利用糾纏交換制備原子-原子最大糾纏態

張 蕾, 王宏偉, 郝丹輝, 楊 潔, 李育康, 冉銳明

(西安建筑科技大學華清學院, 西安710043)

1 引 言

量子信息能夠實現經典信息所不具有的新功能，關鍵在于量子糾纏態的運用，其主要體現在多個系統間的非局域性和強關聯性，這點也使得它在量子信息各個領域中有其重要的應用，例如：量子隱形傳送[1]、量子密鑰[2]、量子密集編碼[3]、量子計算[4]等，因此對于如何制備量子糾纏態對量子信息的發展具有非常重要的意義. 目前，關于量子糾纏態的制備方法，主要有：核磁共振[5]、腔量子電動力學(QED)[6]、離子阱[7]、超導量子干涉儀[8]等. 這些方法通常依靠的是兩個系統的直接作用來實現糾纏，然而在實現量子通信的過程中，需要提前把相隔遙遠距離的兩地所共同擁有的最大量子糾纏態進行遠距傳送，在此過程中系統難免會與外界環境發生作用，而產生消相干效應，使得最大量子糾纏態的糾纏品質出現不同程度的下降，為了避免這類問題，1993年，Zukowski等人提出了糾纏交換[9]，其作用是通過某些變換過程，使得初始沒有直接作用的量子系統之間建立關聯. 近幾年，人們利用該技術提出了很多制備量子糾纏態的方案[10，11].Yang 等人提出了一種無需聯合測量就能實現糾纏交換的方案[12 ]；單傳家等人[13]提出了一種基于腔QED在外場驅動下實現量子糾纏交換的方案；林秀等人[14]提出了利用糾纏交換在腔 QED中制備光子-光子和原子-光子最大糾纏態的簡便方案；2009年，dSouza等人[15]提出了在雙光子J-C模型中的糾纏交換方案；2021年，張蕾提出了一種在V-型三能級原子與雙模腔場模型中的量子糾纏交換的方案[16]. 本文在上述方案的啟發下，基于腔QED提出在級聯型三能級原子與單模腔場模型中制備原子-原子最大糾纏態的方案. 即利用兩對糾纏的級聯型三能級原子與單模腔場，使其中一個原子與未與它有糾纏關系的腔場發生作用，再對單個腔場態測量，從而得到初始沒有任何關聯的兩原子之間產生糾纏，該方案可以有效克服光腔的消相干的影響.

2 理論模型

在級聯型三能級原子與單模腔場相互作用系統中，發生雙光子躍遷，旋波近似下，有效哈密頓量[17-19]在相互作用繪景中可表示為

HI=?g1(a|e〉〈f|e-iδt+a+|f〉〈e|eiδt)+

?g2(a|f〉〈g|eiδt+a+|g〉〈f|e-iδt)

(1)

g1、g2分別表示能級|e〉?|f〉、|f〉?|g〉之間發生躍遷的耦合常數；a、a+分別表示腔場的湮滅算符和產生算符；t為原子與腔場作用時間；|e〉、|f〉為激發態，|g〉為基態；

ωe、ωf、ωg分別對應該原子能級的頻率；圖1為原子能級示意圖. 失諧量δ為

圖1 與單模腔場相互作用的三能級原子示意圖Fig. 1 Schematic diagram of three-level atom interacting with single-mode cavity field

δ=Ω-(ωe-ωf)=(ωf-ωg)-Ω

(2)

其中Ω表示腔場頻率. 假設任意時刻原子與腔場作用之后，系統態可表示為

Cf，n(t)|f，n〉+Cg，n(t)|g，n〉]

(3)

式中|m，n〉(m=e，f，g)表示原子和腔場所處的態，n為光子數.

根據薛定諤方程將(1)式、(3)式代入其中，可得微分方程組

(4)

假設初始時刻原子與腔場的態為

Ce，n(0)=CeCn

Cf，n+1(0)=CfCn+1

Cg，n+2(0)=CgCn+2

(5)

式中：Cn(0)表示初始時刻腔場態的振幅，Cm(0)(m=e，f，g)表示初始時刻原子態(歸一化)|χ〉=Ce|e〉+Cf|f〉+Cg|g〉的振幅. 將(5)式代入(4)式，可得微分方程組的解為

(6)

(7)

(8)

3 糾纏交換

假設初始時刻一個級聯型三能級原子1與腔場2處于糾纏狀態，即|φ〉12=cosθ|e〉1|0〉2+sinθ|g〉1|2〉2，同樣，原子3與腔場4也處于糾纏狀態，即|φ〉34=cosθ|e〉3|0〉4+sinθ|g〉3|2〉4. 整個具體的糾纏交換示意圖如圖2所示. 最初原子1、3之間、腔場2、4之間無相互聯系，接著讓原子1與腔場4發生作用，則系統演化為

圖2 糾纏交換方案示意圖Fig.2 Schematic representation of the entanglement swapping protocol

sinθcosθ|e〉3|2〉2|g〉1|0〉4

(9)

此時若探測腔場4為雙光子態，則系統態將塌縮為

(10)

其成功概率

(11)

(12)

4 數值分析及討論

若原子1與腔場2，原子3與腔場4開始分別處于各自最大糾纏態，即對應的參數θ=π/4，當選擇耦合常數g1=g2=g=17.5×106MHz，失諧量δ=30g，原子與腔場的相互作用時間為10.8μs時，獲得兩原子處于最大糾纏態的保真度為99.8%及成功幾率為49.2%，如圖3所示. 此外，圖3直觀地反映了保真度隨原子與腔場相互作用時間的變化關系. 如若原子1與腔場2，原子3與腔場4一開始分別處于各自非最大糾纏態時，糾纏交換之后得到兩原子處于最大糾纏態的成功幾率及保真度隨參數θ的關系曲線如圖4(a)、4(b)所示. 圖4表明原子與腔場初始時所處的糾纏狀態對通過糾纏交換后所生成兩原子間的最大糾纏態的概率和保真度有影響.

圖 3 保真度隨時間的變化Fig.3 Plot of fidelity versus interaction time

圖4 (a)成功幾率隨參數θ的變化曲線；(b)保真度隨參數θ的變化曲線Fig. 4 (a)Plot of success probability versus θ；(b)Plot of fidelity versus θ

5 結 論

文章提出基于一個級聯型三能級原子與一個單模腔場模型中實現糾纏交換的簡單方案，由于原子與腔場通過大失諧相互作用，所以它們之間無能量傳遞，這樣使得系統對腔的耗散和熱輻射都不敏感，還能大大降低對腔品質的要求. 該方案中，只需對單個腔場態測量和合適選擇原子與腔場的作用時間就可獲得兩個原子之間的最大糾纏態. 結果表明：當原子與腔場的相互作用時間為10.8 μs時，可得到兩原子處于最大糾纏態的最大保真度為99.8%；另外還發現初始時兩對原子-腔場系統的糾纏狀態對糾纏交換后生成兩原子的最大糾纏態的概率和保真度有影響.