巧用數形結合解決電學疑難問題

雷登玉 簡涵林 荀 艷

(興義市陽光書院 貴州 興義 562400)

1 利用U-I圖像分析電功率的變化

1.1 定值電阻U-I圖像

如圖1為定值電阻R的U-I圖,在圖像中某點的U與I的比值表示該電阻的大小,U與I的乘積表示電阻在該電壓下的電功率,同時電功率還可以理解為此處U與I圍成的面積,如圖1中陰影部分的面積．通過面積能夠反映電功率大小的這個知識點,可以幫助學生更好地找到電功率的變化．

圖2 電壓減半的電功率

在教學中,學生一直存在一個疑點,就是為什么電功率的變化不等于電阻兩端電壓的變化量乘電流的變化量,之前的教學我們也是一直采用數學證明的方式給學生進行講解,但是基礎較弱的學生根本就不能理解,后面發(fā)現用圖像給學生分析,他們突然就豁然開朗．

如圖3所示,此時陰影部分面積即表示電阻兩端的電壓為U2,流過電阻的電流為I2時的電功率P2.

圖3 電功率P2

圖4中此時陰影部分面積表示電阻兩端電壓為U1,電流為I1時的電功率P1．

圖4 電功率P1

而電阻兩端的電壓從U1變到U2,電流從I1變到I2的電功率變化是不等于(U2-U1)(I2-I1)的,我們可以從圖像來進行理解．

這個過程中電功率的變化為U2I2-U1I1,即圖3的陰影面積減去圖4的陰影面積,減了之后剩余的面積如圖5陰影部分所示．

圖5 電功率變化量

而(U2-U1)(I2-I1)表示的面積卻是圖6中的陰影部分,明顯小于電功率的變化,這樣通過圖像就巧妙地讓學生突破了這個疑點．

圖6 電壓變化量與電流變化量乘積

1.2 小燈泡U-I圖像

小燈泡的U-I圖像和定值電阻不同,因為燈泡電阻受溫度的影響,所以它是一條彎曲的曲線,而且越來越靠近U軸,所以解決小燈泡的功率變化問題一直是學生的一個難點．但是通過將燈泡的U-I圖畫出來,就能很輕松地解決這個問題．

我們常看到這樣一個物理題目:將“220 V 100 W”的燈泡兩端電壓降為原來的一半或者將其通過的電流降為原來的一半,兩種情況下燈泡的實際電功率一樣嗎?這樣的題目在之前的教學中我們更注重的是去給學生分析、證明,但是效果并不是很理想．后來采用圖像的方式,學生就容易理解了．

圖7 電壓減半時的電功率

圖8 電流減半時的電功率

2 “四維一體”攻破電學難題

在難度比較大,計算又比較復雜的電學問題中,如果電源電壓不變,我們可以把不同時刻的電路畫在同一個電路中,使之構成一個并聯電路,再根據并聯電路中各物理量之間的比例關系進行解題．我們給這種方法取了一個名字叫“四維一體”,這種方法在解決一些難題的時候會簡便得多．

2.1 構建并聯電路巧解比例問題

標有“220 V 100 W”L1和“220 V 50 W”L2的兩只燈泡,燈泡電阻不隨溫度變化而變化,將其串聯在220 V電路中,電功率之比為多少?若將其并聯在220 V電路中,通過它們的電流之比為多少?

這樣的題目,為了避免進行復雜的運算,我們可以利用“四維一體”的方法來進行巧解,因為題目問的大多問題是比例問題,而電路中所有的比例問題都與電阻的比值有關,所以只要知道了電阻的比值,所有問題都迎刃而解．因為這兩個燈泡的額定電壓是一樣的,我們可以將它們構建在一個電源電壓為220 V的電路中,如圖9所示.

圖9 構建L1與L2并聯

此時P1∶P2=2∶1,由并聯電路中電功率之比等于電阻的反比,則可以知道R1∶R2=1∶2,所以串聯在220 V電路中時,它們電壓之比U1∶U2=R1∶R2=1∶2,并聯在220 V電路中,通過它們的電流之比為電阻的反比,即I1∶I2=2∶1．通過構建一個圖形,可以讓學生快速地進行判斷,從而減小計算的錯誤率．

2.2 構建并聯電路巧解動態(tài)問題

其實“四維一體”最大的妙用是解決電學的動態(tài)問題．比如我們經常會看到這樣一個類似題目:定值電阻R0和滑動變阻器R串聯在電路中,如圖10所示.電源電壓恒定不變,當滑動變阻器接入阻值為R時,R0兩端電壓為15 V,當滑動變阻器接入阻值為2R時,R0兩端電壓為12 V,當滑動變阻器接入阻值為(2R+20) Ω時,R0兩端電壓為9 V,求電源電壓和定值電阻R0的阻值．

圖10 R0與R串聯

這個題目用最常規(guī)的方法解答就是根據電源電壓不變,列3個方程,求解三元一次方程組,但是對于數學計算能力薄弱的學生來說,很難做正確．而且很多學生一看是3個方程,直接放棄了．但是我們如果利用“四維一體”來進行解題,很快就可以算出正確答案．

如圖11所示,我們把3個不同時刻的電路并聯在同一個電路圖中.

圖11 R0與R串聯

因為R0是定值電阻,則

I1∶I2=15 V∶12 V=5∶4

并聯電路中,電流之比等于電阻的反比,則

(R0+R)∶(R0+2R)=4∶5

即可以算出R0=3R,得出了電阻之間的關系后,就可以通過兩電阻串聯電壓之比等于電阻之比,求出電源電壓為20 V．然后根據最后一次電阻R0分的電壓為9 V,則(2R+20) Ω分的電壓為11 V,根據串聯電路中電壓比等于電阻之比解出R為12 Ω,則

R0=3R=36 Ω

3 應用舉例

接下來看一個內蒙古自治區(qū)的中考題.

【例題】將兩個定值電阻串聯接在電壓為U的電源兩端,R1消耗的功率為P1,R2消耗的功率為4P1．將這兩個定值電阻并聯接在電壓為U的電源兩端,下列分析正確的是( )

A.R1與R2的電阻之比為4∶1

B.并聯時通過R1與R2的電流之比為1∶1

這個題目的難度是比較大的,如果用常規(guī)的方法進行計算,需要花大量的時間．下面我們用“四維一體”的方法來進行解答,如圖12所示．

圖12 不同狀態(tài)的電路構建為并聯電路

通過串聯時兩電阻的電功率之比為1∶4,可以得出

R1∶R2=1∶4

而并聯時電流之比為電阻的反比,應該是4∶1,求解并聯時R2消耗的電功率可以將R2看成與(R1+R2)并聯,則電功率之比為電阻的反比,即

P串聯=5P1

則

同理可得,并聯時R1消耗的電功率可以將R1看成與(R1+R2)并聯,則電功率之比為電阻的反比,即

解出

所以并聯時兩電阻消耗的總功率為

“四維一體”的方法在解決一些計算量大的題目時確實對學生有較大的幫助,主要是通過圖像的呈現讓學生更能清楚的理解,但是它也是有局限性的,必須能夠保證所構建的電路兩端的電壓是一樣的,因為它要滿足并聯電路電壓的特點．

4 結束語

數形結合在教學中的確能夠幫助我們解決很多問題,但它也有一定的局限性,所以在我們的教學中,盡可能的多給學生提供一些解題的方法和技巧,讓每個學生找到適合他自己的解題方法．