任公司文山供電局，云南 文山 663099；2. 昆明理工大學 電力工程學院，昆明 650500）

0 引言

隨著非線性負荷和新型電力電子器件的投入，電力系統(tǒng)的諧波污染問題受到越來越多的重視，諧波源注入系統(tǒng)的諧波電流會降低鄰近饋線用戶的電能質(zhì)量，嚴重時甚至危及電力系統(tǒng)正常運行［1-2］。因此，確定系統(tǒng)諧波超標用戶的獎懲方案十分必要，定量分析用戶諧波發(fā)射水平、明確劃分用戶諧波責任是獎懲方案實施的前提［3-4］。通常通過系統(tǒng)側(cè)和用戶側(cè)在PCC（公共連接點）對諧波電壓的貢獻率來衡量其諧波責任，評估用戶諧波發(fā)射水平的關(guān)鍵是系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗的計算［5-6］。

主導波動量法采用統(tǒng)計學中奈爾系數(shù)檢驗法篩選出用戶主導波動量樣本，修正用戶諧波水平。該方法可消除背景諧波的影響，克服原始波動量方法中只根據(jù)比值符號不能判斷諧波電壓波動的主導側(cè)的缺點，提高計算精度［7-8］。二元線性回歸法通過將PCC 處測得的電壓、電流數(shù)據(jù)進行實部和虛部分離后，構(gòu)造回歸方程，求取系統(tǒng)諧波阻抗。相比于主導波動量法，二元線性回歸法能夠估計出諧波復阻抗中的實部和虛部，缺點是缺乏對奇異值的處理，且背景諧波波動時誤差難以估計［9-10］。

隨機獨立矢量協(xié)方差方法利用概率論中兩隨機矢量協(xié)方差為零的性質(zhì)，近似認為PCC 處的電流與背景諧波電壓無關(guān)，削弱了背景諧波電壓的影響。但是隨著系統(tǒng)諧波發(fā)射水平的提高，計算誤差增大，僅在一定的系統(tǒng)諧波發(fā)射水平范圍內(nèi)具有較好的準確度［11-15］。基于LS（最小二乘法）等價權(quán)的回歸法，以LS 初值進行迭代。LS 屬于平方逼近，當存在異常值時，為了遷就異常值，使得回歸方程偏差變大，無法克服異常值的影響，數(shù)據(jù)處理上會帶來誤差［16］。

獨立分量法［17］是最近幾年發(fā)展起來的一種盲源分離算法，利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)的獨立性將原有信號進行分解，得到獨立分量，利用LS 求解回歸系數(shù)，得到待求量，但數(shù)據(jù)微弱相關(guān)性的影響不可忽略，計算準確度不夠理想。

PLS（偏最小二乘法）利用PCC 處測量得到的諧波電壓和諧波電流數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行分解篩選，提取對因變量解釋性能最強的綜合變量，有效辨識信號中的噪聲和信息，克服了由于建模變量具有相關(guān)性而導致回歸結(jié)果存在誤差的缺點，但其未考慮測量數(shù)據(jù)中存在較大誤差或存在異常值的影響［13］。文獻［14］提出的改進PLS，克服了常規(guī)PLS 無法有效提取對因變量解釋能力最強綜合變量的缺點，提升了諧波阻抗計算和諧波發(fā)射水平估算的準確性，但其仍未考慮異常值的影響。文獻［15］提出的基于三點篩選與PLS的算法，以三點為一組數(shù)據(jù)建立方程，利用判別式篩選出背景諧波電壓穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，然后采用PLS 估計系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗，減小了背景諧波電壓波動的影響，提高了估算精度，但該方法對異常數(shù)據(jù)的剔除能力有限。

本文提出的基于PLS 初值等價權(quán)穩(wěn)健回歸的系統(tǒng)諧波阻抗計算方法，通過對PCC 處測量得到的諧波電壓、電流數(shù)據(jù)進行分解篩選，提取自變量和因變量相關(guān)性最強的變量來建立回歸方程，求解得到背景諧波電壓和系統(tǒng)諧波阻抗，利用該解向量作為回歸估計的初值解，再根據(jù)等價權(quán)法進行迭代計算［18-22］，克服了異常值對回歸結(jié)果準確性的影響。

1 PLS等價權(quán)回歸法

1.1 PLS回歸

以m個自變量x1，x2，…，xm和p個因變量建模為例，先提取自變量集第一成分t1及因變量集第一成分u1，需要使t1和u1相關(guān)程度最大；然后，建立因變量y1，y2，…，yp與t1的回歸方程，如果以t1建立的回歸方程達到精度要求，則停止提取主成分，否則繼續(xù)提取第二成分，如果最終提取了r個成分，PLS將建立y1，y2，…，yp與自變量t1，t2，…，tr的回歸方程，進而再表示為因變量y1，y2，…，yp與自變量X的回歸方程。

記F0為因變量Y的標準化矩陣，E0為自變量X的標準化矩陣，提取兩組變量的第一主成分t1、u1，需要使得t1和u1盡可能多地提取變量組的變異信息，且t1和u1相關(guān)程度最大，Cov(t1，u1)可以轉(zhuǎn)換為得分向量和的內(nèi)積來計算，得分向量。PLS 的目標函數(shù)，需要找到該目標函數(shù)G的最大值。

利用拉格朗日乘數(shù)法，將問題簡化為求解單位向量w1和s1，使。問題的求解只需計算矩陣M=ET0F0FT0F0的特征值和特征向量。M的最大特征值為θ21，對應(yīng)的特征向量就是w1，因此s1=(1/θ1)FT0E0w1。

回歸模型為：

式中：E1和F1為殘差矩陣；α1和β1為回歸系數(shù)。

回歸系數(shù)α1和β1的表達式分別為：

用殘差矩陣E1和F1代替E0和F0，重復上述步驟，通過交叉有效性校驗，當模型達到精度要求時，即停止提取成分。

1.2 交叉有效性校驗

建立回歸方程時并不需要用到PLS提取的r個成分，與主成分分析建模問題類似，只利用前s個成分（s＜r）就可以建立回歸性能良好的偏最小回歸模型。對于建模所需使用的前s個主成分，可通過交叉有效性原理確定。

每次舍去第i個觀測值（i=1，2，…，n），用剩下的n-1 個觀測值建立模型，且抽取h個成分后擬合回歸式；然后，把舍去的第i個觀測值代入所擬合的回歸方程式，得到y(tǒng)j（j=1，2，…，p）在i點的預測值。對于i=1，2，…，n重復上述操作，可得到抽取h個成分時第j個變量（j=1，2，…，p）的預測誤差平方和PRESS，j(h)及Y=[y1，y2，…，yp]T的預測誤差平方和PRESS，j(h)：

再利用全部的觀測數(shù)據(jù)，擬合以h個主成分為對象的回歸方程，記i點的預測值為，定義yj的組內(nèi)方和Sj(h)和Y的誤差平方和S(h)如下：

當PRESS(h)達到最小值時，此時的h即為s個成分中提取的擬合主成分，通常PRESS(h) ＞S(h)，而S(h) ＜S(h-1)，故成分驗證時，希望比值PRESS(h)/S(h-1)趨近與零，通常設(shè)置限值為0.05， 即 當PRESS(h)/S(h-1)≤(1-0.05)2=0.952時，增加成分th可以提高模型精度。

定義交叉有效性為：

在下一次建模開始之前，均進行交叉有效性校驗，第h步時若Q2h＜1-0.952=0.097 5，則說明模型達到精度要求，可停止提取成分；若Qh≥0.097 5，則表示第h步提取的th成分不滿足要求，須繼續(xù)提取成分。

1.3 等價權(quán)

設(shè)有相互獨立的觀測樣本{li}和觀測權(quán)重{pi}（i=1，2，…，n），LS準則為：

式中：f為目標函數(shù)；pi為第i點觀測樣本權(quán)重；vi為第i點觀測值殘差向量。

穩(wěn)健估計的平方準則為：

式中：ρ(vi)為第i點殘差向量的權(quán)函數(shù)。

若ai為A中第i個行向量（A為vi的微分矩陣），則有：

式中：B為系數(shù)矩陣；為等價權(quán)矩陣；為樣本的改正數(shù)向量；l為自由項。

權(quán)函數(shù)與觀測權(quán)重的乘積Pˉ為等價權(quán)，權(quán)函數(shù)選取是等價權(quán)迭代的關(guān)鍵，它直接決定了抗差性的大小。等價權(quán)函數(shù)的設(shè)計目標是抗差估計，函數(shù)通常包含正常段、可疑段和淘汰段。正常段應(yīng)該保持原始權(quán)重不變；可疑段在不確定觀測值是否受到污染的情況下，需要降低原始權(quán)的權(quán)重；淘汰段觀測值明確受到污染，需要使權(quán)重降為零，從而消除異常值的影響。

1.4 PLS等價權(quán)回歸步驟

將PLS得到的回歸系數(shù)作為回歸估計的初值，再依據(jù)等價權(quán)函數(shù)進行迭代計算。選取使用較為廣泛的IGGΙΙΙ（抗差權(quán)因子函數(shù)）方案，相關(guān)等價權(quán)函數(shù)Pi為：

式中：k0取值范圍在1.0～1.5；k1取值范圍在2.5～3.0；δbi為樣本bi的單位權(quán)重誤差；δ為由中位數(shù)計算的單位權(quán)重誤差。基于PLS等價權(quán)回歸法的具體計算步驟如下：步驟1：提取標準化矩陣主成分進行偏回歸計算。

步驟2：根據(jù)收斂結(jié)果，得到系統(tǒng)阻抗初始估計值。

步驟3：利用IGGΙΙΙ 方案計算等價權(quán)函數(shù)Pi，得到初始權(quán)重，并對初始估計值施加權(quán)重得到二次估計值。

步驟4：用步驟3 中的二次估計值代替步驟2中的估計值，得到新的單位權(quán)重和殘差。

步驟5：返回步驟3，計算新的等價權(quán)函數(shù)及估計值，繼續(xù)進行迭代回歸計算，當某一次估計值Fi與上一次估計值Fi-1絕對值的差小于給定的誤差ε時，結(jié)束迭代過程，輸出最終結(jié)果。

1.5 LS和PLS的比較

LS須使得實際輸出值與測試輸出的平方之和最小，雖然可以用于曲線擬合，但由于異常值的存在，勢必導致擬合方程為遷就異常值而出現(xiàn)偏差。基于改進的加權(quán)LS 可以減輕異常值的影響，提高擬合數(shù)據(jù)準確度。

PLS 可以克服變量共線性的影響，且當樣本點個數(shù)少于變量個數(shù)時，依然可以進行回歸建模。由于PLS 回歸在主成分建模之前就對數(shù)據(jù)進行了標準化，因此可以從二維視角研究多維數(shù)據(jù)特性，建立樣本間的復雜相關(guān)關(guān)系。因為PLS 并沒有直接對自變量進行回歸建模，而是先提取對自變量解釋性能最強的變量來建立回歸模型，因此可以認為PLS集合了多元線性回歸、典型相關(guān)性分析、主成分分析三者的優(yōu)點。

2 基于PLS等價權(quán)回歸法的諧波阻抗估算

圖1 系統(tǒng)和用戶等效電路Fig.1 Equivalent circuits of the system and user

根據(jù)圖1可以列出如下方程：

將式（16）按實部、虛部展開，可得：

式中：Us，h，x和Us，h，y分別為系統(tǒng)側(cè)等值h次諧波電壓實部和虛部；Upcc，h，x和Upcc，h，y分別為h次諧波在PCC 處的電壓實部和虛部；Ipcc，h，x和Ipcc，h，y分別為PCC 電流實部和虛部；Zs，h，x和Zs，h，y分別為系統(tǒng)側(cè)阻抗實部和虛部。

根據(jù)上述回歸方程將PCC 處電壓、電流數(shù)據(jù)經(jīng)PLS 計算得到回歸系數(shù)Us，h，x、Us，h，y、Zs，h，x、Zs，h，y。從式（17）和式（18）可以看出，一組數(shù)據(jù)可以得到兩個諧波阻抗，通過回歸系數(shù)可以計算得到系統(tǒng)諧波阻抗平均值Z?s，h（n=2）和系統(tǒng)側(cè)背景諧波平均值Us，h：

計及用戶側(cè)諧波阻抗遠大于系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗，則用戶側(cè)諧波發(fā)射水平為：

基于PLS 等價權(quán)計算系統(tǒng)諧波阻抗流程如圖2所示。

圖2 PLS等價權(quán)計算諧波阻抗流程Fig.2 Flow chart of harmonic impedance calculation using partial least squares equivalent weight

3 仿真分析

2）用戶側(cè)等值諧波阻抗服從高斯分布，均值為53+j315 Ω，其中實部加上22.0%的標準偏差，虛部加上9.5%的標準偏差。

3）系統(tǒng)側(cè)等值諧波阻抗服從高斯分布，均值為5+j25 Ω，其中實部加上3.5%的標準偏差，虛部加上4.5%標準偏差。

在PCC 處采集諧波電壓值和諧波電流值樣本（共計1 440個）進行分析。為了模擬系統(tǒng)中奇異值對計算結(jié)果的影響，令諧波電壓采樣值在（300，500，800，1 000，1 200）處產(chǎn)生異常值，每60組數(shù)據(jù)進行一次計算，共得到1 381組計算結(jié)果。

分別采用PLS、LS初值等價權(quán)和PLS等價權(quán)回歸法進行計算，得到3組不同的結(jié)果。

由圖3可知，PCC處3次諧波電流幅值無異常波動，以19.2 A為均值，均勻分布；而PCC處3次諧波電壓幅值分別在（300，500，800，1 000，1 200）點處存在異常，是設(shè)置用來檢驗本文所提方法面對異常值時的穩(wěn)健性。

圖3 PCC處3次諧波電壓、電流幅值Fig.3 Amplitudes of 3-order harmonic voltage and 3-order harmonic current at PCC

由圖4可以看出，3種方法在諧波電壓無異常波動時，都具有較好的擬合度，PLS 并未對異常值進行處理，異常值參與了建模過程。從圖中可以明顯看出，異常點附近計算值波動較大，嚴重失真，計算結(jié)果穩(wěn)健性較差，而LS初值等價權(quán)法通過加權(quán)處理對正常數(shù)據(jù)施加原始權(quán)重，對可疑數(shù)據(jù)進行了降權(quán)處理，將淘汰數(shù)據(jù)權(quán)重降為零，相當于剔除了淘汰數(shù)據(jù)。因此，增強了結(jié)果的穩(wěn)健性，相比于PLS 回歸穩(wěn)健性有所改善，但可疑數(shù)據(jù)的存在依然使得回歸結(jié)果存在較大誤差。

圖4 3種方法所得諧波電壓阻抗結(jié)果Fig.4 Harmonic voltage impedance results obtained through three analysis methods

PLS 等價權(quán)法通過提取對因變量解釋性最強的綜合變量，有效辨別噪聲，克服了變量間相關(guān)性的影響，再將計算結(jié)果作為等價權(quán)迭代的初值，對波動較大點處施加較小的權(quán)重，故異常點處無明顯波動，其穩(wěn)健性明顯好于其他兩種方法。將圖4中3種方法計算值求平均，得到計算值與理論值的誤差，結(jié)果如表1和表2所示。

表1 系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗均值Table 1 Mean values of harmonic impedance on system side

表2 系統(tǒng)側(cè)諧波電壓均值Table 2 Mean values of harmonic voltage on system side

由表1、表2和圖4可知：受異常值影響，PLS在建模過程中因變量與得分向量回歸方程出現(xiàn)偏差，導致系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗及諧波電壓計算結(jié)果偏移較大；LS初值等價權(quán)法由于使用了權(quán)函數(shù)，抗差性得到提高；基于PLS 等價權(quán)法的計算結(jié)果最貼近參考值，計算精度較高，諧波發(fā)射水平的確定也越準確。依據(jù)上述用戶側(cè)諧波發(fā)射水平計算方法，最終得到用戶側(cè)在PCC 處的諧波電壓貢獻為318.49 V。

4 結(jié)語

1）本文提出基于PLS 等價權(quán)回歸的系統(tǒng)諧波阻抗計算方法，經(jīng)PLS 計算得到初值，再經(jīng)等價權(quán)迭代計算系統(tǒng)諧波阻抗，仿真結(jié)果驗證了所提方法的有效性。

2）PLS 等價權(quán)法能夠更好地消除噪聲，解決變量相關(guān)性建模帶來的誤差，克服了對異常值敏感的缺點，與PLS和LS初值等價權(quán)法相比，所提方法更為精確。

3）采用的等價權(quán)函數(shù)對不同的初始值附加對應(yīng)的權(quán)重，當殘差達到收斂要求時停止迭代，輸出計算結(jié)果，故抗差性較好。

4）本文所提諧波阻抗的計算是基于系統(tǒng)側(cè)諧波阻抗保持不變的前提，但隨著系統(tǒng)運行狀態(tài)的改變、電容器的投切、系統(tǒng)運行方式的變化，系統(tǒng)諧波阻抗在一段時間內(nèi)會發(fā)生變化，未來的研究應(yīng)該考慮該影響。