精構框圖析題型,提升專題復習效率

[摘? 要] 二輪專題復習是中考復習的重要組成部分，是提升學生能力的重要途徑. 文章以“代數中的多元問題”為例，通過構建題型框圖，引導學生有效掌握題型特征和解題思路，為專題教學提供新的模式.

[關鍵詞] 題型框圖;多元問題;專題復習;中考復習

問題提出

專題復習是中學數學教學的重要組成部分，是深化知識理解、提升學生能力的重要途徑. 針對中考第二輪復習的專題復習課教學設計，要注重歸納題型特征，力求清晰地描述某類題目的概貌和細節，解決“這是一類怎樣的題”這一問題;要注重闡明解題思路、方法等，努力尋求通性通法或專題專法，解決“這類題是怎樣解的”這一問題;要注重教學方法，讓學生更好地掌握解法，領會思想，發展能力，解決“這類題是怎么教的”這一問題. 如何有效地突破上述三個問題，一直是中考專題復習教學研究的內容和方向.

在杭州市各類考試中常出現以下試題：

（2016浙江杭州中考）已知關于x的方程=m的解滿足x-y=3-n，

x+2y=5n， 其中01，則m的取值范圍是______.

（2018杭州西湖期末）已知三個非負實數a，b，c滿足a+2b=1，c=5a+4b，則b的取值范圍是______，c的取值范圍是______.

這些試題常為考試壓軸題，其共同特征是題干中含有多個字母，解題目標為確定某個字母或者代數式的取值范圍. 我們稱這樣的題目為代數中的多元問題. 以此類問題的解決為載體進行教學，可以提升學生的代數知識綜合應用能力. 為突破此類試題，教師可以設計專題進行復習.

專題剖析

1. 專題初探

代數中的多元問題在初中階段的源頭是二元一次方程組，解題的基本思想是消元，即利用代入消元法或加減消元法得到僅含一個字母的等式（方程），從而解得未知數的值. 上述試題亦可通過消元，得到僅含一個字母的不等式或代數式，從而得到相應字母的取值范圍或目標代數式的取值范圍. 將專題的題型特征和解題思路初步歸納后如圖1所示.

此類試題的題型特征為：題干含有多個等式，且等式中含有多個字母，求目標代數式（含單個字母）的（最）值或取值范圍. 其解題要領為：會用代入消元法、加減消元法求出目標代數式的值，或者結合題目條件確定主元，將目標代數式轉化為僅含主元的代數式，再根據已知或隱含的對主元的限制條件，利用不等式、函數等工具求得目標代數式的值或取值范圍. 這樣的解題方法，稱為主元法.

2. 教學策略

此類專題涉及的知識面廣，知識縱深程度大，可采用以下策略，結合學情，用1～3個課時進行教學.

（1）分層定級，選擇性設計. 根據題設條件，確定下面不同層級的教學目標（如表1所示）.

[ 教學目標 對應層次 1. 能用消元法解二元一次方程組，能解基于二元一次方程組的代數式求值問題. A 2. 會解基于含參二元一次方程組的代數式取值范圍問題. B 3. 會解基于多元方程組的代數式取值范圍問題. C ][表1]

題設條件的難易程度及將目標代數式轉化時利用代數模型的不同難度決定了各類試題的難度. 解數字系數的二元一次方程組是最常見、最簡單的多元問題，所有學生都要會，所以將其層次設置為A層;含參問題對計算能力和解題目標的轉化能力要求較高，所以將其層次設置為B層;求解基于多元方程組的問題需要一定的解題技巧，對問題的轉化能力要求更高，此類題只針對學優生，所以將其層次設置為C層.

實施教學時，教師可以設置前測和后測，并根據實際學情，舍棄或者增加部分教學內容，進行選擇性教學.

（2）精編例題，漸進性歸納. 第一課時的教學宜選用題型特征明顯的、解題思路生動的典型試題作為各層次的例題，這樣有利于學生掌握通性通法. 通性通法的歸納，可以以題型框圖的建構為抓手，并注重兩個層面的歸納：一是不同層次之間的“大”歸納，即通過不同層次不同框圖的建構，加深學生對此類試題的整體認識;二是同一層次內的“小”歸納，即通過對同一框圖的不斷完善，加深學生對此類試題解題關鍵點、代數模型等的認識，促進學生深度學習，最終提升學生的能力.

設計意圖以二元一次方程組和簡單的含參問題為課前檢測題，能摸查學生對基礎知識（解方程組）、基本方法（代入消元法和加減消元法）、基本思想（消元）的掌握情況，同時達到復習上述內容的目的. 假如學生掌握情況良好，則直接進入B層例題的學習;假如學生掌握情況不佳，則進入A層例題的鞏固學習.

2. 例題教學（A層）

例1若m，n滿足3m+2n=2，

6m-5n=-5，則3m-7n=______.

解題思路：利用加減法得到3m-7n=-7.

問題1：本題的題設條件和解題目標是什么？

問題2：目標代數式與題設條件的關系是什么？目標代數式可以怎樣得到？

問題3：請歸納本題的題型特征和解題思路.

教學活動：學生自主完成后核對答案. 在教師的引導下，學生交流思路，歸納題型特征、解題方法和解題思路，構建題型框圖（如圖2所示）.

設計意圖讓熱身前測未全做對的學生鞏固代入消元法、加減消元法的基本步驟;讓學生初步構建簡單的框圖，為后續框圖的演變做鋪墊.

3. 例題教學（B層）

例2已知關于x，y的方程組2x+3y=4z，

3x+4y=-5z， 求的值.

解題思路：利用加減消元法得到x=-31z，

y=22z，則==.

問題4：本題的題設條件和解題目標是什么？

問題5：目標代數式中含有幾個字母？字母之間是否有關系？怎樣求出目標代數式的值？

問題6：請歸納本題的題型特征和解題思路.

本題的框圖解析如圖3所示.

教學活動：學生自主完成后展示答案和做法，并在教師的組織與引導下，交流思路，歸納題型特征和解題方法. 師生共同構建題型框圖并逐步完善，如修改并完善縱向方框（解題步驟的歸納），增加箭頭上下方的內容（解題方法、思想的提煉），補充右向箭頭（關鍵步驟的具體化）.

設計意圖例2是本專題學習的重要一環，要讓學生初步落實主元法的基本步驟和思想，經歷框圖的構建，進行題型特征和解題方法的歸納. 另外，教師還要強調主元法的（首要）重要步驟是確定主元，如本題中的字母“z”，然后用主元表示其他字母.

例3已知關于x，y的方程組x+y=1-a，

x-y=3a+5， 給出下列結論：①當a=1時，方程組的解也是方程x+y=2的解;②當x=y時，a=-;③不論a取什么實數，2x+y的值始終不變;④若z=-xy，則z的最小值為-1. 請判斷以上結論是否正確，并說明理由.

解題思路：由題意得x=a+3，

y=-2a-2，易知①錯誤，②③正確;對于④，z=（a+2）2-1，則z的最小值為-1，故④也正確.

問題7：本題的題設條件和解題目標是什么？

問題8：題設條件含有幾個字母？可以將哪個字母作為主元？

追問1：你能用主元表示其他字母嗎？

追問2：④中為確定z的最值，可以將其進行怎樣的轉化？

問題9：你能畫出本題的題型框圖嗎？

本題的框圖解析如圖4所示.

教學活動：學生自主完成后展示答案和做法. 教師組織學生自主建構框圖，然后交流展示，并共同完善框圖，即除了例2中的三個方面外，再補充右向箭頭（轉化目標代數式所利用的代數模型——二次函數）.

設計意圖以典型的含參方程組問題為例題，讓學生繼續鞏固主元法;讓學生經歷框圖的演變和完善過程，加深對專題的認識. 主元法最困難的步驟是轉化目標代數式，此例將目標代數式轉化為關于主元的二次函數，從而確定取值范圍，有利于加深學生對函數思想、代數模型的認識.

4. 例題教學（C層）

問題11：目標代數式中含有幾個字母？ 可以將哪個字母作為主元？

追問1：你能用主元表示其他字母嗎？

追問2：如何確定目標代數式的取值范圍？

追問3：如何確定主元的取值范圍？

問題12：你能畫出本題的題型框圖嗎？

本題的框圖解析如圖5所示.

教學活動：學生合作完成后，交流做法和思路. 教師組織學生建構框圖，然后交流展示，共同完善框圖，即除了例3中的框圖內容而外，還補充了縱向方框（新增“確定主元取值范圍”這一步驟），修改了右向箭頭（增加了確定主元取值范圍和目標代數式取值范圍所用到的代數模型：不等式（組）、函數），增加了箭頭左右方的內容（轉化這一重要思想）.

設計意圖多元方程組問題，實質上也是含參方程組問題，只不過它們是較難的、非明顯的含參問題. C層例題的設置，旨在讓學生進一步掌握主元法，體會問題解決過程中不同的操作細節，引導學生進行深度學習，從而發展能力. 例4框圖（即圖5）的建構新增了三個內容：（1）新步驟，即增加了“確定主元取值范圍”這一步驟;（2）新模型，即主元取值范圍和目標代數式的取值范圍的確定利用了不等式（組）、一次函數模型;（3）新思想，即把多元方程組轉化為含參方程組，這也是主元思想的深化，從中也能說明C層例題是B層例題的縱向延伸，而確定目標代數式的取值范圍時利用不等式（組）或一次函數模型又能讓學生進一步體會轉化思想. 例4是B層例題的自然延續，通過例題的解決和框圖的建構，學生能于解題思路生成處、難點突破處、能力發展處觸發學生深度學習，并能確保學生能力發展的一致性——提升解決問題的能力和對代數模型的認識.

問題13：本題的題設條件和解題目標是什么？

問題14：目標代數式中含有幾個字母？ 可以將哪個字母作為主元？

問題15：可以將目標代數式轉化為什么模型？

問題16：如何確定字母x的取值范圍？

追問1：在確定字母x的取值范圍時，可以將哪個字母作為主元來表示x？

追問2：主元n的取值范圍如何確定？

追問3：在確定主元n的取值范圍時利用了什么代數模型？

問題17：你能畫出本題的題型框圖嗎？

本題的框圖解析如圖6所示.

教學活動：學生合作完成后交流做法和思路;教師組織學生建構框圖，然后交流展示，共同完善框圖.

設計意圖例5框圖（圖6）與例4框圖基本一致，但在細節的處理上有所不同，比如字母取值范圍的確定，需多次利用主元思想，選用不同的主元（y→n→x→m）;目標代數式的取值范圍的確定利用的代數模型是反比例函數. 這些都是此題的難點，在學生經歷前面幾道例題的學習，對多元問題的解決已經具有一定經驗的前提下，教師引導時的設問（問題13～17）可以直接以主元法的關鍵步驟作為術語提問，從而突破難點. 通過例5的學習，學生可以進一步掌握多元問題解決的通法，體會主元思想.

例6若x-1==，則x2+y2+z2的最小值為（? ? ? ）

A.3 ? ? ?B.? ? ?C. ? ? ?D.6

解題思路：設x-1===k，則x=k+1，y=2k-1，z=3k+2. 所以x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14

k+2+. 所以當k=-時，x2+y2+z2取得最大值. 答案為B.

問題18：本題的題設條件和解題目標是什么？

問題19：如何確定主元？

問題20：本題可將目標代數式轉化為什么模型？

問題21：你能畫出本題的題型框圖嗎？

追問：你所畫的框圖跟之前例題的框圖有什么異同？

本題的框圖解析如圖7所示.

教學活動：學生自主完成后，比較不同解法（主元選取不同）并交流想法. 教師組織學生建構框圖，然后交流展示，共同完善框圖.

設計意圖比較不同的做法，讓學生體會到還可以通過設元來確定主元，并用二次函數模型確定目標代數式的取值范圍，從而將整個題型框圖補充完整，即兩個關鍵步驟的全部詮釋（“確定主元”的所有常用方法、目標代數式轉化的所有函數模型）. 例6的解題思路明晰，框圖容易建構，生動體現了多元問題的一般解決步驟，與例2首尾呼應，可為本節課的小結做準備.

5. 課堂小結

問題22：請同學們根據本節課學習的內容，總結歸納代數中多元問題的題型特征和解題思路，并畫出此類試題的題型框圖.

追問1：你為什么要這樣畫題型框圖？

追問2：你能說說我們是怎樣研究此類試題的嗎？這為你今后研究試題帶來了什么啟示？

教學活動：學生完成題型框圖（圖8）后，展示并完善，然后與其他學生交流作圖的想法. 教師歸納題型框圖的構建方法和使用要領，即從左到右描繪的是專題的題型特征，從上到下是解題的主要步驟和思路，從右到左是每個環節的關鍵操作點，箭頭四周是關鍵步驟或者數學思想的提煉.

設計意圖學生自主構建題型框圖，歸納多元問題的題型特征和解題思路，初步掌握構建題型框圖的方法，突破專題學習.

設計啟示

1. 后續思考

（1）具有情境背景的多元問題

一些試題具有一定的情境，從題干情境中抽象出數學問題后本質上其實還是上述多元問題，如下面的試題.

◇（2018杭州余杭期末）某水果店三天共銷售50千克香蕉，所得收入為270元，每天的銷售數量和價格如表2所示，則z=______（用含有y的代數式表示）. 若12

◇已知關于x的一次函數y=kx+b+1（k≠0）的圖象經過第一、二、四象限，且經過點（3，-2），則b=______（用含有k的代數式表示），k的取值范圍是______.

這樣的試題有如下題型特征（如圖9所示）. 為保持專題的純粹性和基于第一課時的安排，這樣的試題未納入上文的設計中，但可以將其放入之后的課時中. 特別地，如何從不同情境中抽象出多元問題，還需我們一線教師進一步研究.

（3）其他目標代數式的轉化模型

圖8這一題型框圖中利用方程模型確定目標代數式的取值范圍并未在本課時展開，類似的試題如下：

已知實數a，b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，則t的取值范圍為______.

解題思路：由題意，得ab=，a+b=±（t≥-3）. 假設a，b是關于x的一元二次方程x2-（a+b）x+ab=0的兩個根，則x2±x+=0. 因為方程有實數根，所以-2（t+1）≥0. 于是最終確定t的取值范圍為-3≤t≤-.

像上題中利用判別式法確定目標代數式的取值范圍就是利用一元二次方程這一模型確定字母的取值范圍. 這些問題可視學情，考慮是否放入后面的課時.

2. 教學建議

（1）注重例題設計，提供專題復習抓手

例題的設置要注重典型性. 例題，尤其是第一課時的例題，力求能清晰、生動地體現專題的通法，達到規范操作、揭示思路的目的，追求“以題會類”.

例題的設置要注重方向性. 根據專題的特點，例題組的設置可以選擇橫向設計或者縱向設計. 對于知識方法應用類、跨知識模塊等的專題（如配方法應用、換元法應用、數學思想應用、最值問題），教學時教師可以采用橫向設計例題的方式;對于單一知識情境或者學生較難掌握的專題（如特定幾何圖形背景下的專題，特定代數模型背景下的專題，幾何最值問題，線段、角度、面積等幾何量的確定等），教學時教師可以采用縱向設計例題的方式. 本文所述代數多元問題采用縱向設計例題組的方式，根據目標代數式轉換所采用的代數模型的不同，問題轉化步驟的先后順序、難易程度等設置不同層級的例題.

（2）引導感悟歸納，提升專題復習成效

專題教學要注重引導學生思考、歸納，教師要設計指向問題解決的關鍵處（如問題5、問題8、問題11）、指向問題轉化的難點處（如問題16）、指向問題背后的本質處（如問題15、問題20）的問題，激發學生有效思考，加強學法指導，培養學生解題的主動性;要給予學生充分思考、表達的時間，設計有意義的數學活動（如問題9、問題21），讓學生自主建構，加深理解.

（3）精構題型框圖，提煉專題復習模式

通過構建題型框圖對試題進行分析，具有普適性和遷移性，可為專題學習提供教與學的模式. 題型框圖可以清晰地闡釋題型特征，將解題思路進行程序化展示，這樣有利于學生掌握通性通法;對題型框圖進行從簡到繁、從小到大逐步補充、逐步細化、逐步完善的構建過程，有利于學生突破思維難點，保持認知的一致性和有序性，提升分析問題和解決問題的能力，從而指向深度學習.

總之，專題復習教學要重點考慮“教什么”“怎么教”“怎么測”三個問題. 對題型框圖進行深入研究，可以為前面兩個問題的解決提供一種有效途徑.

基金項目：杭州市基教教研規劃課題——初中數學中的框圖研究（L2021095）.

作者簡介：王飛飛（1989—），中學一級教師，從事初中數學教學研究.