卷筒紙中的數學奧秘

陳文萍

你能想到一卷小小的卷筒紙，居然蘊含著數學奧秘嗎？且聽我細細道來。

在平常生活中，我們總會留意到，一卷使用過半的卷筒紙總是比想象中用得要快。這是為什么呢？

這跟卷筒紙的形狀有關。卷筒紙是圓柱形的，使用之后，卷筒紙的直徑就隨之減小。在高度不變的情況下，卷筒紙的側面積也在變小（如圖1）。比如，剛開始使用的卷筒紙是最粗的、直徑最大的圓柱體，一圈有四段紙（側面積最大）。當卷筒紙使用超過一半的時候，這個圓柱體就變得很細了，一圈只有一段衛生紙（側面積減小）。

一個人如果每次需要使用八段衛生紙的話，最初只需要兩圈卷筒紙。慢慢的，就需要八圈才行。因此，從卷筒紙使用過半時起，我們就會感覺越用越快。

我遇到這樣一道題（如圖2），于是我展開了對第2小題的思考。

方法一

將卷筒紙全部拉出來，測量總長度。它的缺點是，要找到題目中指定大小的卷筒紙是很困難的。除此之外，也很少有人會真的這么做。

假設這卷卷筒紙是由很多個同心圓套在一起的，那么它最外側的圓的直徑就是12 cm。一層紙的厚度是0.01 cm，往內的下一個圓的直徑則減少0.02 cm，變成11.98 cm，再往內的圓的直徑則是11.96 cm……由內側往外的第二個圓的直徑是6.04 cm，而最內側的圓的直徑則是6.02 cm。

因此，各個同心圓的周長分別是12π、11.98π、11.96π、…6.04π、6.02π，卷紙的總長度為12π+11.98π+11.96π+…+6.04π+6.02π。

如果一步步計算的話，這個計算量太大了。我們要像天才數學家高斯在課上快速算出從1加到100的和那樣，采用簡便的算法。

S = 12+11.98+11.96+…+6.04+6.02

+ S = +6.02+6.04+6.06…+11.98+12

2S = 18.02+18.02+18.02+…+18.02+18.02=18.02×300=5406

S = 2703

總長度= S×π = 2703×π＝8487.42（cm）

我們在腦海中試著將所有的紙都拉出來，拉出來之后從側面看，就是一個寬為0.01 cm的長方形（如圖4）。

根據第1小題用圓環面積公式求出的陰影部分面積為84.78 cm2。假設卷筒紙全長為x cm，長方形的面積為0.01 x，則0.01 x =84.78，x=8478 cm。

看來，數學和生活實際密切聯系，在日常生活中，我們要學做有心人。在做題時，有時候不妨可以從不同的角度去思考，可能就會有更好的方法！

數學真有趣！

浙江省紹興市上虞區博文小學

指導老師? ?李湘婷