基于三維點云的曲軸同軸度誤差測量方法研究＊

竇亞萍 鄭 述 楊治飛 任慧茹 顧旭輝 隋文濤

（①山東理工大學機械工程學院，山東 淄博 255000；②淄博市特種設備檢驗研究院，山東 淄博 255025）

曲軸作為柴油機和發動機的重要組成部件，是主要的動力來源，可以將活塞、連桿的直線運動輸出為轉矩，進而實現動力的傳輸[1]。作為動力機械關鍵零件中最難以保證加工質量的部分，其連桿軸頸、主軸頸等關鍵位置的圓度、同軸度和平行度與其他形位和尺寸誤差對發動機的壽命、噪聲和振動等方面有直接影響[2]，因而對曲軸軸頸形狀誤差的檢測顯得尤為重要。

針對軸頸同軸度的非接觸精確測量，國內外學者、企業提出一系列支撐理論。Wang L 等[3]提出一種在同軸度測量桿上以單個激光位移傳感器（LDS）對小直徑串聯孔進行快速同軸度測量的方法，不需要事先測定測量桿的旋轉角度，在隨機旋轉一定次數后根據LDS 的測量值直接計算串聯孔的同軸度。他們還提出了同軸度測量桿的數學模型，可通過改變LDS 的安裝位置進而實現不同尺寸和數量的串聯孔的同軸度測量。Optoquick 是意大利MARPROSS公司最新的曲軸光學測量方案，應用智能圖像處理可以實現同步檢測工件不同參數，可容納長度達1 200 mm 和直徑達200 mm 的工件，長度不確定度最大為10 μm[4]。宋志化等[5]在同軸度測量問題上搭建了應用波分復用器的激光測量裝置，通過波分復用器把發射的信標光和接收的信號光相結合，構成一個可以同時進行發射和接收信號光的模塊，與平行光管共同構成同軸度檢測系統。該裝置測試簡單可行，易于搭建。

本文提出一種基于激光掃描儀獲取單拐曲軸三維點云的同軸度誤差的非接觸測量方法，采集得到三維點云數據后，計算獲取軸頸最優切片，以Pratt-RLTS 法得到各個點云切片的圓心，可在1 min 內完成同軸度的測量，為生產企業的同軸度快速準確檢測提供了一個可行方案，同時可以為未來出現更高精度的激光掃描儀后的同軸度測量方案提供參考。本文主要的研究對象為單拐曲軸，如圖1 所示，主要針對的檢測兩端軸頸分別為D1、D2。

圖1 單拐曲軸示意圖

1 點云切片的獲取

在獲取單拐曲軸兩端軸頸的點云切片前，需要對采集到的點云數據做去噪、降采樣等預處理[6-7]，以去除無關背景和噪聲點對后續處理結果的影響，同時實現大數據點云的降采樣以提高運算效率。背景區域利用平面擬合獲取區域點云，并將其去除。對于無效噪點，本文計算了點云與曲軸模型之間的絕對距離，結合條件濾波完成點云去噪。

在本文的同軸度計算中需要獲取兩端軸頸的多個截面，即在點云數據中，尋找兩組等間距切片點云。如圖2a 所示，在D1、D2處合適位置處選定一個點沿垂直于z軸方向切割，之后每間隔4 mm 截取一個點云切片。然而在獲取點云過程中，由于實驗條件受限，采集到的曲軸點云主軸線會與世界坐標系存在一定偏差。如圖2b 所示，曲軸點云數據的坐標系o"x"y"z"與世界坐標系oxyz之間存在一定角度偏差，當在點o處沿x軸進行切割時，所得點云切片Cn與理想點云切片Ci相比繞當前圓柱面斜切了一條橢圓形點云帶，這會使得后續圓心擬合結果產生很大的誤差。

圖2 點云切片

針對曲軸主軸線偏移問題，本文截取了D1、D2端軸頸點云集，利用主成分分析（PCA）獲取軸頸主軸線的方向向量，將其旋轉至z軸，并根據自適應切片算法[8]等間距獲取點云切片。

2 擬合截面圓心

2.1 經典代數圓擬合

截面圓心點擬合的準確與否，決定了后續軸線擬合的準確性與同軸度計算的可信度。K?sa 方法是最為常見的圓擬合方法，計算效率快且方法簡單。本文的檢測對象較為小巧，待測軸頸直徑僅有30 mm。此時應用K?sa 方法易產生較大誤差。Pratt 方法是對K?sa 方法的改進。對于此類較大曲率圓擬合問題，Pratt 方法有明顯優勢[9]。

Pratt 方法是一種代數擬合圓法，用來描述圓的代數方程為

將式（1）改寫為圓的標準方程：

為確保最終結果為圓，即(a,b,c,d)的值與任一標量相乘的值均不會對圓的方程產生影響，假定a為1。在進行圓擬合時，K?sa 方法通過計算線性目標函數的最小值來找到擬合圓，Pratt 方法為了消除大曲率圓半徑的影響，將F0除以4R2，得式（4）。

應用代數圓參數(a,b,c,d)對圓心、半徑進行估計，可以將F1改寫為

根據約束條件式（3），可以將目標函數描述為

用矩陣表示該擬合算法，將目標函數F1改寫為

該式中的約束條件則變為

為方便求解約束最小化問題，本文引入Lagrange 乘子η，將式（7）轉換為無約束最小化函數，并以奇異值分解的方式對其進行求解，最終尋找使F最小的η。

2.2 改進的Pratt-RLTS 擬合方法

本文所研究的單拐曲軸兩端軸頸存在花鍵和小型孔洞，這些部件會導致在使用激光掃描儀掃描點云數據時產生不利于圓擬合的噪聲點。如圖3 所示，圖3a 和圖4b 已對點云進行統計濾波降噪與降采樣工作，但花鍵、孔洞處仍存在位置相對集中的噪聲點，這將使得代數圓擬合所計算出的圓心位置結果出現較大偏差。此時，經典的Pratt 圓擬合方法已無法滿足使用需要。

圖3 含噪點的軸頸點云

圖4 同軸度誤差模型

針對以上問題，本文在Pratt 方法的基礎上引入最小截平方（LTS）[10]的概念，提出了Pratt_RLTS圓擬合法。首先，根據前文中獲取的截面法向量將點云切片旋轉至垂直于z軸，把三維圓擬合轉換為二維圓擬合，之后以三點定圓的原則，隨機選擇3個點p0進行初始Pratt 圓擬合，得到初始圓心(x0,y0)和半徑R0，計算各點與初始圓之間距離作為殘差值ei

利用LTS 中對各點處的殘差平方進行排序，通過去除較高的殘差平方，最小化p個最小殘差平方的和以消除異常值對結果的影響，進而保證結果的穩定性。其優化問題為

式中：m為待估計的參量個數。而對于本文曲軸點云數據，無關噪點占比一般不超過50%，為保證本方法不會達到崩潰點，因此選定p的數值為0.5n。

隨機選擇p0有一定概率會抽取到無關噪點，進而造成圓心擬合偏差。因此，本文在處理算法中增加了迭代的過程。通過對以上過程進行多次計算，并獲取每次迭代結果的殘差平方和RSSj：

式中：迭代次數In根據多次測試經驗，選定其數值為10。之后對RSSj再次進行排序，進而獲取整體殘差平方值最小的選點組合，并根據該組合的圓心和半徑作為最終的圓擬合結果。

3 同軸度誤差評定

對于軸類零件，同軸度表示為軸體中心線與基準軸線之間的重合程度，其公差帶根據國家標準規定，是以基準軸線為中心、以公差值為直徑的三維圓柱區域[11]。以圖4 為例，被測圓柱體D的理想軸線為l，根據D實際表面構建出真實軸線l2，以最小包容區域法尋找其最小包容圓柱區域d。其中，d的中心線與基準軸線l1同軸，Φd即D的同軸度誤差，接觸點a為l2上距離l1的最大值點，l21與l22為D兩端面測定的圓心。

在評價單拐曲軸兩端待測軸頸的同軸度時，由于分別作為基準和被測的兩個圓柱長度較短且二者之間相距較遠，因此會產生一個較大的放大誤差[12]，如圖5 所示。任意截取出兩端軸頸長度32 mm 的圓柱，左側圓柱的第一個截面間隔右側圓柱第一個截面的距離為115 mm。若此處以左側圓柱作為基準圓柱，右側圓柱作為被測圓柱，假設測量軸線在基準圓柱第二截面與基準軸線產生5 μm 的測量誤差，根據相似三角形對應邊成比例的性質，在測量軸線抵達被測圓柱第一截面時，誤差值約為18 μm，而在到達第二截面后便放大至約23 μm，最終測量誤差被放大了約4.6 倍。為避免測量放大誤差對同軸度誤差測量的影響，本文采取兩端軸頸的公共軸線作為同軸度的基準軸線，即分別獲取兩端軸頸多個截面的圓心，根據最小包容圓柱規則獲取公共基準軸線，最終以截面圓心至公共基準線的最大距離的兩倍作為同軸度的誤差值。

圖5 大間距同軸度測量放大誤差

同軸度基準軸線目前公認最佳的擬合方法為最小包容區域法。然而這種方法的實現難度較大，因此基準軸線一般通過最小二乘法近似表示，或是通過應用優化算法不斷迭代逼近。本文此處選擇對其采用最小二乘法進行計算。對于空間直線的最小二乘擬合法，需要最小化點云中各點到基準軸線之間的距離平方和。設基準軸線的方向向量為V(u,v,w)，且過點P(x0,y0,z0)，則空間直線的方程為

式（13）可以改寫為

其矩陣形式為

4 實驗分析

4.1 圓擬合仿真驗證

為驗證本文方法對于單拐曲軸軸頸圓擬合的可行性，創建20 組圓心為(0,0)、半徑為15 mm 的樣本點云圓，每組點云中包含100 個數據點。為盡可能還原真實曲軸軸頸上花鍵和孔洞處的無關噪點，特設立在任一范圍內增加20% 的聚集異常值，如圖6 所示。

圖6 樣本點云

以最小二乘法（LSC）、最小區域法（MZC）、隨機抽樣一致算法（RANSAC）以及Pratt_RLTS 法對樣本點云集進行圓擬合對比驗證。由圖7 中各方法的結果可知，在圓心橫縱坐標的穩定性方面，LSC 與MZC 效果最差，波動較大，且與圓心標準坐標相差較遠；RANSAC 與本文所提出的Pratt_RLTS法在多組數據穩定性上較為相近，但本文方法更接近于標準圓心，對于后期單拐曲軸的同軸度誤差檢測更有幫助。

圖7 圓擬合穩定性測試

4.2 同軸度誤差測量

本實驗研究所采用的激光掃描儀為Faro Design ScanArm，測量范圍2.5 m，最小點間距40 μm，同時配備Geomagic?Wrap 軟件，以實現單拐曲軸的表面三維掃描點云數據的采集工作。掃描工作過程中曲軸擺放在實驗室桌面上，手持激光掃描儀對曲軸點云進行采集，如圖8 所示。

圖8 點云掃描工作

在實驗過程中共獲取了10 組曲軸點云，之后按照前文所提到的圓擬合方法依次對點云進行處理。為驗證本文同軸度測量的準確性，采用海克斯康公司的三坐標測量機（CMM）INNOVA PERFORMANCE進行對比實驗，如圖9 所示。該儀器坐標定位精度較高（大于10 μm），分別對曲軸D1、D2端軸頸的多個截面進行了同軸度與圓度測量。應用CMM 進行多次圓度測量后，得到曲軸D1、D2端軸頸的截面圓半徑分別為14.978 6 mm 和14.977 4 mm。以D2端軸頸處的普通切片點云Ct1、帶有花鍵噪點的切片點云Ct2以及帶有孔洞噪點的切片點云Ct3數據為例，4 種圓擬合方法與CMM 檢測結果之間絕對誤差值的均值見表1。

表1 軸頸圓擬合與CMM 檢測結果對比μm

圖9 三坐標測量機檢測同軸度

從表1 中可以看出，4 種對于普通切片點云Ct1的處理結果區別并不明顯，其擬合程度的優劣在處理帶有花鍵噪點的切片點云Ct2以及帶有孔洞噪點的切片點云Ct3有了明顯區別。因為花鍵以及孔洞噪點的影響，LSC 與MZC 所擬合圓的半徑與CMM 檢測結果有很大的偏差，最小絕對誤差均值仍有8.3 μm；而本文方法Pratt_RLTS 的擬合結果較好，最大絕對誤差均值不超過4.8 μm。

對曲軸點云進行同軸度檢測，圖10 所示為本文方法與CMM 檢測的10 組同軸度誤差，最大差值僅有5.7 μm，兩組數據之間絕對誤差的均值為3.9 μm，證明了同軸度誤差光學視覺評定方法有較高的準確度，可應用于曲軸同軸度的評定。

圖10 同軸度誤差值

5 結語

本文為解決曲軸同軸度的快速、準確檢測，采用了激光掃描儀的檢測方案。在對切片進行圓擬合時提出了Pratt_RLTS 圓擬合法，在Pratt 方法的基礎上引入最小截平方的概念，并對最小截平方進行排序以排除噪聲點，優化圓擬合結果。通過對存有花鍵及孔洞噪點的切片點云的實驗證明，該擬合方法相較于CMM 檢測結果的絕對誤差均值不超過4.8 μm，有較高的準確度。后續對曲軸兩端軸頸同軸度誤差進行檢測，與CMM 檢測結果相比最大絕對誤差僅有5.7 μm，差值平均在3.9 μm，證明了本文檢測方案的可行性與準確度。