從概率論的角度探討單項選擇對學習評價的影響*

田苗 李芳菲 鄭祥祺

華東理工大學 數學學院 上海 200237

引言

教育評價事關教育發展方向，為深入貫徹落實習近平總書記關于教育的重要論述和全國教育大會精神，教育部把深化教育評價改革作為重點攻堅任務，形成了指導深化新時代教育評價改革的綱領性文件《深化新時代教育評價改革總體方案》。方案指出，要創新德智體美勞過程性評價辦法。

過程性學習評價(Process Evaluation)是建構評價時期的產物。與傳統目標取向的發展性評價和形成性評價等方法相比，這類評價從關注教育的目標轉向關注教育的過程，強調知識學習與建構過程中反饋的及時指導性[1]。而大量研究文獻已表明，經過科學合理設計的過程性考察與評價對于學生的學習有正向的促進作用[2-5]。

在計算機、互聯網和人工智能技術高度發達的今天，機考已經越來越普遍[6-7]。而選擇題可以說是最適應機考的題型之一。計算機批改選擇題可以極大減輕教師人力負擔，提高批改效率，同時還可以給出準確、科學的考情分析。但是選擇題題型本身的特點使得即便是沒有掌握知識點的考生，也有猜對選項的可能性[8-9]。顯然，并非所有的課程目標都適合用選擇題的形式來考核，所以，一般的試卷構成也都是采用主觀題與客觀題相結合的形式。本文僅以測試中的選擇題部分為例。那么考生濫竽充數的可能性有多大？進一步，如果身為教師，如何設置選擇題的難度，更容易區分學生對知識的掌握水平。本文從數學統計的角度對選擇題的出題難度做出一些探討。

本文為了更好地探討選擇題對考試結果和對區分學生知識掌握程度的影響，提出3個基本假設。假設試卷全部為選擇題，且選擇題個數為100個；假設每道選擇題分數為1分，總分為100分，通過考試分數判斷學生是否合格；假設每個選擇題的選項個數相同，選擇題難度系數為p，題目難度越低，考生答該題對的概率就越高。

1 統計建模

1.1 模型1及格率模型

由100道選擇題組成的考卷中，完全靠猜測通過考試的概率。以k分及格線，根據概率論中的二項分布[10]，計算憑借運氣答對k題或者k題以上的概率為

以及格線k=60分為例，當難度系數較低，即單道題目答對的概率為0.7時，在100道選擇題答對60題或者60題以上的概率高達為0.98以上；而當單道題目難度系數不斷提高，答對的概率不斷降低，通過考試的概率也不斷降低，具體見圖1。當單道題目難度超過0.7，答對的概率小于等于0.3時，靠猜通過考試的概率幾乎為0。

圖1 不同難度系數的及格率分布圖

圖2 不會題目個數與及格率之間的關系圖

從上面的計算結果中不難發現：當只有少量題目不會時，通過猜測做選擇題，通過考試的可能性是很高的。但是當有比較多的題目不會，靠選擇題猜測，蒙混過關的可能性會變越小。除此以外，選擇題難度系數越高，靠猜測過關的概率就越小。

1.2 模型2選擇題的合理性模型

考試的目的是要檢驗學生學習的成果或者是考量某人對某些事物的認知和掌握程度，那么如何選取選擇題或者使得用哪些手段能夠減少選擇題答題過程中的運氣成分，進一步改進模型。

試卷中每道題目的難度不同。將一個題的難度系數定義為該題不能被解出的概率。根據大數定理，這個概率用考生中不會做該題的學生所占的比例（頻率）來近似。這個百分比是可以通過若干年的教學實踐，用統計方法計算得到的。

對于單個題目，假設針對有n個選項，難度為p的選擇題；記A為題目被答對；B為學生真正完全會求解該題。利用概率論中的貝葉斯公式[11]知，在所有答對題目的學生中確實懂的條件概率為P(B|A)：

因此選項n越多，在所有答對題目的學生中不是猜對的條件概率越大；難度系數p越小，在所有答對題目的學生中確實懂的條件概率越大。

從理論上說，選項越多，在所有答對題目的學生中確實懂的條件概率越大，而實際上卻很難辦到，除了卷面有限的因素外，對出題老師來說也不可能杜撰太多的似是而非的假選項。同時對學生來說，可以通過他已有的知識可以去掉若干錯誤選項。因此，選項大于2的情況下，有百分比為的學生可以正確的排除第i個選項，余下的選項將通過隨機選擇來答題，利用貝葉斯公式可知，在所有答對題目的學生中確實懂的條件概率為：

因此選擇題的選項設計對出題者來說是非常重要的。選項越多，在所有答對題目的學生中確實懂的條件概率就越大。但是如果在選項中有某些選項是比較容易被剔除的，那么容易剔除的選項越多，則在所有答對題目的學生中猜測的條件概率越大。因此在出題中各個選項設計要仔細斟酌。題目的難度p越小，在所有答對題目的學生中確實懂的條件概率也越大。

2 考場紀律對選擇題的重要性討論

對于具備四個選項的單選題，假定其中有兩個選項是可以被所有考生輕易排除的，而剩下的兩個選項中，有一個是正確選項，另一個是非常具有迷惑性的選項。我們還假設同場考試的人當中，有的考生對這道題目考查的知識點較為熟悉，因此有的概率做對；剩下的考生則極易被錯誤選項所迷惑，只有的概率做對。假設有一名對知識點不熟悉的考生，通過作弊手段看了兩個同學的答案，發現他們的選項都是A，于是就也填了A選項。那么這個考生通過作弊手段答對這道題目的概率是多大？

3 結束語

從上述討論可以得出，只要在考卷中出現選擇題，那么猜測就一定存在，但是靠運氣通過考試的可能性幾乎為零。同時對于教師而言，可以考慮增加選擇題的選項個數，增加選項的混淆性提高難度，增強考試紀律的管理，從而使得以單項選擇題為主要題型的考試能更加有效地區分學生的學習效果，提高教學效率，更好地實現教學中的過程性學習評價。