不同參數下的龐加萊晶體性質比較

王能正, 王 沛

(浙江師范大學 物理與電子信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

超冷原子氣體[1]是量子模擬的重要平臺,可被用來模擬一些難以在固體材料中實現的多體模型.利用光晶格技術[2-3]可以在冷原子平臺上實現人造晶體,引入隨時間周期變化的勢場還能夠實現格點之間的次近鄰躍遷、次次近鄰躍遷等,從而制造出具有非平凡拓撲性質的能帶模型.利用Floquet工程雖然可以有效模擬格點之間的短程躍遷,但模擬長程躍遷仍然較為困難.理論和實驗技術的發展為解決這一問題提供了思路,光晶格中的數字微鏡[4-5]或亞波長技術[6-8]能夠在單格點尺度上調節勢場形狀,從而實現勢能函數的可編程性.在這一技術的基礎上,二次型量子傅里葉變換(quadratic quantum Fourier translation,QQFT)協議利用哈密頓矩陣在動量空間的對角性,提出了通過傅里葉變換來模擬不規則長程躍遷的方案.QQFT拓展了冷原子平臺的模擬范圍,令長程躍遷模型的實驗實現成為可能.

龐加萊晶體[9]是一類具有不規則長程躍遷的模型,該模型源自量子力學中對稱原理的應用.探索具有新奇對稱性的模型是物理學長期以來的目標.100多年前,晶體的離散空間平移對稱性成為布洛赫能帶理論的基礎;近年來,時間晶體[10-11]、Floquet拓撲絕緣體[12-13]等理論把離散平移對稱的應用從空間拓展到了時間領域;最近,研究者進一步提出時空晶體[14]的概念,1+d維時空內的時空晶體具有d+1個相互獨立的離散平移對稱軸,時空晶體這一概念不但豐富了人們對晶體對稱性的認識,也對新對稱群下的拓撲物態分類提出了挑戰.另一方面,洛倫茲對稱也是一種時空對稱,其對稱操作會把時空坐標混雜在一起.洛倫茲對稱性是量子場論、標準模型的基礎,但它在凝聚態物理中卻鮮有應用,原因之一在于洛倫茲變換的長度收縮效應會改變晶格常數,從而與晶體的離散平移對稱性相抵觸.但是,最近的研究表明,如果時間與空間同時具有離散平移對稱性,那么洛倫茲變換有可能維持晶格常數不變,在這一基礎上,具有洛倫茲對稱性的時空晶體模型被構造出來,即龐加萊晶體.理論研究表明,利用QQFT協議可以實現龐加萊晶體,并且其實現方案具有一定的抗噪聲能力[15].

龐加萊晶體具有多個可調節參數,包括洛倫茲變換的特征元、晶體尺寸等.到目前為止,并無解析方法判斷一個時空晶體模型是否具有洛倫茲對稱性,相反,只能通過數值方法逐個構造模型來尋找可能的龐加萊晶體.之前的研究列舉了所有特征元等于2同時格點數小于100的1+1維龐加萊晶體,發現在這些模型中粒子波函數的傳播表現出規則的回聲結晶化性質,這與一般晶體中波函數的傳播性質完全不同.在這一背景下,本文系統研究了不同參數下的龐加萊晶體模型,發現這些模型都一致表現出回聲結晶化性質,說明該性質受到洛倫茲對稱性保護.筆者的研究加深了對龐加萊晶體性質的理解.

1 龐加萊晶體理論簡介

(1)

對稱群P是一個離散龐加萊群,它是量子場論中的龐加萊群的子群.

這里需注意的是：式(1)中的洛倫茲變換矩陣是在筆者選擇的T,a,c的表達式下給出的,因此,其形式和選擇光速c=1情況下的對稱矩陣不同,但其本質都是洛倫茲變換.另外,式(1)給出的變換P(j,m,n)具有不變性,這一點可從下述性質看出：首先,P(j,m,n)是龐加萊變換的一種特殊情形,因此,龐加萊變換具有的不變性P(j,m,n)都具有;其次,若t,x取整數,則變換后的t′,x′也必然取整數,反之也成立,這說明晶格本身在P(j,m,n)變換下保持不變;最后,取2個不同的P變換做乘積,易知結果也是一個P變換,因此,P變換本身滿足對稱群的乘法閉合性.

(2)

將式(2)作用于準動量能量空間|E,k〉可得到

(3)

上列等式可轉為這樣一個色散關系,

2πl+m′TE′-n′ak′=mTE-nak.

(4)

(5)

(6)

值得注意的是,雖然本文使用了色散關系這一術語,但實際上龐加萊晶體模型是有限N模型,并且函數E(k)的形式依賴于N的值,不存在N→∞的極限.事實上,洛倫茲不變的E(k)是不連續、不規則的,與過去所熟悉的格點模型色散關系完全不同.另外,當說一個龐加萊晶體是單能帶時,指每個k對應唯一一個準能量E,在實空間內,這意味著每個元胞只包含1個格點,并且格點無內部自由度.

(7)

龐加萊晶體的傳播子具有洛倫茲對稱性,這一性質把它和普通晶體區分開來.為了更清楚地觀察模型的離散龐加萊對稱性,可以計算推遲格林函數Gr,以此來驗證它在時空演化下的洛倫茲不變性.假設在初始時刻,一個粒子被置于格點j上,經過時間mT后粒子處在格點j+n,在此傳播過程下,Gr可表示為

(8)

2 高γ值龐加萊晶體

2.1 γ=3的色散關系

之前的工作列舉了γ=2的1+1維龐加萊晶體,在這里繼續研究了一些高γ值的情況,分別是γ=3,γ=4及γ=5.首先考慮γ=3的龐加萊晶體的理論性質,根據式(1)和式(6),γ=3的單粒子色散關系的洛倫茲不變性可以表示成

(9)

式(9)僅在N取某些特定值時有解.發現50以內合適的N值包括：N=2,4,6,7,8,12,14,16,17,18,23,24,28,31,32,34,36,41,42,46,47,48,49.對于大部分N,洛倫茲不變色散關系不是唯一的,這里選擇了N=18這一晶體長度做出了相應的色散關系(E(k)-k)圖像.其中γ=3的色散關系E(k)比γ=2在長度為18的情況下的6組E(k)有更多的選擇.圖1(a)和圖1(b)為γ=3時的2組色散關系E(k),這里的色散關系集合滿足E(k)=2π/T-E(2π/a-k),可以看到色散關系圖像呈現不規則的鋸齒形狀,與γ=2的色散關系形狀不同[9],鋸齒形E(k)相對于k=π/a或E=π/T不對稱,但它在左右兩邊1/4處各自對稱,即連續2次映射回k=π/a和E=π/T.因此,它們總是成對出現(E′(k)=E(2π/a-k)和E″(k)=2π/T-E(k)都是洛倫茲不變量).

圖1 γ=3的色散關系圖(格點數N=18)

2.2 γ=3的Floquet有效哈密頓量

接著研究Floque有效哈密頓量的相關性質.其中實空間哈密頓量可以寫為

(10)

圖2 γ=3的躍遷系數函數Jn(格點數N=18)

2.3 γ=3的單粒子傳播子性質

在γ=2條件下具有離散龐加萊對稱的時空晶體表現出周期性的回聲性質.接下來對于高γ值模型的推遲格林函數Gr進行相應的驗證.在γ=3的情況下,考慮初始時刻位于n=0格點處的單粒子,其推遲格林函數在時間和空間的演化下用Gr(m,n)表示,其中m表示時間(周期T為單位),n表示空間位置(或格點數),并且m和n都取整數.對稱性質由矩陣L表征,它要求(m′,n′)T=L(m,n)T時,有

Gr就是龐加萊晶體中自由電子的傳播子,該傳播子和自由時空中電子的傳播子不同,依賴于龐加萊晶體的具體色散關系.Gr是一個N項之和,一般情況下,它不存在一個簡單的解析表達式,只能通過具體數值計算得到.

(a)系統尺寸為18的圖像

(b)系統尺寸為32 的圖像

2.4 γ=4,5的龐加萊晶體

(a)γ=4,N=18 (b)γ=5,N=18

(a)γ=4,N=18 (b)γ=5,N=18

3 總 結

在本文中,首先簡要回顧了一維晶格上具有離散龐加萊對稱性的量子理論.離散龐加萊P包含離散洛倫茲變換和離散時空平移,后者在t-x平面上形成Bravais晶格.P的元素用幺正算子表示.平移的共同特征態被定義為具有確定的準動量k和準能量E的單粒子態.群的乘法定律決定了E和k如何在離散的洛倫茲推動下變換,得到色散關系E(k).根據多體理論推出有效哈密頓函數H,H依賴于E(k).通過計算推遲格林函數對洛倫茲不變性進行檢驗,它表示龐加萊晶體在不同位置和時間之間的相關性.

(a)在γ=4下系統尺寸為33的圖像

(b)在γ=5下系統尺寸為32的圖像