數(shù)學建模助力哈爾濱工業(yè)大學化工專業(yè)“新工科”建設

胡興誠，周欣，徐平

哈爾濱工業(yè)大學化工與化學學院，哈爾濱 150001

1 “新工科”背景下推動學科交叉融合的重要性

高等工程教育在我國高等教育中占有重要的地位。深化工程教育改革、建設工程教育強國、加快工程教育改革創(chuàng)新，對服務和支撐我國經(jīng)濟轉型升級有重大意義[1]。2017年2月，教育部召開高等工程教育發(fā)展戰(zhàn)略研討會并深入探討了“新工科”的內涵特征與建設路徑，針對新型工程領域科技人才的快速培養(yǎng)，推出高校“新工科”教學改革計劃。“新工科”教改要深刻把握三個要點：新專業(yè)、專業(yè)的新要求、交叉融合再出新[2]。與新專業(yè)相比，傳統(tǒng)工科專業(yè)需要在專業(yè)改革上增加深入的思考和實際的行動。哈爾濱工業(yè)大學(以下簡稱“哈工大”)化工學科成立于20世紀30年代，具有悠久的歷史和豐富的學術成果。為了滿足未來產(chǎn)業(yè)需求，加快培養(yǎng)新興領域工程科技人才，專業(yè)培養(yǎng)模式的轉型和升級是必要的。針對“新工科”背景下交叉融合再出新的要點，筆者以哈工大化工專業(yè)“新工科”建設為例，通過具體的案例介紹如何將數(shù)學建模與化工專業(yè)交叉融合，探索培養(yǎng)學生的新機制及推進“新工科”發(fā)展的有效方法。

2 數(shù)學建模與化工學科的交叉融合再出新

數(shù)學建模是利用數(shù)學語言對實際問題予以定性或者定量描述的過程，是將復雜問題抽象化、簡單化的過程。參加數(shù)學建模競賽能拓展大學生的科研視野，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識，極大地提升大學生的綜合素質。同時，數(shù)學建模競賽作為一座連通數(shù)學與其他多門學科的橋梁，其選題一般源自科學和工程技術、人文和社會科學等領域經(jīng)適當簡化處理后的實際問題，具有很強的靈活性與應用性。學生通過對競賽問題的討論和分析，搜集資料，提出經(jīng)得起實踐檢驗的新觀點、新思路、新方案來解決實際問題，是培養(yǎng)大學生創(chuàng)新意識的重要途經(jīng)[3,4]。這類競賽一般要求參賽者根據(jù)題目的要求，完成一篇涵蓋模型的假設，模型的建立與求解，模型的分析與檢驗，模型的評價、改進和推廣等內容的論文，參賽過程幾乎模擬了科學研究的一般過程，可以促進大學生分析解決問題的能力和抽象化思維，對培養(yǎng)大學生知識的融會貫通能力、計算機軟件的綜合應用能力、專業(yè)論文的撰寫能力、團隊協(xié)作和交流能力有重要的意義。要想把化工專業(yè)學懂、學透，就必不可少需要掌握數(shù)學建模的知識，尤其是數(shù)學建模中涉及的極限思想、發(fā)散思想與類比思想的綜合應用，對化學相關專業(yè)的學習大有益處[5,6]。

掌握一定數(shù)學建模的基礎，有利于深化對化學專業(yè)理論知識的消化和應用理解。在物理化學課程中學習與吸附熱力學相關的內容時，會涉及根據(jù)吸附等溫線曲線判斷吸附類型(Langmuir吸附、Freundlich吸附、Temkin吸附等)，從而推測吸附的機理(化學吸附、物理吸附)。然而，在實際的科研工作中，由吸附熱力學的實驗得到的往往是非連續(xù)的數(shù)據(jù)點。比如，尋找具有高穩(wěn)定性、動力學快、安全性高且成本低的儲氫材料是氫氧火箭發(fā)動機研發(fā)的重點問題。而在測試不同材料吸附氫及儲存氫的過程中，吸附曲線的繪制是不可避免的，要想繪制出吸附曲線并預測其吸附性質，必須對數(shù)據(jù)進行擬合。擬合算法就是一種重要的數(shù)學模型，其核心思想是建立一系列數(shù)學關系明確、形式簡潔的曲線，從而對原本復雜的問題予以簡化的描述，但是并不要求擬合曲線經(jīng)過每一個樣本點，只需保證誤差足夠小即可。如Sun等[7]在研究KOH改性的生物質碳吸附劑對重金屬Cd2+的吸附時，對于不同吸附劑濃度下的平衡吸附量數(shù)據(jù)分別進行了Langmuir擬合與Freundlich擬合，而要想判斷吸附類型，則需要考察擬合曲線的R2值。R2值越高，說明擬合效果越好，從而推測該吸附的吸附機理。可見，即使是教材結論的最基本應用也會涉及線性擬合這種數(shù)學建模最常使用的手段，而線性擬合是機器學習的一種基本預測模型。

掌握一定數(shù)學建模的基礎，有利于運用數(shù)學思想解決化工與化學的問題。例如，C4烯烴作為一種重要的化工原料被廣泛應用于化工產(chǎn)品及醫(yī)藥生產(chǎn)。2021年全國大學生數(shù)學建模競賽B題以乙醇偶合制備C4烯烴為背景，要求通過對催化劑組合(即：Co負載量、Co/SiO2和羥基磷灰石(HAP)裝料比、乙醇濃度的組合)進行設計，結合溫度對C4烯烴的選擇性與收率的影響，探索乙醇偶合制備C4烯烴的最佳工藝條件。該類型實驗通常出現(xiàn)在本科畢業(yè)論文中，因其考慮的變量較多，學生通常需要2-3個月的時間才能完成相關實驗，通過有限的數(shù)據(jù)得到定性的結論。但是這種結論主觀性比較強且沒有充實的數(shù)據(jù)，其結論往往不能橫向或縱向推廣，借鑒意義不大。但是如果利用數(shù)學建模手段，建立機器學習模型，我們可在大量實驗結果基礎上，得出C4烯烴選擇性、乙醇轉化率分別與溫度、Co/SiO2和HAP的裝料比、Co負載量以及乙醇進料濃度等因素的定量關系。這些定量數(shù)據(jù)要比單純通過少數(shù)實驗結果總結出的定性結論更可靠，其結論也更容易向其他反應進行擴展。又例如，數(shù)學建模可用于描述精餾塔中進料熱狀態(tài)、回流比、操作壓力等參數(shù)對能耗的影響，明確各變量的權重，從而優(yōu)化化工生產(chǎn)設計。在優(yōu)化設計過程中，通常需要考慮以下步驟：(1) 建立熱平衡、傳質平衡數(shù)學模型；(2) 以能耗、生產(chǎn)效率為目標函數(shù)對變量進行多元回歸分析；(3) 計算各變量的敏感度指數(shù)，確定權重；(4) 對目標函數(shù)求解優(yōu)化；(5) 實驗與驗證。Li等[8]提出了采用多元遺傳算法對萃取精餾分離乙酸乙酯/乙醇/丁酮共沸混合物工藝的經(jīng)濟成本和氣體排放指數(shù)進行了優(yōu)化，并以操作壓力和夾帶劑流量作為變量。其優(yōu)化改進結果與原工藝相比，氣體排放成本和運行成本分別降低了20.94%和10.06%，火用效率提高了8.16%，并通過比較系統(tǒng)中不同控制結構在擾動作用下的能量消耗，發(fā)現(xiàn)CS2結構能耗低于CS1結構。由此可見，合理利用數(shù)學建模，可以在一定程度上指導化工、化學實驗中的數(shù)據(jù)分析，為科研提供一種新的思路。

綜上所述，數(shù)學建模是一種將數(shù)學方法與技巧應用于解決復雜的實際問題的過程。對于化工專業(yè)的學生而言，通過學習數(shù)學建模可以幫助理解、分析和優(yōu)化化工生產(chǎn)過程、培養(yǎng)創(chuàng)新和工程實踐能力、提高學術研究的技能水平以及促進跨學科知識的交叉應用。

3 哈工大化工與化學學院在數(shù)學建模與化工專業(yè)融合中的探索

利用數(shù)學建模手段解決問題需要大量的實驗數(shù)據(jù)。但是普通的實驗得不到如此多的實驗數(shù)據(jù)，因此開展教改實驗，是化工專業(yè)實現(xiàn)數(shù)學建模與化學交叉融合的工作重點。在傳統(tǒng)的本科生有機化學實驗中，如重結晶提純苯甲酸和樟腦、阿司匹林的合成、環(huán)己酮的制備等實驗，甚至研究生在做一些合成催化劑的高級實驗時，其合成條件及產(chǎn)物都是有明確結論的。在實踐教學過程中，大多數(shù)實驗局限于驗證功能，沒有給予學生發(fā)揮主觀能動性的機會，這樣的實驗只能促進實驗技能的提升，和真正的科研相差甚遠，從而難以實現(xiàn)創(chuàng)新能力和工程實踐能力的培養(yǎng)。

改進實驗，可以嘗試讓一個年級的學生同時做一個實驗，通過改變初始條件獲得實驗變量和產(chǎn)率以及效率的關系，然后通過數(shù)學建模的知識，提出合理的假設，建立適當?shù)臄?shù)學模型予以描述，利用機器學習方法進行擬合，從而預測哪些特征變量可以對實驗結果以及材料性質有明顯的作用，得到新的實驗描述符，讓學生從“知道如何做一個實驗”變?yōu)椤爸廊绾巫稣嬲膶嶒灐薄?/p>

當然，在分析實驗結果之前，學生需要提前學習和數(shù)學建模有關的知識。哈工大化工與化學學院為了支持學生利用數(shù)學建模手段解決科學問題，在本科階段開設了“化學中的機器學習”課程和“機器學習虛擬仿真”實驗，這些課程以Python語言為基礎，向學生介紹了當今最流行的機器學習基礎知識和應用，通過代碼實現(xiàn)數(shù)學分析，以及通過數(shù)據(jù)為實驗結果提供預測和定量結論。而在利用數(shù)學建模得到相應結論后，引導學生運用經(jīng)典理論對求解結果進行合理的解釋，從而加強后續(xù)的分析能力。例如：在化工生產(chǎn)設計優(yōu)化中建立的傳質平衡模型，后續(xù)要利用質量守恒原理和傳質動力學理論進行相應的解釋和驗證。另外，學院還在每年7月份暑期組織對數(shù)學建模感興趣的同學成立建模小組，幫助學生了解數(shù)學建模競賽的全過程，讓同學了解數(shù)學建模并知道如何用數(shù)學建模知識應用在化工基礎實驗中。實驗改革過程不是一朝一夕能完成的，需要學院從大局出發(fā)，整合學院教學資源，才能讓學生在進入科研工作之前掌握真正的本領。

4 從競賽參賽實例分析學科交叉融合的具體實施

工欲善其事，必先利其器。化學實驗是化工專業(yè)學生的必備專業(yè)技能，但是在得到數(shù)據(jù)之后如何建立合理的數(shù)學模型則需要進行專業(yè)的培訓以及參加競賽才可以得到相應能力的鍛煉。數(shù)學建模競賽是一種非常好的以賽代練掌握數(shù)學建模手段的方法，下面作者以帶隊參加2022年全國數(shù)學建模競賽為例介紹如何參加比賽以及賽前需要做哪些準備和需要什么樣的知識儲備。

全國大學生數(shù)學建模競賽采取通訊競賽方式，在競賽題目發(fā)布后，需在76小時內向競賽組委會提交一份包含問題分析、模型假設、模型的建立與求解、模型的分析與檢驗、模型的改進與推廣等板塊的論文作為評閱依據(jù)。整個競賽可以分為賽前準備階段、競賽答題階段、賽后總結階段。下面筆者將結合2022年全國大學生數(shù)學建模競賽的參賽實例闡述數(shù)學建模如何與化工交叉融合。

4.1 賽前準備階段

團隊在賽前需要進行充分的溝通與交流，相互了解彼此的優(yōu)勢，以盡快明確分工，例如隊長A負責數(shù)學建模、隊員B負責計算機編程、隊員C負責論文寫作。在確定各自分工后，就需要展開關于數(shù)學建模理論、數(shù)學建模軟件和論文寫作技巧的學習。

數(shù)學基礎是化工專業(yè)的基石，在化工實踐探索中涉及的各種工藝計算和數(shù)據(jù)處理，例如各種熱量、物料衡算、動力學模擬、擴散傳質機制的模擬等都離不開數(shù)學基礎，因此數(shù)學基礎對化工起著重要支撐作用，這在以往文獻中也有報道[9,10]。參加數(shù)學建模競賽通常需要學生掌握的數(shù)學基礎主要包括：微積分、線性代數(shù)以及概率論和數(shù)理統(tǒng)計。數(shù)學建模理論主要包括評價類模型如層次分析法、TOPSIS法等；預測類模型包括如時間序列分析、灰色預測、擬合算法等；分類模型包括如Logistic回歸、Fischer判別分析等；此外還有方程模型、規(guī)劃模型、運籌類模型等等。在“互聯(lián)網(wǎng)+”和大數(shù)據(jù)時代下，團隊可充分利用在線優(yōu)質教育資源展開學習，例如：大學生慕課、bilibili網(wǎng)站等。在利用數(shù)學建模對問題進行求解時，可以從以下幾個方面來評價所選方法的合理性，包括模型的可靠性、精度、簡易程度以及可擴展性，以確保所建立的模型能夠準確描述所要解決的實際問題，并且易于實現(xiàn)和使用。

在數(shù)學模型建立之后，就需要借助現(xiàn)代計算機技術對模型進行求解，因而學習使用數(shù)學及相關的計算機軟件，培養(yǎng)計算機軟件的綜合應用能力是必不可少的。例如：常用的編譯類軟件：Python、C++、Java等；求解多元線性回歸、聚類算法、時間序列分析等模型時常用的統(tǒng)計分析類軟件：Stata、SPSS、SAS等；求解微分方程、灰色關聯(lián)分析等模型時常用的數(shù)值計算類軟件：Mathematica、Matlab、Mathtool等；求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等模型常用的數(shù)值規(guī)劃類軟件：Lindo、Lingo等。另外，在論文寫作的過程中，涉及到數(shù)據(jù)的可視化操作時，除了采用Python、Matlab等編程軟件進行圖像繪制，還可能用到專業(yè)的繪圖軟件如Origin、Visio等。值得注意的是，在教研工作中，需要讓學生明確各類軟件的局限性，合理選擇軟件進行求解。比如，SPSS軟件作為一種常用的統(tǒng)計分析工具，在解決化工生產(chǎn)問題中存在其局限性。例如：面對大規(guī)模的數(shù)據(jù)分析問題時，需要對數(shù)據(jù)的準確性和完整性進行評估，如果不對數(shù)據(jù)進行預處理，使數(shù)據(jù)存在缺失或誤差，會影響最終求解結果的準確性。

關于論文寫作技巧主要是學習文獻檢索方法、明確寫作格式、積累寫作模板。數(shù)學建模競賽的論文即答卷，是競賽評定成績的唯一依據(jù)，是競賽活動成果的集中表現(xiàn)。因此，競賽論文寫作是對專業(yè)論文撰寫能力的考驗，可促進大學生文獻檢索及綜述能力的發(fā)展[11]。面對復雜的實際問題，參賽隊伍僅有76小時的時間作答，因此前期需要進行大量的文獻檢索，參考已有研究從而為問題的解決提供思路和方向。在競賽過程中，不僅要會熟練地檢索中文數(shù)據(jù)庫如CNKI、萬方等，而且要學會檢索英文數(shù)據(jù)庫如Web of Science、Elsevier Science、EI工程索引等，并對文獻進行整理、綜述，提煉出可以對本項研究起到支撐作用的要點。此外，由于文字表述清晰程度以及寫作格式都將納入閱卷評分的范圍，所以賽前關于競賽論文撰寫的培訓也潛移默化地增強了科研論文的寫作規(guī)范意識。因此，競賽論文寫作，是科技論文寫作不可多得的前期訓練，能使得撰寫專業(yè)論文的能力得到有效提升。

4.2 競賽答題階段

賽題公布后，隊長首先組織隊員針對每道題目進行問題的初步分析，以及相應的資料查詢，討論解題思路，綜合評估每道題目的難度和解決方案的可行性，最終選擇了C題——古代玻璃制品的成分分析與鑒別。題目的背景是基于古代玻璃制品的化學成分分析與類型鑒別，要求團隊根據(jù)已提供的文物分類信息和相應的主要化學成分所占百分比，分析不同類型的文物表面化學成分分布的規(guī)律以及對未知類型的文物進行鑒定。該題目屬于考古學領域的文物化學成分分析與鑒定的問題，與化學專業(yè)息息相關，為化工與化學專業(yè)的學生提供了廣闊的創(chuàng)新空間。

例如，問題一要求對這些玻璃文物的表面是否風化與其玻璃類型(高鉀、鉛鋇)、紋飾(A，B，C)和顏色(藍綠、淺藍等9種顏色)的關系進行分析，由于因變量和自變量均為無序定性變量，因此考慮使用χ2檢驗。根據(jù)因變量、自變量類別的個數(shù)、樣本容量以及期望頻數(shù)格子分布等因素，通過Python計算χ2檢驗統(tǒng)計量的過程值可知，對于建立表面風化-紋飾、表面風化-顏色相關性分析的χ2檢驗應采用Pearson卡方值，而對于建立表面風化-玻璃類型相關性分析的χ2檢驗應采用Yates校正卡方值，計算得出三者對應的p值分別為0.083888、0.50665、0.011328，說明紋飾和顏色對于文物表面是否風化沒有顯著性影響，而玻璃類型對于文物表面是否風化存在顯著性影響，即文物表面的風化情況對于不同玻璃類型有顯著差異性。通過繪制表面風化與玻璃類型的交叉圖，如圖1所示，可知鉛鋇玻璃中表面風化的比例為70%，高鉀玻璃中表面風化比例為33.3%，前者明顯高于后者，也定量說明了與高鉀型相比，鉛鋇型玻璃更容易發(fā)生表面風化。

圖1 表面風化與玻璃類型的交叉圖

又例如，問題二要求依據(jù)附件數(shù)據(jù)分析高鉀玻璃、鉛鋇玻璃的分類規(guī)律，對于每個類別選擇合適的化學成分對其進行亞類劃分，根據(jù)“物以類聚”的基本思想，可建立系統(tǒng)聚類模型，其流程是：采用組間平均連接法，使用歐式平方距離測量樣本之間的距離，繪制出相應的聚類譜系圖，但是根據(jù)譜系圖直接確定聚類數(shù)量具有一定的主觀性，會使得模型解釋力下降，因此可根據(jù)肘部法則，計算各個類畸變程度之和，進而求出所有類的畸變程度(即聚合系數(shù)J)，并通過聚合系數(shù)折線圖可大致估計出最優(yōu)的聚類類別數(shù)，依此對模型進行優(yōu)化。

在求解模型時，利用SPSS軟件對高鉀型玻璃建立系統(tǒng)聚類模型，其生成聚類譜系如圖2所示。從譜系圖紅線標注的位置可以看出，若類間平均距離越小，各個樣本的獨立性越強，其越難進行分類，故聚類類別個數(shù)越多；相反，若類間平均距離越大，則涵蓋樣本數(shù)越多，其聚類類別個數(shù)越少。顯然，距離過大或過小都不是期望得到的結果，且人為選定距離進行類別劃分存在一定主觀性，會使得聚類模型解釋力下降，因此我們將SPSS軟件中計算得到的各類聚合系數(shù)J值進行數(shù)據(jù)處理后，繪制出聚合系數(shù)折線圖，如圖3所示。

圖2 聚類譜系圖

圖3 聚合系數(shù)折線圖

從圖3中可以看出，K值從1到3時，畸變程度變化最大。超過3以后，畸變程度變化顯著降低，折線的下降趨勢趨向平緩，因此可認為肘部就是K= 3，故可將高鉀玻璃的亞分類的類別數(shù)設定為3，其劃分結果如表1所示。

表1 高鉀玻璃亞類劃分

結合各采樣點處化學成分含量的描述性統(tǒng)計結果和該點是否發(fā)生風化，可歸納出亞類劃分的方法如表2所示。

表2 高鉀玻璃亞類劃分依據(jù)

因此，利用相同的策略也可以解決鉛鋇型玻璃的亞類劃分問題。

4.3 賽后總結階段

由于比賽時間緊湊，參賽者的能力也有限，在答題過程中難免會出現(xiàn)考慮不周全的情況，比如有的團隊理解題意不足，沒有抓住和解決主要矛盾，導致?lián)熘ヂ閬G西瓜；有的團隊對于某個子問題建立的模型不夠準確，導致求解結果誤差大，牽一發(fā)而動全身；有的團隊由于時間匆忙，求解模型之后沒有對模型進行靈敏度分析和穩(wěn)定性檢驗，顧頭而不顧尾；有的團隊甚至沒有按時完成賽題，寥寥數(shù)筆就草草收尾。因此團隊在賽后應該積極開展針對競賽全過程的復盤與反思，閱讀當屆優(yōu)秀獲獎論文并與自己隊伍的參賽作品進行對比，找差距、找短板，這樣積累了比賽經(jīng)驗，更有益于下次參加數(shù)學建模競賽時的發(fā)揮與表現(xiàn)，類似的競賽還有美國大學生數(shù)學建模競賽(MCM/ICM)、“深圳杯”數(shù)學建模競賽、東三省數(shù)學建模競賽等。本次比賽，作者帶的隊伍獲得了兩項全國數(shù)學建模競賽黑龍江省賽區(qū)一等獎。參加比賽的過程是緊張的，但是比賽為學生打開了一扇門，讓他們知道了如何從紛雜的實驗現(xiàn)象中看到事物的本質，不僅培養(yǎng)了學生的科研素質，也為撰寫科研論文及規(guī)劃科研路線提供了非常好的實踐機會。同時，在比賽后，幾名組員在各自專業(yè)實驗或實踐中體現(xiàn)了超出普通學生的科研能力，在工程實踐創(chuàng)新、知識融會貫通、計算機軟件綜合應用、專業(yè)論文撰寫以及團隊交流與協(xié)作等方面都得到了提高。這說明，適當?shù)臄?shù)學建模競賽培訓以及競賽對化工專業(yè)“新工科”建設是非常有利的，這種學科之間的交叉融合也為哈工大在學校新百年培養(yǎng)更多的學術大師以及工業(yè)巨匠奠定了基礎。

5 結語

通過數(shù)學建模與化工學科的交叉融合，讓化工與化學專業(yè)的學生掌握一定數(shù)學建模的基礎，有利于深化對化學專業(yè)理論的知識消化和應用理解，同時有利于運用數(shù)學思想解決化工與化學的問題。通過開展活躍的教改實驗，可以讓學生從“知道如何做一個實驗”變?yōu)椤爸廊绾巫稣嬲膶嶒灐保⑶彝ㄟ^參加數(shù)學建模競賽“以賽代練”，從而培養(yǎng)學生的工程實踐能力和創(chuàng)新能力，對“新工科”教學改革有重要的指導意義。