求解淺水方程組的三階ＷＥＮＯ 新格式

胡偉依 李小綱 鄧玉喜

摘 要：淺水方程的求解難點(diǎn)在于存在間斷問題。研究具有高分辨率且對間斷有效模擬能力強(qiáng)的求解方法，對提高方程求解精度具有重大意義。以ＷＥＮＯ 差分格式為基礎(chǔ)，對全局光滑因子進(jìn)行拆分和泰勒級數(shù)展開，并引入調(diào)節(jié)耗散性的參數(shù)ｐ，建立了求解淺水方程組的三階ＷＥＮＯ 新格式。通過數(shù)值模擬驗(yàn)證表明，所建立的新格式的優(yōu)勢主要是在函數(shù)的極值點(diǎn)處可以保持三階精度且捕捉間斷的能力強(qiáng)；通過增大間斷模板分配權(quán)重，可以降低數(shù)值耗散、提高對間斷點(diǎn)的分辨率；修改帶源項(xiàng)淺水方程的動量項(xiàng)，重構(gòu)源項(xiàng)后淺水方程能夠滿足靜水條件下的和諧性。

關(guān)鍵詞：淺水方程組；三階ＷＥＮＯ 格式；高分辨率；高精度

中圖分類號：Ｏ１７５．２ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１３７９．２０２３．００６

引用格式：胡偉依，李小綱，鄧玉喜．求解淺水方程組的三階ＷＥＮＯ 新格式［Ｊ］．人民黃河，２０２３，４５（１２）：３１－３６．

０ 引言

水力學(xué)中的淺水是指水深尺度遠(yuǎn)小于平面尺度且垂向流速小的水流［１］ 。自然界中的潰壩問題、潮汐問題和水環(huán)境問題等都可以歸為淺水問題，因此對淺水方程組進(jìn)行研究是十分必要的。淺水方程組的本質(zhì)是非線性雙曲守恒律方程，滿足質(zhì)量守恒和動量守恒。求解這類方程的難點(diǎn)在于雙曲型偏微分方程組存在間斷問題［２］ ，因此求解該類問題時(shí)使用的數(shù)學(xué)方法應(yīng)當(dāng)具備高分辨率和有效模擬間斷的能力［３－５］ 。

１９８３ 年，Ｈａｒｔｅｎ［６］ 提出針對雙曲守恒型方程的高分辨率二階ＴＶＤ 格式，該格式保持了數(shù)值解的單調(diào)性，避免了間斷處振蕩的產(chǎn)生。但是在光滑解的極值點(diǎn)處ＴＶＤ 格式的精度會降為一階。針對這一問題，Ｓｈｕ［７］ 于１９８７ 年提出了ＴＶＢ 格式，該格式可以在保證間斷處沒有振蕩產(chǎn)生的同時(shí)使數(shù)值解的精度達(dá)到二階。同年，Ｈａｒｔｅｎ 等［８］ 提出具備高精度、高分辨率且基本沒有振蕩產(chǎn)生的ＥＮＯ 格式，但是ＥＮＯ 格式在構(gòu)造過程中選擇最光滑的模板進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致相鄰模板間有可能發(fā)生改變，使得數(shù)值通量不光滑，且只選擇一個(gè)子模板進(jìn)行計(jì)算造成了大量的信息浪費(fèi)。為了克服這些缺陷，１９９４ 年Ｌｉｕ 等［９］ 提出了賦予子模板非線性權(quán)重來進(jìn)行組合的ＷＥＮＯ 格式。隨后Ｊｉａｎｇ 等［１０］ 在１９９６ 年將ＷＥＮＯ 格式推廣到了有限差分形式并且提出了一種新的光滑因子度量方式，即ＷＥＮＯ－ＪＳ 格式，但是ＷＥＮＯ－ＪＳ 格式在極值點(diǎn)處精度會降階。為了解決這一問題，Ｂｏｒｇｅｓ 等［１１］ 通過進(jìn)一步改進(jìn)ＷＥＮＯ－ＪＳ格式中非線性權(quán)重的計(jì)算方式，得到ＷＥＮＯ－Ｚ 有限差分格式。近年來涌現(xiàn)出了許多優(yōu)化的ＷＥＮＯ 格式。孫陽等［１２］ 構(gòu)造了一種新型的緊致型ＷＥＮＯ 格式，該格式在保留原格式分辨率的前提下提高了計(jì)算效率。

王亞輝［１３］ 通過在ＷＥＮＯ－ＪＳ 格式的構(gòu)造過程中加入二次項(xiàng)使得模板達(dá)到了三階精度。劉旭亮等［１４］ 通過算子函數(shù)近似導(dǎo)數(shù)關(guān)系，設(shè)計(jì)出一種新型光滑因子，相較于傳統(tǒng)格式，該方法在提高短波的分辨率、降低格式耗散的同時(shí)能夠準(zhǔn)確識別間斷。ＷＥＮＯ 格式在研究中也被用于求解淺水方程組。早期階段， 胡四一等［１５－１６］ 成功地將ＴＶＤ 格式運(yùn)用到一維潰壩數(shù)值模擬和二維淺水波方程的求解之中。郭永濤等［１７］ 將ＥＮＯ格式應(yīng)用于一維潰壩模擬中并取得了理想的結(jié)果。當(dāng)下，如何解決ＷＥＮＯ 格式在光滑函數(shù)極值點(diǎn)處精度會降階且捕捉間斷能力降低的問題，從而更加準(zhǔn)確地對水力現(xiàn)象進(jìn)行模擬，依舊是學(xué)者們關(guān)注的重點(diǎn)。

本文在ＷＥＮＯ－Ｚ 方法的基礎(chǔ)框架下將大模板上光滑因子進(jìn)行拆分，并且對小模板上光滑因子做泰勒級數(shù)展開，得到新的全局光滑因子；在非線性權(quán)重中引入相關(guān)參數(shù)， 得到改進(jìn)的三階ＷＥＮＯ 差分格式（ＷＥＮＯ－Ｎｅｗ）。通過數(shù)值試驗(yàn)證明了這是一種較傳統(tǒng)格式更加精準(zhǔn)地捕捉激波、兼顧高分辨率和低耗散的數(shù)值方法，將其應(yīng)用到淺水方程中可以更加高效精準(zhǔn)地模擬洪水的演進(jìn)過程。