打破思維定式　回歸問題本源　提升數學素養

[摘? 要] 近年來壓軸題的解題方法逐漸回歸利用基本方法和基本圖形進行解決，更側重于對課本和課標中核心知識的考查.文章以2022年上海中考25題為例，通過剖析各個問題的不同解法，闡述在新課標背景下，如何回歸問題本源，打破思維定式，借助基本圖形和基本方法進行壓軸題教學.

[關鍵詞] 中考;壓軸題;新課標;核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在學業質量板塊指出“能運用幾何圖形的基本性質進行推論證明，初步掌握幾何證明方法，進一步增強直觀幾何、空間觀念和推理能力”[1]. 2022年上海中考25題，題型新穎，緊扣課標，層次分明，并能跳出“套路”，運用常見的基本圖形和基本方法進行問題解決，跳脫“思維定式”，回歸問題本源.

綜觀整道題目，命題的意圖逐步由知識立意向能力立意轉變，由能力立意向素養立意實現，側重考查了學生的感悟、意識、思想、能力等數學核心素養，達到了提升學生數學核心素養的目的[2].

試題呈現

（2022年上海中考第25題）如圖1，在平行四邊形ABCD中，P是BC的中點，AP與BD交于點E.

（1）當EA=EC時，

① 求證：平行四邊形ABCD是菱形;

② 若AB=5，AE=3，求BD的長.

（2）以A為圓心、AE為半徑的圓A，以B為圓心、BE為半徑的圓B，兩圓的一個交點F，若F在直線CE上，且滿足AE=CE，求的值.

試題評價

本題是上海卷解答題的最后一道題，試題的背景主要圍繞平行四邊形和中點進行展開，將特殊四邊形的判定和性質、勾股定理、解三角形、三角形一邊的平行線的性質定理和圓與圓的位置關系等問題進行綜合設計，其中蘊含了豐富的數學思想和方法，如基本圖形分析法、方程思想、轉化思想等，同時也著重體現了學生的邏輯推理能力，這些都有助于考查學生的核心素養.

1. 緊扣教材，一題多解，搭建知識間的聯系

新課標中指出，“要能理解命題的結構與聯系，探索并表述論證過程”. 要想完整而又準確地表述論證過程，就需要搭建知識網絡，對核心知識點也應了如指掌. 試題緊扣教材，梯度設置合理，兼具考查和選拔兩種功能.

本題的第（1）問是在EA=EC背景下，第①問是證明平行四邊形ABCD是菱形，可以從滬教版八年級下冊的“菱形的判定”入手;第②問是求菱形對角線的長度，圍繞滬教版九年級上冊的“三角形一邊的平行線”與重心和平行線的性質定理，從而借助或構造基本圖形，兩次利用勾股定理進行求解;本題的第（2）問是在滬教版九年級下冊“相交兩圓中連心線和公共弦”問題的背景下，借助或構造基本圖形，利用比例線段和解三角形的相關性質助力問題的解決.

2. 發揮聯想，化繁為簡，積累問題解決經驗

壓軸題相較于其他幾何證明題而言，其最大的難度在于將復雜圖形“抽絲剝繭”，通過發揮聯想，抽象出復雜圖形中的基本圖形，并運用我們常見的基本方法進行解決.

本題的第（1）問主要是利用“菱形的對角線互相垂直平分”這條基本性質，發現“BP-AD組成的X型”基本圖形;本題的第（2）問主要是利用“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”這條基本性質，發現兩組“X型”基本圖形. 整道題主要圍繞著比例線段、勾股定理和解三角形等基本方法來展開，由此考查學生在邏輯推理、直觀幾何和空間觀念方面的核心素養.

解法賞析

1. 第25題第（1）問第①題解法賞析

第25題第（1）問的第①題考查了菱形的判定，可以從以下兩個角度切入：思路1主要圍繞“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”展開，通過連接AC，利用“等腰三角形的三線合一”和“平行四邊形的對角線互相平分”進行證明;思路2主要圍繞“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”展開，利用中線的性質進行輔助線的添加，或“倍長中線”，或“截長補短”，方法比較多樣.

解法1? 如圖2， 連接AC，與BD相交于點O.

因為ABCD為平行四邊形，所以AO=CO. 因為AE=CE，所以AC⊥BD. 因為ABCD為平行四邊形，所以平行四邊形ABCD為菱形.

解法2? 如圖3，延長CE交AB于M.

因為ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC. 所以===. 又因AB∥CD，所以===. 所以ME=CE，EP=AE，故ME=EP. 因為ME=EP，∠AEM=∠CEP，AE=CE，所以△AME≌△CPE. 所以AM=CP，即AB=CD，故平行四邊形ABCD為菱形.

解法3? 如圖4，過點C作CH∥BD交AP延長線于點H.

因為CH∥BD，所以∠1=∠H. 因BP=CP，∠BPE=∠CPH，所以△BPE≌△CPH，即EP=PH. 因為AD∥BC，所以==，即AE=2EP. 所以AE=EH，即CE=EH，則∠H=∠ECH. 因為BD∥CH，所以∠3=∠ECH，則∠2=∠3. 故△ADE≌△CDE，所以AD=CD. 所以平行四邊形ABCD為菱形.

解法4? 如圖5，過點C作CF∥AP交BD于點F.

因為CF∥AP，所以∠1=∠2. 因為ABCD為平行四邊形，故AD=BC，AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC. 于是可得△ADE≌△CBF，所以AE=CF，BF=DE，即BE=DF. 因為AE=CE，所以CE=CF，即∠2=∠3，于是∠CEB=∠CFD. 由此可推出△BEC≌△DFC，所以BC=CD. 所以平行四邊形ABCD為菱形. （相同作法：在BD上截取BF=DE或DF=BE）

解法5? 如圖6，延長AP，DC交于點G.

易證△ABP≌△GCP，所以AB=CG. 因為AD∥BC，所以==2. 設EP=a，則AE=2a，CE=AE=2a，于是AP=PG=3a，EG=4a，故==，∠PEC=∠CEP，所以△ECP∽△EGC，可得==，即CG=AB=2CP. 所以AB=BC，故平行四邊形ABCD為菱形.

2. 第25題第（1）問第②題解法賞析

第25題第（1）問的第②題考查了求菱形對角線的長度，在第①題的基礎上，借助“BPAD組成的X型”基本圖形，發現相關線段間的數量關系，借助方程思想進行設元，利用兩次勾股定理，求出所設未知數，從而求出BD的長度.本題解法的多元性主要體現在構造不同的直角三角形，選擇不同的三角形就會產生不同的方程，但是整體的解題思路還是一致的.

解法1? 如圖2，因為平行四邊形ABCD為菱形，所以AD∥BC，AD=BC，于是得到==. 設BE=2a，則DE=4a，EO=a. 所以AO2=AE2-EO2=9-a2，AO2=AD2-DO2=25-9a2，于是得到a2=2，解得a=±（舍去負值），所以BD=6a=6.

解法2? 如圖2，設AO=a，因為平行四邊形ABCD為菱形，所以AD∥BC，BD=2BO=2DO. 在Rt△AOE中，EO==;在Rt△AOD中，DO==，即BE=BO-OE=-，DE=DO+OE=+. 因為AD∥BC，所以==2，即DE=2BE，故+=2（-），化簡得到3=，解得a=±（舍去負值），故a=，即BD=2DO=6.

解法3? 如圖7，過點A作AM⊥BC，垂足為M，過點D作DN⊥BC.

3. 第25題第（2）問解法賞析

第25題第（2）問是在相交兩圓和平行四邊形背景下的問題.根據題意，如圖8，由AB是連心線，EF是公共弦（與線段AB交于點G），可得AB垂直平分EF，即CF⊥AB，因此求的值就轉化為確定點G和點E分別在線段AB和線段CG上的具體位置.因此，當確定了點G和點E的具體位置后，借助方程思想和勾股定理，即可求出的值.

解法1? 如圖9，連接AC.

因為O為AC中點，P為BC中點，所以在△ABC中，點E為重心，連接CE交AB于點G，則G為AB中點. 因為AB為連心線，EF為公共弦，所以EG⊥AB. 所以EG垂直平分AB，即AE=BE. 設AE=2x，則CE=2x，因為點E為重心，所以GE=x. 在Rt△AGE中，AG==x，即AB=2x;在Rt△BCG中，BC==2x，所以==.

解法3? 由解法1和解法2得到的提示，要證明G為AB的中點，可有多種添加平行線構造“A型”基本圖形或“X型”基本圖形的方法[3]. 例如：

解法（1）：如圖11，過點P作PM∥AB交CF于M.

因為AD∥BP，所以==. 因為PM∥AB，所以==，==. 所以BG=AG.后同解法1.

解法（4）：如圖14，延長AE，DC交于點M.

因為AB∥CD，所以===. 因為AB=CD，所以AB=CM. 因為AB∥CD，所以==，即AG=AB.

解法4? （利用梅涅勞斯定理）

將△ABP視為梅氏三角形，CG為截線，由梅涅勞斯定理得··=1，由P為BC中點，AE=2EP，可得BG=AG.后同解法1.

教學反思

1. 重“四基四能”，輕“解題套路”

新課標強調了“以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調了‘四基的獲得與發展，發展‘四能，從而形成正確的情感、態度和價值觀”. 回顧2022年上海中考第25題，題目背景和問題設置更加新穎，對于喜歡“按套路”解題的學生而言，具有不小的挑戰性. 對于該題的第（2）問而言，證明G是AB的中點是本道題的難點，很多同學陷入了“逢壓軸必添線”的怪圈中，添加了許多輔助線，最后無從下手. 其實仔細分析圖形，其中隱含了我們最常見的“平行型”問題，利用兩次比例線段即可推出G為AB中點，或利用重心的性質更為簡便.

其實，目前中考的不少題目都來源于教材經典例題或練習題的改編. 在教學時，若能將這些例題中的知識點延伸拓展，設計出一系列的變式題組，便可讓學生在這些數學活動中充分探究，從而積累問題解決的經驗. 相較于讓學生去記憶晦澀的模型，這樣的方式更能激發學生自主探究的興趣和能力，從而激勵學生在面對陌生或困難情境時自主發現問題并解決問題.

2. 重“問題導向”，輕“實戰演練”

對于解決幾何壓軸題，其最大的難點就在于搭建“已知”和“未知”的橋梁. 對于上述題目第（1）問的第①題而言，雖然有5種做法，但是最佳的做法還是連接對角線，利用“等腰三角形的三線合一定理”證明對角線互相垂直. 不難發現，很多學生對于中點“情有獨鐘”，常常聯想到“倍長中線法”，盡管此種做法也成立，但是相較于第一種做法，顯然更加復雜. 在日常教學中，我們提倡“一題多解”，但是更需要“因地制宜”. 如當出現中點問題時，我們可以進行這樣的聯想（如圖15），再根據條件和結論篩選出最恰當的解題策略.

很多學生不能聯想到第一種做法，其實也暴露了其對基本圖形性質不熟悉的問題. 尤其在“雙減”政策下，教師更應該培養學生的“想象力”和“判斷力”，要能根據具體問題具體分析，選擇最恰當、最合適的方法.

3. 重“以題會類”，輕“以題見類”

教師若采用“就題論題”的傳統練習題教學模式，缺乏對知識本源的挖掘和方法的歸納，便只能起到“蜻蜓點水”之效. 雖然學生見識了多種類型，但遇到具體問題該如何處理時，恐怕只能依靠其自悟能力或平時量的積累所形成的“條件反射”. 因此學生在面對復雜的壓軸題時，往往顯得手忙腳亂. 諸如上述題目第（2）問的解題方法在歷年上海中考中多有體現（如圖16），但是很多學生雖對歷年中考題的解法了然于胸，但是當換了背景或改變了部分條件后就“寸步難行”，說到底，還是對此類問題的方法沒有精通，難以達到舉一反三、觸類旁通之效.

事實上，教師若能對每類問題逐一舉例剖析，講透講精，分析其中蘊含的基本圖形和推廣常見的基本方法，則一定能把培養學生“以題會類”的遷移能力落到實處，從而在潛移默化中提升學生的數學核心素養，使學生真正做到“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界和會用數學的語言表達現實世界”.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]李永明.凸顯核心概念? 彰顯素養目標——2019年甘肅省中考數學卷第28題解析與思考[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2021（16）：38-40.

[3]萬妍青. 巧構基本圖形，助力問題解決——以2020年上海中考25題第（3）小題為例[J]. 數學教學通訊，2020（35）：12-15.

作者簡介：萬妍青（1991—），中學一級教師，上海市寶山區教學能手，上海市虎林中學教研組長，寶山區長江路教育集團數學學科組組長，獲2020年上海市中小學優秀單元作業、試卷案例征集活動一等獎.