外圓磨削非線性動力學模型與實驗驗證＊

封 超 張金峰 許芝令 王保義

（①山東科技大學工程實訓中心，山東 青島 266590；②山東科技大學機電工程學院，山東 青島 266590；③青島?？諌毫θ萜饔邢薰荆綎| 青島 266000；④濟南重工集團有限公司，山東 濟南 250100）

顫振思想源于對切削加工的研究，切削顫振是在20 世紀初由Taylor F[1]提出的。Arnold R N[2]對車削過程中顫振的產生機理進行了較為詳細的描述，并構建了顫振理論的動力學基礎。系統(tǒng)開始失穩(wěn)后，顫振就隨之發(fā)生，表現形式不盡相同，最終表現在零件成型后的表面質量上。Arnold 指出，每輪完成的加工表面轉成下一輪切屑的上表面。由于切屑的厚度會影響切削力，因此表面再生的現象造成切削力不僅與當前工件和刀具間的相對位置有關，還與上個切削周期的相對位置有關。根據Arnold 的理論，Tobias S A[3]、Tlustry J[4]、Altintas Y[5]分別建立了關于車削再生顫振的結構穩(wěn)定性和動力學模型。

在微磨削過程中，微磨削系統(tǒng)的不穩(wěn)定是直接影響微磨削的加工質量和精度的原因之一，研究磨削顫振對提高磨削加工的穩(wěn)定性以及提升工件質量有重要的意義。最初是以Snoeys R[6]模型為基礎對系統(tǒng)穩(wěn)定性展開研究并揭示顫振的過程。Inasaki I[7]等利用磨削過程的特征方程研究方程解從而得出磨削加工的穩(wěn)定極限和不穩(wěn)定增長指數。Hashimoto F[8]對砂輪和工件間的動態(tài)干涉的表述、顫振的增長速率以及接觸剛度的處理都進行了理論研究和實驗分析。Srinvasan K[9]系統(tǒng)研究了特征方程及其根的分布規(guī)律。Weck M[10]和Chung K[11]分別對工件和砂輪的再生顫振理論展開了系統(tǒng)性研究。近幾年，外圓磨削在模型構建[12]，摩擦效應[13]，檢測方法與分析[14]，表面質量[15]及納米磨削[16]等方面有很大進展，但是從非線性動力學出發(fā)探究外圓磨削特性的較少，因此，本文對外圓磨削顫振展開詳細建模與實驗分析。

1 動力學模型的建立與求解

1.1 動力學模型建立

磨削加工中，砂輪安裝在砂輪機上，工件被夾具固定。為了實現連續(xù)磨削，工作過程中砂輪以較高的轉速旋轉，并沿工件的軸線做直線往復運動。將磨削系統(tǒng)等效為彈簧質量模型，如圖1 所示。

圖1 磨削加工動力學模型

被加工工件w以恒定角速度ωw旋轉，視為質量彈簧振子之一，其質量是mw、阻尼是cw、剛度是kw。砂輪裝到機床上且平行于工件，定義為另一個質量彈簧振子，以轉速ωg旋轉，同時沿工件水平方向以速度vf移動，砂輪質量是mg、等效直徑是D、剛度是kg、磨粒有效長度是L、阻尼是cg。根據磨削過程動力學[11]，計算得出磨削系統(tǒng)的非線性延遲微分方程為

式中：砂輪質量m1，mg；工件質量m2，mg；砂輪阻尼c1，Ns/mm；工件阻尼c2，Ns/mm；砂輪剛度k1，N/mm；工件剛度k2，N/mm；δxs指機床施加初始進給后產生的靜態(tài)切削深度，mm；δxd是工件與砂輪動態(tài)作用下的動態(tài)切削深度，mm；磨削加工某一瞬時的總切削深度δ為二者之和，在研究線性穩(wěn)定邊界時二者是關鍵因素。

式中：K是磨削力系數，N/mm；s1是微砂輪刃密度，mm-2；γ、ε是指數參數；vw是工件線速度，mm/s；vg是微砂輪的線速度，mm/s；D是等效砂輪直徑，mm。

經驗系數β是介于0 和1 之間的因子（0<β<1）。FNS是靜態(tài)接觸力，N，其表達式為

式中：Sf是機床對工件施加的初始進給量，mm。

式中：τ1表示砂輪因材料損失而產生位移所引起的時間延遲，s；τ2表示工件的時間延遲，s；τ1=2π/ω1，τ2=2π/ω2；ω1是砂輪轉速，rad/s；ω2是工件轉速，rad/s；α是重疊因子，定義為

式中：w2表示砂輪的橫向寬度，mm；vf是砂輪的橫向速度，mm/s。

1.2 動力學模型微分方程

假設(x1,x2)=(δxsp,δxdq)是式（1）的平衡點，那么p和q應該滿足如下關系：

進行坐標變換把平衡點移到原點，得到式（1）的三階展開式為

式（8）中： δy=x-xτ1-(y-αyτ2)，h=K′ε(δxsr)ε-1，ε11=

由于非線性方程無法用來直接研究加工參數對磨削過程穩(wěn)定性的影響，根據穩(wěn)定邊界理論求特征值，需要對非線性模型進行數值線性處理，然后在特征參數的基礎上研究各個加工參數對磨削過程穩(wěn)定性的影響。對時滯微分方程進行線性化處理，得到系統(tǒng)穩(wěn)定性方程為

1.3 方程特征根

用數值分析對參數(ωg,ωw,vf,δxs) 進行穩(wěn)定區(qū)域的確定，具體方法為：對于給定的控制參數值，根據Thompson 顫振理論，假設λd為特征值，引入Faddeev 算法求解方程，通過特征值的實部F(ωg,ωw,vf,δxs) =Re(λd)來定義實函數F，多項式λ通過遞歸公式推出：

歐拉公式對F(ωg,ωw,vf,δxs) =Re(λd)進行數值處理，得出各參數微分方程特征值的具體表達式如下：

綜上所述，影響非線性模型參數穩(wěn)定的變量除了進給速度、等效砂輪長度、等效砂輪直徑外，初始進給量以及磨粒分布密度等也起關鍵作用，針對不同參數展開多因素研究才能對加工穩(wěn)定性影響因素有更全面的掌握。

2 實驗驗證

根據 Kuhn H W 的算法[17]，分別對時域響應圖以及特征根分布圖進行Matlab 數值模擬，通過改變參數，得到不同的特征值位置圖，分析特征值的變化規(guī)律對參數穩(wěn)定圖的影響，得出預測方法的可行性、結果的準確性。

2.1 進給速度實驗

為了得到參數空間中不同速度下的(ωg,ωw,vf)空間曲線，設定初始加工參數分別是：砂輪刃密度s1=1 300 mm-2，砂輪轉速ωg=3 140 rad/s，進給速度vf=10 mm/min，等效砂輪長度L=12 mm，初始進給量Sf=0.002 mm，等效砂輪直徑D=0.5 mm，磨削力系數K=2 400 N/mm。為了判斷磨削過程的穩(wěn)定性，繪制出一組以vf為變量的參數穩(wěn)定圖，如圖2a和圖2b 所示的用函數曲面的截面研究參數空間中當曲面F為0 的輪廓。

圖2 不同進給速度下的參數穩(wěn)定圖

圖2 a 中，水平線是保證磨削過程重疊的下限，曲線是代表加工是否穩(wěn)定的上限，陰影區(qū)域是磨削加工過程中不發(fā)生顫振的有效空間。綜合圖2，vf=10 mm/min 時的陰影面積最小，vf=12 mm/min 時陰影面積增加，而vf=18 mm/min 時陰影面積最大，即穩(wěn)定區(qū)域是隨進給速度的增大而增加的。

下面分別從時域和特征值兩方面對圖2 的正確性進行驗證。

設定ωw=1.2 rad/s，ωg=3 140 rad/s，L=12 mm，D=0.5 mm，s1=1 300 mm-2初始進給量sf=0.002 mm，比例系數K=2 400 N/mm，如圖3 所示。選取不同的進給速度，發(fā)現進給速度為10 mm/min 時，磨削中出現顫振現象，如圖3a 所示；進給速度增至12 mm/min 時磨削過程趨于穩(wěn)定，如圖3b 所示。

圖3 不同進給速度下的時域響應圖

圖4 為選取與圖3 相同的參數設置，進給速度從10 mm/min 提高到12 mm/min 所繪制的特征值位置圖，觀察發(fā)現圖4a 存在部分特征值實部大于零，即磨削過程有不穩(wěn)定現象，而圖4b 的特征值實部均為負數，可見圖4b 是穩(wěn)定磨削加工。進給速度的提高使特征值向左移動引起磨削過程從不穩(wěn)定到穩(wěn)定狀態(tài)的轉變。

圖4 不同進給速度下的特征值位置變化圖

綜合圖2～圖4 的研究結果，得出參數穩(wěn)定圖、時域響應圖和特征值位置圖三者關于進給速度對磨削加工過程穩(wěn)定性的結論是一致的。

2.2 砂輪長度實驗

式（6）中砂輪的長度影響重疊因子大小，最終影響預測模型的穩(wěn)定性，圖5 對不同砂輪長度時加工穩(wěn)定性變化研究。砂輪刃密度s1=1 300 mm-2，砂輪轉速ωg=3 140 rad/s，進給速度vf=10 mm/min，工件轉速ωw=1.25 rad/s，初始進給量Sf=0.002 mm，等效砂輪直徑D=0.5 mm，磨削力系數K=2 400 N/mm。為了判斷磨削過程的穩(wěn)定性，繪制出一組以砂輪長度L為變量的參數穩(wěn)定圖如圖5a 所示，圖5b 所示為用函數曲面的截面研究參數空間中當曲面F為0的輪廓繪制的截面圖。

圖5 不同砂輪長度時的空間參數穩(wěn)定圖

圖5 中，砂輪長度增加，極限穩(wěn)定性曲線上限在減小，表示磨削重疊下限的水平線也是減小的。綜合圖5，砂輪長度L為16 mm 時的陰影面積最小，L為14 mm 時陰影面積增加，實驗數據中L為8 mm時陰影面積最大，即穩(wěn)定區(qū)域是隨砂輪長度的增大而減少的。

下面分別從時域和特征值兩方面對圖5 的正確性進行驗證。

設定工件轉速ωw=1.3 rad/s，砂輪轉速ωg=3 140 rad/s，砂輪直徑D=0.5 mm，進給速度vf=10 mm/min，砂輪刃密度s1=1 300 mm-2，初始進給量sf=0.002 mm，比例系數K=2 400 N/mm。如圖6 所示，選取不同的砂輪長度L，發(fā)現L=12 mm 時，過程趨于穩(wěn)定，如圖6a 所示；但砂輪長度增至14 mm 時磨削過程出現顫振現象，如圖6b 所示。

圖6 不同砂輪長度的時域響應圖

圖7 為選取與圖6 相同的參數設置，砂輪長度從12 mm 增大到14 mm 所繪制的特征值位置圖，觀察發(fā)現圖7a 特征值實部均為負數，是穩(wěn)定磨削加工；而圖7b 存在部分特征值實部大于零的現象，即磨削過程不穩(wěn)定。砂輪長度的增加使特征值向右移動引起磨削過程從穩(wěn)定到不穩(wěn)定狀態(tài)的轉變。

圖7 不同砂輪長度的特征值位置圖

綜合圖5～圖7 的研究結果，得出參數穩(wěn)定圖、時域響應圖和特征值位置圖三者關于砂輪長度對磨削加工過程穩(wěn)定性的結論是一致的。

3 結語

為了提高磨削加工的產品表面質量，從3 個方面開展研究并取得結論如下：

（1）對比磨削動力學宏觀結構構建起非線性動力學微觀模型，并推導出磨削非線性動力學方程。

（2）對非線性動力學方程進行線性化處理計算出系統(tǒng)特征值，并進行穩(wěn)定性預測，得出影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素，主要包括等效砂輪長度、砂輪轉速、進給速度、磨粒分布密度、等效砂輪直徑、初始進量、磨削力系數和工件轉速等。

（3）以進給速度和砂輪長度為例，使用Matlab繪制出各因素不同取值時一系列的穩(wěn)定區(qū)域圖，并研究各參數在狀態(tài)變化轉折點所對應的時域響應圖和特征值位置圖，發(fā)現進給速度從10 mm/min 提高到12 mm/min 時磨削過程從不穩(wěn)定轉變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)，而砂輪長度從12 mm 增大到14 mm 時磨削過程從穩(wěn)定轉變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)；對穩(wěn)定圖、時域響應圖、特征值位置圖三者綜合分析，發(fā)現得到的結論均一致，由此證明動力學模型的正確性。